導(dǎo)數(shù)各類題型方法總結(jié)

1、第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一，導(dǎo)數(shù)的概念1.已知f(X)1,則limf(2x)f的值是()xx0xA.11D.2B.2C.44變式1:設(shè)f3f34,則limhf3為()h02hA.-1B.-2C.3D.1變式2：設(shè)fx在滄可導(dǎo)，則lim丄上一X一fx°3x等于()X0xA.2fx0B.fx0C.3fx0D.4fx0導(dǎo)數(shù)各種題型方法總結(jié)請(qǐng)同學(xué)們高度重視：首先，關(guān)于二次函數(shù)的不等式恒成立的主要解法：1、分離變量；2變更主元；3根分布；4判別式法5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法：(1)對(duì)稱軸(重視單調(diào)區(qū)間)與定義域的關(guān)系(2)端點(diǎn)處和頂點(diǎn)是最值所在其次，分析每種題型的本質(zhì)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)大部分都在解決“不等式恒

2、成立問題”以及“充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想”，創(chuàng)建不等關(guān)系求出取值范圍。最后，同學(xué)們?cè)诳蠢}時(shí)，請(qǐng)注意尋找關(guān)鍵的等價(jià)變形和回歸的基礎(chǔ)一、基礎(chǔ)題型：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立;1、此類問題提倡按以下三個(gè)步驟進(jìn)行解決：第一步：令f'(x)0得到兩個(gè)根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中不等式恒成立問題的實(shí)質(zhì)是函數(shù)的最值問題,2、常見處理方法有三種：第一種：分離變量求最值用分離變量時(shí)要特別注意是否需分類討論(>0,=0,<0)第二種：變更主元(即關(guān)于某字母的一次函數(shù))-(已知誰的范圍就把誰作為主元)；(請(qǐng)同學(xué)們參看2010省統(tǒng)測(cè)2)例1：設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間

3、D上的導(dǎo)數(shù)為f(x),f(x)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為g(x)，若在區(qū)間D上，g(x)恒成立，則稱函數(shù)yf(x)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”，已知實(shí)數(shù)m是常數(shù),(1)若yf(x)在區(qū)間0,3上為“凸函數(shù)”，求m的取值范圍；f(x)4x3mx3x01262(2)若對(duì)滿足m2的任何一個(gè)實(shí)數(shù)m，函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上都為“凸函數(shù)”，求ba的最大值.4x3mx3x2沖x3x2mx小得f-(x)3x126232解:由函數(shù)f(x)g(x)x2mx3(1)Qyf(x)在區(qū)間0,3上為“凸函數(shù)”，貝Vg(x)x2mx30在區(qū)間0,3上恒成立解法一：從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手：等價(jià)于gmax(x)0g(0)030m2g(

4、3)093m30解法二：分離變量法：當(dāng)x0時(shí)，g(x)x2mx330恒成立,當(dāng)0x3時(shí)，g(x)x2mx30恒成立.x233等價(jià)于mx的最大值(0x3)恒成立，xx3而h(x)x-(0x3)是增函數(shù)，貝yhmax(x)h(3)2x/當(dāng)m2時(shí)f(x)在區(qū)間a,b上都為“凸函數(shù)”則等價(jià)于當(dāng)m2時(shí)g(x)變更主元法再等價(jià)于F(m)mxx2mx30恒成立x32ax20在mF(F(2)b3a2xb(02恒成立2)(視為關(guān)于2xx232xx23m的一次函數(shù)最值問題)1,bR)(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(n)若對(duì)任意的xa1,a2,不等式f(x)a恒成立，求a的取值范圍a3aa3ax3axa(二

5、次函數(shù)區(qū)間最值的例子)解：(I)f(x)x24ax3a2Q0a1_f(x)令f(x)0,得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a,3a)令f(X)0,得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一,a)和(3a,+)A當(dāng)3 3x=a時(shí),f(x)極小值=ab；4當(dāng)x=3a時(shí)，f(x)極大值=b.(n)由|f(x)|wa,得：對(duì)任意的xa1,a2,ax24ax23aa恒成立則等價(jià)于g(x)這個(gè)二次函數(shù)gmax(x)ag(x)x24ax23a的對(duì)稱軸x2agmin(x)aa1aa2a(放縮法)g(x)這個(gè)二次函數(shù)的最值問題：單調(diào)增函數(shù)的最值問題。Q0a1,即定義域在對(duì)稱軸的右邊,g(a1)2a1a5解：(I)f/(x)3x2

