轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

1、第一章轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)本章主要內(nèi)容：渦動(dòng)分析臨界轉(zhuǎn)速2.重力影響彈性支承影響非軸對(duì)稱轉(zhuǎn)子影響、穩(wěn)定性問題初始彎曲影響6等加速過臨界的特點(diǎn)第一節(jié)轉(zhuǎn)子的渦動(dòng)旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子是具有質(zhì)量和彈性的振動(dòng)系統(tǒng)，這與其他振動(dòng)系統(tǒng)相同。區(qū)別：轉(zhuǎn)子是旋轉(zhuǎn)的渦動(dòng)：既有自轉(zhuǎn)，又有公轉(zhuǎn)，是一種復(fù)合運(yùn)動(dòng)。用3工（+r二Q不平衡力引起的同步正進(jìn)動(dòng)分析2019/1/8#第二節(jié)Jeffcott轉(zhuǎn)子渦動(dòng)分析Jeffcott轉(zhuǎn)子：垂直安裝等截面對(duì)稱轉(zhuǎn)子、不計(jì)重力影響。、Jeffcott轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)微分方程Jeffcott轉(zhuǎn)子示意圖薄盤：h/D0.1;偏心矩:定坐標(biāo)系：oxyz；基點(diǎn)：0設(shè)自轉(zhuǎn)00為常數(shù)，確定o的運(yùn)動(dòng):X(t)vy(t)或r(t

2、)v6(t)圖1-10Jeffcott轉(zhuǎn)子的示意圖軸的彎曲剛度為EJE：彈性模量山截面慣性矩假設(shè)：扭轉(zhuǎn)剛度無限大(不計(jì)扭振)忽略軸向位移、剛性支承2019/1/89軸的彈性恢復(fù)力在坐標(biāo)軸上投影為:FxkxF$=kyk軸的剛度系數(shù)對(duì)稱簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)剛度為:粘性外阻尼力在坐標(biāo)軸上投影為:R尸-c*C粘性阻尼系數(shù)圖1-11圓盤的瞬時(shí)位置及受力Ry=cym文g=+F嚴(yán)cxkx由牛頓定律可得：myc=Hy+Fy-cyky由幾何關(guān)系可知：xc=x+ecos(pyc=y+fsin兩邊對(duì)時(shí)間求兩次導(dǎo)數(shù)得：/xc=%e(pcos(pe2（1-篤）2+（2宀pp2gpco屮-arctan=arctanpco1160!

3、p低轉(zhuǎn)速區(qū)共振區(qū)高轉(zhuǎn)速區(qū)colp低轉(zhuǎn)速區(qū)共振區(qū)高轉(zhuǎn)速區(qū)CDpr?e%u90CD?pCD=pr=e%u0低轉(zhuǎn)速區(qū)圓盤重邊飛出共振區(qū)a180高轉(zhuǎn)速區(qū)盤輕邊飛出;自動(dòng)定心或質(zhì)心轉(zhuǎn)向2019/1/815臨界轉(zhuǎn)速定義(ISO)：系統(tǒng)(位移)共振時(shí)主響應(yīng)的特征轉(zhuǎn)速。主響應(yīng)：軸頸運(yùn)動(dòng)或轉(zhuǎn)子撓曲對(duì)于Jeffcott轉(zhuǎn)子，臨界轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)釜=0常以3“或3c表示，若以轉(zhuǎn)/分或轉(zhuǎn)/秒為單位，則有60將轉(zhuǎn)子撓度表達(dá)式代入臨界轉(zhuǎn)速條件得clr_co2)p2d()2C(2解得5=pJX_T12j可見，阻尼總使臨界轉(zhuǎn)速大于橫向振動(dòng)固有頻率，與機(jī)械振動(dòng)中的阻尼使固有頻率降低作用相反。當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)阻尼很小時(shí)，可近似認(rèn)為：叭嚴(yán)P此時(shí)