6、2axaf/(1)3b1a解得a(n)由(i)知,f(x)在1,0上單調(diào)遞增，在0,2上單調(diào)遞減，在2,4上單調(diào)遞減又f(1)4,f(0)0,f(2)4,f(4)16(川)令h(x)f(x)g(x)-x2(t1)x3x1,42g(x)x24ax3a2在a1,a2上是增函數(shù).g(x)maxg(a2)2a1.g(x)ming(a1)4a4.于是，對(duì)任意xa1,a2，不等式恒成立，等價(jià)于a1.又0a1,a2(I)求a,b的值；(n)當(dāng)x1,4時(shí)，求f(x)的值域；(川)當(dāng)x1,4時(shí)，不等式f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。a1.5點(diǎn)評(píng)：重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法：對(duì)稱軸(重視單調(diào)區(qū)間)與定義

7、域的關(guān)系第三種：構(gòu)造函數(shù)求最值題型特征：f(x)g(x)恒成立h(x)f(x)g(x)0恒成立；從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型例3；已知函數(shù)f(x)x3ax2圖象上一點(diǎn)P(1,b)處的切線斜率為3,f(x)的值域是4,16思路1：要使f(x)g(x)恒成立，只需h(x)0,即t(x22x)2x6分離變量思路2:二次函數(shù)區(qū)間最值二、題型一：已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍解法1:轉(zhuǎn)化為f'(x)0或f'(x)0在給定區(qū)間上恒成立，回歸基礎(chǔ)題型解法2：利用子區(qū)間(即子集思想)；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集；做題時(shí)一定要看清楚“在(m,n)上是

8、減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(a,b)”，要弄清楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集13a12例4：已知aR，函數(shù)f(x)xx(4al)x.122(I)如果函數(shù)g(x)f(x)是偶函數(shù)，求f(x)的極大值和極小值；(n)如果函數(shù)f(x)是(，)上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.1 2解：f(x)x(a1)x(4a1).41312(i)tf(x)是偶函數(shù)，a1.此時(shí)f(x)x33x，f(x)x23，124令f(x)0，解得：x2、.3.列表如下:x(-a,-2J3)-2J3(-2晶,2朽)243(2，+)f(x)+00+f(x)遞增極大值遞減極小值遞增可知：f(x)的極大值為f(2、.3)43，f(x

9、)的極小值為f(2、3)4、3.(n)：函數(shù)f(x)是(，)上的單調(diào)函數(shù)，二f(x)lx2(a1)x(4a1)0，在給定區(qū)間R上恒成立判別式法4212貝U(a1)24(4a1)a22a0,解得：0a2.4綜上，a的取值范圍是a0a2.13例5、已知函數(shù)f(x)_x33-(2a)x2(1a)x(a0).2(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;)則0,1是上述增區(qū)間的子集:10a12、0,1a1,綜上，a的取值范圍是0，1。(II)若f(x)在0,1上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。子集思想(1)f(x)2x(2a)x1a(x1)(x1a).1、當(dāng)a0時(shí),f(x)(x1)20恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“=”號(hào),f(

10、x)在(,)單調(diào)遞增。2、當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0,得x1,X2a1,且xX2,三、題型二：根的個(gè)數(shù)問題題1函數(shù)f(x)與g(x)(或與x軸)的交點(diǎn)=即卩方程根的個(gè)數(shù)問題解題步驟第一步：畫出兩個(gè)圖像即“穿線圖”(即解導(dǎo)數(shù)不等式)和“趨勢(shì)圖”即三次函數(shù)的大致趨勢(shì)“是先增后減再增”還是“先減后增再減”；第二步：由趨勢(shì)圖結(jié)合交點(diǎn)個(gè)數(shù)或根的個(gè)數(shù)寫不等式(組)；主要看極大值和極小值與0的關(guān)系;第三步：解不等式(組)即可；例6、已知函數(shù)f(x)lx3(k1)x2，g(x)1kx，且f(x)在區(qū)間(2,)上為增函數(shù).323(1) 求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2) 若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)