4、有rI311EX2C?22019/1/8-“103=p時(shí)，（p=n/2,與阻尼系數(shù)g大小無關(guān)，利用這一特點(diǎn)可測(cè)取轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的P，在小阻尼情況下可近似為臨界轉(zhuǎn)速。當(dāng)=0時(shí)，3p時(shí)，cp=0,0、0、c三點(diǎn)在一條直線上3P時(shí)，p=TT,O、0、c三點(diǎn)在一條直線上3=p時(shí)，cp=TT/2,不同轉(zhuǎn)速下圓盤偏心位置見圖114圖1T4在不同轉(zhuǎn)速吋的偏心位置3二Q，同步正渦動(dòng)，或正協(xié)調(diào)進(jìn)動(dòng)；3=-Q,同步反渦動(dòng)，或反協(xié)調(diào)進(jìn)動(dòng)；3HQ，同方向，正渦動(dòng)，或非協(xié)調(diào)正進(jìn)動(dòng);3HQ,反方向，反渦動(dòng)，或非協(xié)調(diào)反進(jìn)動(dòng)。當(dāng)轉(zhuǎn)子盤不在中間時(shí)，即使是無阻尼系統(tǒng)，其臨界轉(zhuǎn)速主要是陀螺力矩影響?？谵D(zhuǎn)0ft)同步正進(jìn)動(dòng)軸的受力例：已知

5、：軸長(zhǎng)l=57cm,直徑d=l.5cm,軸材料彈性模量E=20.58xl06A/cm2,直徑D=16cm,材料密度q=78x10一嘆g/c席不計(jì)阻尼。求：1）臨界轉(zhuǎn)速32)e=0.lciu,3=0.63“；3=0.83“時(shí)的動(dòng)撓度丫及支反力幅值F。解：彈性軸質(zhì)量：ms.=(xl.52)/4x57x7.8xl03=0.7856g圓盤質(zhì)量：=(x162)/4x2x7.8x10-3=3.137kg彈性軸中點(diǎn)剛度：Z:=48EJ/3=(48x20.58xl06xxL54)/(573x64)=1325553/V/cm不計(jì)軸質(zhì)量時(shí)臨界轉(zhuǎn)速：%=色U=30i=196296r/n.nc271mD7tV3.13

6、72019/1/821計(jì)入彈性軸等效質(zhì)量，按照振動(dòng)理論，梁在中點(diǎn)的等效質(zhì)量為原質(zhì)量的17/35,則臨界轉(zhuǎn)速為：60k2乃VmD+ms.17/353012325.553xlO3Tv3.137+0.7856x17/35=1853.3r/min3=0.6GOCY時(shí)撓度為：_e(%/力)?一1(1/06)21_0.05625?加支反力幅為：F=kr=74.562N軸承力與重力之比為:F(ms+mD)g74.562(0.7856+3.137)=1.940CO=0.8C0cr時(shí)撓度為:r(%/Q)2-10.1(1/0.8)2-!=0.177支反力幅為：F二kr二235.68N軸承力與重力之比為:(叫+%)

7、g23568(0.7856+3.137)=6.131第二節(jié)剛體繞定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型：連續(xù)質(zhì)量模型彈性體 集中質(zhì)量模型盤軸系統(tǒng)本章以盤軸系統(tǒng)為分析模型剛體在空間有六個(gè)自由度：沿三個(gè)垂直軸方向的平移和繞這三個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。理論力學(xué)：剛體運(yùn)動(dòng)可分解成隨基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。平動(dòng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律與基點(diǎn)選擇有關(guān)；轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律與基點(diǎn)選擇無關(guān)。1.2.1描述定點(diǎn)剛體位置的歐拉角剛體球錢定點(diǎn)約束：約束三個(gè)平動(dòng)自由度； 只有三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。定坐標(biāo)系oxyz與動(dòng)坐標(biāo)系的關(guān)系oxyN見表11和圖16xfAX沁3yPl%?3zY1丫2Ys表1-1定坐標(biāo)軸與動(dòng)坐標(biāo)軸之間的方向余弦圖6描述剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的定、動(dòng)坐標(biāo)系2019/1

8、/8關(guān)系式為：（?！眤）U（x；y；z）x+%y+a詁xfa1x+3ij/+YjZ,y+02：/+%*N+Yy+YSy=4%+卩2歹+途為乞=%+仏Y揮。各方向余弦存在關(guān)系：（1tiJ+Y/Y；io,n25/=1,2?3o因此，九個(gè)方向余弦中只有三個(gè)是獨(dú)立的（自由度數(shù)）。方向余弦求解復(fù)雜，采用夾角歐拉角表示，多種定義。1、第一種定義（圖17）:1）動(dòng)坐標(biāo)與靜坐標(biāo)重合，先繞oz軸轉(zhuǎn)動(dòng)屮角進(jìn)動(dòng)角;到達(dá)oNN弘oN稱為節(jié)線，右手法則 2）繞ON軸轉(zhuǎn)e角一一方位或撓曲角； 到達(dá)oNNY 3）繞轉(zhuǎn)cp角自轉(zhuǎn)角； 到達(dá)oxyz圖1-7按第-種方法定義的歐拉角及具陽應(yīng)的坐標(biāo)軸引入坐標(biāo)軸矢量亍、了、匸、ikf

9、再引入oN、0N1及的單位矢量方、五1、斤，則有:2019/1/8叫二GFcosQo25由于:=nSlH1|j+孟iCOS嘰7zkncos如十hzsin6令了/=nsin（j）+nCCS9Ofn-n4s/fn.，ncos6得到:a嚴(yán)i*f7-coscascpsiinosuicos9?a：.=。亍=cosi|）srnd）sini|jcoscos0?3=7*/czB?=了T=snnbcoscb+cosibsm（pcosO?仏=亍產(chǎn)=simpsin+coscoscosa=/fc/=一cos帖爲(wèi)=sin）sin9?Y嚴(yán)兀=cos（isin09Q、0結(jié)合體現(xiàn)進(jìn)動(dòng)與方位角。令0X1、oyi、0Z1單位矢量

10、為圖1-8按第二種方法定義的歐拉角及其相應(yīng)的坐標(biāo)軸2、第二種定義（圖18）1）動(dòng)坐標(biāo)與靜坐標(biāo)重合，先繞oy軸轉(zhuǎn)動(dòng)a角，到達(dá)oxiyzi；右手法則2）繞ox】軸轉(zhuǎn)0角，到達(dá)0兀3）繞02轉(zhuǎn)p角一一自轉(zhuǎn)角，到達(dá)oxyzf則有分無！=1,0,ni*爲(wèi)=0昇2&3sinP2019/1/827由此可導(dǎo)出歐拉角的三角函數(shù)表示的方向余弦:ai匸補(bǔ)T=cosaccscb+sinasnu|)sinB1-fa=jqj=cosocsi.B$+sTnacos4slnpa嚴(yán)三用=sinacosp?3i=了sin4cos3?Be=/u/z=cos6cos3?氏=了訂=SiTipJYi=蕪訂/=cosashisin3sin

11、acosb處二QJz=cocos(l)sinP+sinasincj),歐拉角表示的剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)為=(才)，aa(t).60(0?)3=0(/)*1.2.2剛體繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角速度及速暫布剛體的角速度為S=(j)z-b+Qn或宙=(用十好+B%方所在的位置稱為剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸，瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸時(shí)刻不同，但總通過定點(diǎn)。第一種定義法得到矢量方向定坐標(biāo)系投轡得乂=(03十6cg弓眞ay=6B3+6sw?2O19/i/8產(chǎn)必+嘰31利用方向余弦關(guān)系得方向動(dòng)坐標(biāo)系投影得cox=（j）sinGccosP+0co3,5=4）sinO+?叫=（i）cosacosP一Bshia,=dsir4）C0sP十

12、BeOS札昇=&cogcosp_Bshi札,=一&巫訶+為3尢=（j）sini|）sin9+6cos認(rèn)嚴(yán)（jcos*shie+sin嘰=4）siT|）sin9+ecos（）?3/=ijcos4）sin9esrn9呦蕊占任一點(diǎn)瞬時(shí)速度矢量為矽=丫4drdt類似，由第二種定義可得方向定坐標(biāo)系和動(dòng)坐標(biāo)系的投影將速度向定坐標(biāo)系和動(dòng)坐標(biāo)系投影得=0廬一叫卩5=兀一CD乂為%=尤ya打色剛體上各點(diǎn)角加速度和加速度為1.2.3剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理：剛體對(duì)定點(diǎn)。的動(dòng)量矩圧對(duì)時(shí)間啲導(dǎo)數(shù)，等于外力系對(duì)該點(diǎn)的主矩4則有dHo亠對(duì)有集中質(zhì)量的剛體，動(dòng)量矩為百。=工升X/nQr剛體在絕對(duì)運(yùn)動(dòng)中對(duì)質(zhì)心的