11、數(shù)k的取值范圍.解：(1)由題意f(x)x2(k1)x/f(x)在區(qū)間(2,)上為增函數(shù)，二f(x)x(k1)x0在區(qū)間(2,)上恒成立(分離變量法)即k1x恒成立，又x2,k12，故k1k的取值范圍為k13(2)設(shè)h(x)f(x)g(x)-也X2kx1,3232h(x)x(k1)xk(xk)(x1)令h(x) 當(dāng) 當(dāng)0得xk或x1由(1)知k1,1時(shí)，h(x)(x1)0,h(x)在r上遞增，顯然不合題意1時(shí)，h(x),h(x)隨x的變化情況如下表：x(,k)k(k,1)1(1,)h(x)0一0h(x)/極大值.3.2.kk1623極小值k12/0,欲使f(x)與g(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)

12、,即方程k2I3|2kk62由于h(x)0有三個(gè)不同的實(shí)根，故需0，即(k1)(k22k2)k0k22k，解得k1品20綜上，所求k的取值范圍為k1.3根的個(gè)數(shù)知道，部分根可求或已知。312例7、已知函數(shù)f(x)ax3-x222xc(1)x1是f(x)的極值點(diǎn)且f(x)的圖像過原點(diǎn)，求f(x)的極值;(2)有含12g(x)bx2xd，在(1)的條件下，是否存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)21的三個(gè)不同交點(diǎn)若存在，求出實(shí)數(shù)g(x)的圖像與函數(shù)f(x)的圖像恒b的取值范圍;否則說明理由。解:(1)Vf(x)的圖像過原點(diǎn)，則f(0)f(x)3ax21是f(x)的極值點(diǎn)，則f(1)3af(x)3x2(3x2)(x

13、1)0f極大值(x)f(1)2f極小值(x)f(3)227(2)設(shè)函數(shù)g(x)的圖像與函數(shù)f(x)的圖像恒存在含x1的三個(gè)不同交點(diǎn),等價(jià)于f(x)g(x)有含x1的三個(gè)根，即：f(1)g(1)d1尹1)x32x!bx22(b1)整理得:2即:x3如1)x2(b1)0恒有含x1的三個(gè)不等實(shí)根(計(jì)算難點(diǎn)來了：)312h(x)x(b1)x21x尹1)0有含x1的根,則h(x)必可分解為(x1)(二次式)0,故用添項(xiàng)配湊法因式分解,x3x2x21)x2x1(b1)0222“1)1“八21“1)0x(x2(b1)xx(b2x2(x1)(b1)x22x(b1)0十字相乘法分解：x2(x1)1(b1)x(b

14、1)x10211(x1)x2(b1)x-(b1)03121x2(b1)xx2(b1)0恒有含x1的三個(gè)不等實(shí)根1 1等價(jià)于x2(b1)x(b1)0有兩個(gè)不等于-1的不等實(shí)根。2 2121(b1)24(b1)0424彳/b(,1)(1,3)(3,)(1)2尹1)尹1)0題2:切線的條數(shù)問題=二以切點(diǎn)X。為未知數(shù)的方程的根的個(gè)數(shù)例7、已知函數(shù)f(x)ax3bx2ex在點(diǎn)X。處取得極小值一4，使其導(dǎo)數(shù)f'(x)0的x的取值范圍為(1,3),求：(1)f(x)的解析式；(2)若過點(diǎn)P(1,m)可作曲線yf(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.(1)由題意得：f'(x)3ax22bxe3

15、a(x1)(x3),(a0)在(，1)上f'(x)0;在(1,3)上f'(x)0;在(3,)上f'(x)0因此f(x)在xo1處取得極小值4-abe4，f'(1)3a2be0，f'(3)27a6be0a1由聯(lián)立得：b6,/-f(x)x36x29xe9(2)設(shè)切點(diǎn)Q(t,f(t)yf(t)f'(t)(xt)y(3t212t9；)(xt)(t36t29t)(23t12t9)xt(3t212t9)2t(t6t9)(23t12t9)xt(2t26t)過(1,m)m(3t212t9)(1)2t36t2g(t)2t32t212t9m0令g'(t)6t

16、26t126(t2t2)0,求得:t1,t2，方程g(t)0有三個(gè)根。需：g(1)023129m0m16g(2)01612249m0m11故：11m16;因此所求實(shí)數(shù)m的范圍為：(11,16)題3:已知f(x)在給定區(qū)間上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)貝9有導(dǎo)函數(shù)=0的根的個(gè)數(shù)解法：根分布或判別式法例8、已知函數(shù)/(幻=yx3-y(+3)x3+(m+6)x,xert(m為常數(shù)人(I)當(dāng)機(jī)戸4時(shí),求函數(shù)只幻的單調(diào)區(qū)間;(D)若函數(shù)y二代巧在區(qū)間(匚+a)上有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：函數(shù)的定義域?yàn)镽(I)當(dāng)m=4時(shí)，f(x)=x32x12+10x,f(x)=X27x+10,令f(X)0,解得x5,或x2

17、.令f(x)0,解得2x5可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,2)和(5,+，單調(diào)遞減區(qū)間為2,5.2(n)f(x)=x(m3)x+m+6,要使函數(shù)y=f(x)在(1,+)有兩個(gè)極值點(diǎn)2f(x)=x(m+3)x+m(m3)2則f(1)1(mm31.2+6=0的根在(1,根分布問題:4(m6)0;3)m60;,解得m>312x2有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.例9、已知函數(shù)f(x)-x33(aR,a0)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;1(2)令g(x)=x4+f(x)(xR)4解：(1)f(x)ax2xx(ax1)當(dāng)a0時(shí)，令f(x)0解得x1'或x0,令f(x)0解得a所以f(x

18、)的遞增區(qū)間為(1,丄)(0,a1)，遞減區(qū)間為(丄,0).a當(dāng)a0時(shí)，同理可得,0)14a312(2)g(x)XXX有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)432g(x)xaxxx(xax1)=0有3個(gè)根，則x0或xax10,a2方程x2ax10有兩個(gè)非零實(shí)根，所以a240,a2或a2而當(dāng)a2或a2時(shí)可證函數(shù)yg(x)有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)其它例題：1、(最值問題與主元變更法的例子)已知定義在R上的函數(shù)f(x)ax32ax2b(a0)在區(qū)間2,1上的最大值是5，最小值是一11.(I)求函數(shù)f(x)的解析式；(n)若t1,1時(shí)，f(x)tx0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解：(I)Qf(x)ax32ax2b,f(x)3a

19、x24axax(3x4)人'4令f(x)=0,得X10,X22,13因?yàn)閍0,所以可得下表:X2,000,1f'(x)+0-f(X)/極大因此f(0)必為最大值，f(05因此b5,Qf(2)16a5,f(1)a5,f(1)f(2),即f(2)16a511,a1,f(x)x32x25.(n)vf(x)3x4x,.f(x)tx0等價(jià)于3x4xtx0,令g(t)xt3x24x，則問題就是g(t)0在t1,1上恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍，為此只需g(1)0，即3X5X0,g(1)0x2x0解得0x1,所以所求實(shí)數(shù)X的取值范圍是0,1.、(根分布與線性規(guī)劃例子)(1)已知函數(shù)f(x)X

20、3ax2bxc3(I)若函數(shù)f(x)在X1時(shí)有極值且在函數(shù)圖象上的點(diǎn)(0,1)處的切線與直線3xy0平行，求f(x)的解析式；(n)當(dāng)f(x)在x(0,1)取得極大值且在x(1,2)取得極小值時(shí),設(shè)點(diǎn)M(b2,a1)所在平面區(qū)域?yàn)镾,經(jīng)過原點(diǎn)的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分，求直線L的方程.解：(I).由f(x)2x2axb,函數(shù)f(x)在x1時(shí)有極值,2ab20f(0)1c1又f(x)在(0,1)處的切線與直線3xy0平行,1 f(0)b3故a-22 1 f(x)x3x23x1.7分3 22(n)解法一：由f(x)2x2axb及f(x)在x(0,1)取得極大值且在x(1,2)取得極小值