13、動(dòng)量矩Hc,等于剛體隨質(zhì)心平菇視坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩方廿。因?yàn)橛伤俣群铣啥ɡ恚呵啥?巧則剛體相對(duì)質(zhì)心的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)量矩為ffffffHc=x(“”)=工呂xmz(vc+vz)=(m)xvc+X(myi)由于剛體對(duì)質(zhì)心的質(zhì)量矩等于零，即工冊(cè)療：=0因此Hc=r-xm=Hcr若將固定點(diǎn)取在質(zhì)心o上，則有在相對(duì)隨質(zhì)心平移的動(dòng)坐標(biāo)系中，剛體對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于外力系對(duì)質(zhì)心的主矩剛體相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理。因此，對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩的計(jì)算只鬧考慮相”寸轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，有v=Sr剛體動(dòng)里矩為亓(二加I於x)=2mz.(ri/;.)矽丫加/(於)=方Y(jié)mf(x：2+汀)一丫叫斤(蚣心+o)

14、yy+企憶；)向動(dòng)坐標(biāo)系投影得Hs/丫加心尸+笊)-(Dj出必一3jErii%諾=IJJ5口式中：為剛體對(duì)ox軸的慣性矩人y=HmixiX為剛體對(duì)ox、oy軸的慣性積IJJ工加注為剛體對(duì)OA7、OZ軸的慣性積對(duì)一般具有圓截面的均質(zhì)軸對(duì)稱轉(zhuǎn)子有對(duì)均質(zhì)薄盤有式中：m圓盤質(zhì)量R圓盤半徑類似可得小一人/%/I/yf于是2019/1/833如果。兀/為剛體對(duì)點(diǎn)的主慣性軸，則各慣性積為零，即口a嚴(yán)0fif+1.jG).jjf17f(o7rkyyu?V，阮J第三節(jié)單盤偏置轉(zhuǎn)子的渦動(dòng)、回轉(zhuǎn)效應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:反應(yīng)剛體質(zhì)量分布的力學(xué)參數(shù)。中心極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：Jp繞通過執(zhí)行的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。中心直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:打繞通過質(zhì)心

15、的任一直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1=均值等厚度Jd=其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:丄2mr+412盤的回轉(zhuǎn)效應(yīng)：轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體有力圖保持轉(zhuǎn)軸方向不變的特性。轉(zhuǎn)動(dòng)物體的慣性的體現(xiàn)。三個(gè)圓盤的動(dòng)量矩：H=JpGH的方向沿軸線的切線方向。若轉(zhuǎn)子以角速度血繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則動(dòng)量矩的變化率：彩Hat2019/1/843此圓盤H方向有變化，伺回轉(zhuǎn)效應(yīng)圖1弋圓盤的冋轉(zhuǎn)效應(yīng)圖卜9動(dòng)量矩矢量H及其變化率動(dòng)量矩定理：LP=H圓盤在軸上的反力矩：Lp=-L,COJQcoa圓盤的回轉(zhuǎn)力矩：Lp=Ha)sina圖卜8圓盤的冋轉(zhuǎn)效應(yīng)圖卜9動(dòng)量矩矢量H及其變化率化的現(xiàn)象（見圖1一15）。如圖115,圖1-15偏置圓盤在自轉(zhuǎn)中的離心慣性力回轉(zhuǎn)效應(yīng)：由于咼速旋轉(zhuǎn)

16、圓盤的偏擺運(yùn)動(dòng)而使臨界轉(zhuǎn)速變1.3.1單盤偏置轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)微分方程假設(shè)：無阻尼、無偏心不計(jì)軸質(zhì)量圓盤的軸線在空間畫出的軌跡是個(gè)錐面。為分析方便，建立如下坐標(biāo)系：（圖116、圖1-17）1）定坐標(biāo)系：oxyz2）隨o點(diǎn)平移坐標(biāo)系：3）固聯(lián)于o動(dòng)坐標(biāo)系：o訪匚圖1-16分析單盤偏置轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系2019/1/8其中2=是軸撓度曲線的切線o*、o為兩正交直徑33泓EJMx-abb2)oa1薄盤運(yùn)動(dòng)可以用xoz、yoz平面投影x(t)、y(t)表示。采用第二種歐拉角定義有a(t故可以用x(t)、y(t)、(p(t)、a(t)、p(t)確定圓盤空間位置，描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。如圖118,R點(diǎn)的撓度X和轉(zhuǎn)角a為_F