21、f(0)0f(1)0f(2)0b0即2ab204ab80令M(x,y),x202yx20故點(diǎn)M所在平面區(qū)域S為如圖ABC,4yx603易得A(2,0),B(2,SABC1),C(2,2),D(0,1),E(0,2)'同時(shí)DEABC的中位線，SDECS四邊形ABED3所求一條直線L的方程為：x0kx,它與AC,BC分別交于F、G,則k0,S四邊形DEGF1由ykx得點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為：xF2yx20由ykx得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為：xG4yx60另一種情況設(shè)不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為3S四邊形DEGFSOGE1:3的兩部分，設(shè)直線L方程為y12綜上,所求直線方程為：(n)解法由f(x)S

22、OFD1258(舍去)0或y1x22axb及24k12故這時(shí)直線方程為kx2x22k121即16k2k50.12分f(x)在x(0,1)取得極大值且在x(1,2)取得極小值,f(0)0f(1)0即2ab20f(2)04ab80令M(x,y),x202yx20故點(diǎn)M所在平面區(qū)域S為如圖ABC,4yx60易得A(2,0),B(2,1),C(2,32),D(0,1),E(0,2),SABC1同時(shí)ABC的中位線，SdecS四邊形abed3所求一條直線L的方程為：x0另一種情況由于直線BO方程為:yx,設(shè)直線2BO與AC交于H,由y2y1x2x2得直線1L與AC交點(diǎn)為：H(1,)2SABC2,Sdec1

23、,Sabh2SABO所求直線方程為(根的個(gè)數(shù)問題)已知函數(shù)f(x)ax3bx2(c3a2b)xd(a0)的圖象如圖所示。3、(i)求c、d的值；(n)若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程為3xy110,求函數(shù)f(x)的解析式；(川)若X05,方程f(x)8a有三個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：由題知：f(x)3ax22bx+c-3a-2b/口d3d3得3a2bc3a2b0c0(n)依題意f2=:-3且f(2)=512a4b3a2b3解得a=1,b=-68a4b16a4b35所以f(x)=32x-6x+9x+3(川)依題意f(x)=ax3+bx2-(3a+2b)x+3(a>

24、;0)(i)由圖可知函數(shù)f(x)的圖像過點(diǎn)(0,3)，且f1=02fx=3ax+2bx-3a-2b由f5=0b=-9a滿足f(5)v8avf(1)由得-25a+3v8av7a+3x2(2,1)1(x)一(x)8a92a若方程f(x)=8a有三個(gè)不同的根，當(dāng)且僅當(dāng)丄vav3111所以當(dāng)丄vav3時(shí)，方程f(x)=8a有三個(gè)不同的根。12分114、(根的個(gè)數(shù)問題)已知函數(shù)f(x)x3ax2x1(aR)32，求a的值及f(x)的單調(diào)區(qū)間;(1)若函數(shù)f(x)在xx1,xx2處取得極值，且x1x2(2)若a1，討論曲線f(x)與g(x)*X2(2a1)x|(2x1)的交點(diǎn)個(gè)數(shù).%X22a,X1x21%

25、X2J(%X2)24%x2a0-f(x)x2小2ax1X21令f(x)0得x1,或X1解：(1)f(x)x22ax1令f(x)0得1x1、4a2422分f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,1),(1,)，單調(diào)遞減區(qū)間為1,1)13(2)由題f(x)g(x)得-x33ax2x11x2(2a1)x2即13X(a12-)x2ax-0326令(x)13X3(a122)x12ax(2x1)66分(x)2X(2a1)x2a(x2a)(x1)令(x)0得x2a或x17分Qa-2當(dāng)2a2即a9此時(shí)，8a0,a0，有一個(gè)交點(diǎn)；9分21當(dāng)2a2即1a時(shí)，2x2(2,2a)2a(2a,1)1(x)+0一(x)8a92/2

26、a2(32a)-3 6a221Qa(32a)0,36當(dāng)f8a9-0即1a-時(shí),有一個(gè)交點(diǎn)；216當(dāng)當(dāng)8a9口0,且a0即9a0時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；216當(dāng)0a1時(shí)，8a90,有一個(gè)交點(diǎn).13分22綜上可知，當(dāng)a或01a時(shí),有個(gè)交點(diǎn)；1629當(dāng)a0時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn).14分165、(簡單切線問題)已知函數(shù)f(x)務(wù)圖象上斜率為3的兩條切線間的距離為,函數(shù)a5g(x)(I)(n)f(x)彗3.a若函數(shù)g(x)在x1處有極值，求g(x)的解析式；求實(shí)數(shù)m的取值范若函數(shù)g(x)在區(qū)間1,1上為增函數(shù)，且b2mb4g(x)在區(qū)間1,1上都成立,圍.函數(shù)中任意性和存在性問題探究高考中全稱命題和存在性命題與導(dǎo)數(shù)的結(jié)

27、合是近年高考的一大亮點(diǎn)，下面結(jié)合高考試題對(duì)此類問題進(jìn)行歸納探究一、相關(guān)結(jié)論：結(jié)論1:a,b,X2c,d,f(xjg(X2)f(X)ming(x)max；【如圖一】結(jié)論2:%a,b,X2c,d,f(X1)g(x2)f(X)maxg(x)min；【如圖二】結(jié)論3:xa,b,X2c,d,f(x1)g(x2)f(X)ming(x)min；【如圖三】結(jié)論4:X1a,b,X2c,d,f(x1)gX)f(x)maxg(x)max；【如圖四】說明：這里的x1,x2是兩個(gè)互不影響的獨(dú)立變量結(jié)論5：xia,b,X2c,d,f(xjg(X2)f(x)的值域和g(x)的值域交集不為空；【如圖五】屛何ituHtVj-f

28、f/|v7fit*S<v)和ffi-【例題2i】：已知兩個(gè)函數(shù)f(x)8x16xk,g(x)2x35x24x,x3,3,kR.(1)若對(duì)x3,3,都有f(x)g(x)成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍;(2)若x3,3，使得f(x)g(x)成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍;若對(duì)xi，x23,3,都有f(xi)g(X2)成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍;解：(1)設(shè)h(x)g(x)f(x)2x33x212xk(1)中的問題可轉(zhuǎn)化為:x3,3時(shí)，h(x)0恒成立，即h(x)minh'(x)6x26x126(x2)(x1)；當(dāng)x變化時(shí)，h(x),h(x)的變化情況列表如下:x-3)(-3,-11(-1,2)2)

29、(2,33h(x)+00+h(x)k-45增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值數(shù)增函k-9因?yàn)閔(1)k7,h(2)k20,所以，由上表可知h(x)mink45，故k-45>0，得k>45,即k45,+8).小結(jié)：對(duì)于閉區(qū)間I，不等式f(x)<k對(duì)xI時(shí)恒成立f(x)max<k,xI;不等式f(x)>k對(duì)xI時(shí)恒成立f(x)min>k,xI.此題常見的錯(cuò)誤解法：由f(x)maxwg(x)min解出k的取值范圍.這種解法的錯(cuò)誤在于條件“f(x)max<g(x)min”只是原題的充分不必要條件，不是充要條件，即不等價(jià)(2) 根據(jù)題意可知，(2)中的問題等價(jià)于h(x)=

30、g(x)f(x)>0在x-3,3時(shí)有解，故h(x)max>0.由(1)可知h(x)max=k+7，因此k+7>0,即卩k7,+8).(3) 根據(jù)題意可知，(3)中的問題等價(jià)于f(x)maxwg(x)min,x-3,3.由二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得，x-3,3時(shí)，f(x)max=120k.仿照(1),利用導(dǎo)數(shù)的方法可求得x-3,3時(shí)，g(x)min=21.由120k>21得k>141,即k141,+8).從上面三個(gè)問題的解答過程可以看出，對(duì)于一個(gè)不等式一定要看清是對(duì)“x”恒成立，還是“x”使之成立，同時(shí)還要看清不等式兩邊是同一個(gè)變量，還是兩個(gè)獨(dú)立的變量，然后再根據(jù)不同

31、的情況采取不同的等價(jià)條件，千萬不要稀里糊涂的去猜.二、相關(guān)類型題：一、"af(x)"型；形如"af(x)","af(x)"型不等式，是恒成立問題中最基本的類型，它的理論基礎(chǔ)是“af(x)在xD上恒成立，則af(x)max(xD)；af(x)在xD上恒成立，則af(x)min(xD);”.許多復(fù)雜的恒成立問題最終都可歸結(jié)到這一類型例1:已知二次函數(shù)f(X)ax2X，若x0,1時(shí)，恒有1f(x)|1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：Q|f(x)|1,1ax2X1;即21xax1x;當(dāng)x0時(shí)，不等式顯然成立，aR當(dāng)0x1時(shí)，由1xax21X得：11

32、2aXX1112，而(2XXX丄)min0X11a0.又()max2,a2,2a0，綜上得a的范圍是a2,0。xx二、"f(xjf(x)f(X2)"型x例2已知函數(shù)f(x)2sin()，若對(duì)xR，都有"f(xjf(x)f(X2)"成立，則|人x?|的最小25值為.解對(duì)任意xR,不等式f(xjf(x)f(x2)恒成立，f(Xj,f(X2)分別是f(x)的最小值和最大值.對(duì)于函數(shù)ysinx，取得最大值和最小值的兩點(diǎn)之間最小距離是n,即半個(gè)周期.x又函數(shù)f(x)2sin()的周期為4,|x,x21的最小值為2.三、"f(乞_顯)f(Xi)f(X2)&

33、quot;型222例3:(2005湖北)在y2x,ylog22x,yx,ycosx這四個(gè)函數(shù)中，當(dāng)0x,x21時(shí)，使"f(X1X2)上血血"恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是()22解：本題實(shí)質(zhì)就是考察函數(shù)的凸凹性即滿足條件IIf(Xi)f(X2)"2的函數(shù),應(yīng)是凸函數(shù)的性質(zhì),畫草圖即知ylog22x符合題意;四、."f(Xl)f(X2)0"型X1x2例4已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)?,1,f(1)1，若m,n1,1,mn0時(shí)，都有"一回0",mn若f(x)t22at1對(duì)所有x1,1,a1,1恒成立，求實(shí)數(shù)t取值范圍解：任取1x1X21，則f

34、(xjf(x2)f(X1)f(X2)(XX-IX?X2)，由已知f(X1)X1g0,又X2x-ix20,f(X1)g0f,即f(x)在1,1上為增函數(shù)-f(1)1,X1,1,恒有f(x)1;要使f(x)t22at1對(duì)所有X1,1,a1,1恒成立，即要t22at11恒成立,故t22at0恒成立，令g(a)2att2,只須g(1)0且g(1)0,解得t2或t0或t2。評(píng)注：形如不等式"0"或"一0"恒成立，實(shí)際上是函數(shù)的單調(diào)性的另一種表X1X2X1x2現(xiàn)形式，在解題時(shí)要注意此種類型不等式所蘊(yùn)涵的重要信息五、"f(x)g(x)"型：1例5:已知f(x)?lg(x1)，g(x)lg(2xt)，若當(dāng)X0,1時(shí)，f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解：f(x)g(x)在x0,1恒成立，即F32xt0在X0,1恒成立.廠2xt在0,1上的最大值小于或等于零.14x1令F(x).X12xt,F(x)，:x0,12jx1F'(x)0,即F(x)在0,1上單調(diào)遞減，F(xiàn)(0)是最大值.f(x)F(0)1t0,即t1。六、"f(xjgg)"型13249xc例6：已知函數(shù)f(x)-Xx3x-,g(x)-，若對(duì)任意X1,X22,2，都有f(xjg(X2),3