17、冊(cè)Mxab(a-6)3lEJ呼，一Fxaba-b)a_31EJ+ZlEJ解出盤對(duì)軸的作用力凡和力矩Mx為：F驚=3】EJa2ab+babaW十a(chǎn)V=耳1久十力2,圖1T8弓單性軸受力后的變形M嚴(yán)3血（土詁x+-加J式中:a2abb235站嚴(yán)叱tiej（耳擊3lEJ際一礦。=飩1乙上川C2019/1/837IdadH_一dtdtdHofxf_d一-dtdtdHJJ.一一;-d二CHHjJ=I血日厶/=/護(hù)|3+/川根據(jù)對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理對(duì)圓盤有IdHo一3）-dt一d八dHjJ_=_d（片3a-/招）=一皿dT川I空a=詹（幾詡+加）=-皿“由于R是質(zhì)心，所以豊環(huán):、;匚薦聲則由上式得:假設(shè)作用

18、圓盤上的所有外力對(duì)兀的矩力201/8U)=常數(shù)#2019/1/839在此條件下，可得盤的偏擺運(yùn)動(dòng)微分方程:1葉“1+怡21兀+冷曲a=0聯(lián)立求解/招丿”32+免0=0與方程加壬+仏1兀+觥0=0皿少+仏1夕+儲(chǔ)莎=01.3.2單盤轉(zhuǎn)子渦動(dòng)分析設(shè)聯(lián)立方程的解為：x-sinQIy=BcosQr9a=CsinQp=Deos旅-代入聯(lián)立方程，得到A、B、C、D的一次齊次方程組，根據(jù)非零解的條件，方程系數(shù)行列式的值應(yīng)等于零，由此得到關(guān)于自然頻率Q的高次方程，將解得的Q代回聯(lián)立方程，圖1-19轉(zhuǎn)子的彈性軸變形后的幾何關(guān)系可得相應(yīng)的一組A、B、C、D之間的比值。轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定時(shí)，動(dòng)撓度曲線在動(dòng)坐標(biāo)系中是不變的

19、；只是繞著0Z軸進(jìn)動(dòng)，進(jìn)動(dòng)角屮(t)一般從0X軸量起。令總的動(dòng)撓度為r,撓曲角為8,由圖119幾何關(guān)系得久二心I)yrsinx|)(t)a=Ocosi|j(I)P=9siTii()(t)顯然，r、e=常數(shù)，且譏疇常數(shù)將以上關(guān)系式代入聯(lián)立方程得一徳2知+尿/+嘉曲=0,由此可見：彈性軸發(fā)生彎曲不僅有離心力(-mQ2)，還有回轉(zhuǎn)力矩Clp-Id)Q20的影響；回轉(zhuǎn)力矩改變了軸的彎曲剛度。展開后得:他1_朋Q2*12=0免1Q2l+22(尿wQ2)(/p3Q/?+免2)仏龐嚴(yán)0,上式是關(guān)于40的齊次方程，由非零解條件得:mIdQ4加仇3Q3(/朋口+曲22)Q2+/屆13Q+knk2tlkl2kll

20、00上式可求得Q得四個(gè)根，且隨3而變，令：Q=3為同步正進(jìn)動(dòng)，則方程為加(厶一心兀心廠論-嚨2f2019/1/8(11221221)=,O存在一個(gè)正根（負(fù)根舍去）.討論：1）令（心諾-一o頻率方程為：尿傀2息廬QJ他2鶴=0解得：也3QK曠逬H式中：觥1=aip為彈性軸o點(diǎn)的橫向剛度此時(shí)得到的頻率數(shù)值上等于轉(zhuǎn)子不旋轉(zhuǎn)時(shí)的橫向固有頻率，即不計(jì)回轉(zhuǎn)效應(yīng)時(shí)轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速。一頻率為：卜犒曠P7,2）令Q二一3為同步反渦動(dòng)，頻率方程為m（Ip+Zd）Q4（Ip+mkQa+（怡1傀2億戲21）=0。2019/1/841有兩個(gè)正根（仍然假設(shè)為薄盤，即Ip二2Id）為3）如果出現(xiàn)IpVld的情況（如地面串聯(lián)式離

21、心壓氣機(jī)），可能使得（幾嶋一一/在正同步渦動(dòng)情況下為負(fù)值，此時(shí)陀螺力矩將降底臨界轉(zhuǎn)速。例：已知：軸長(zhǎng)l=57cm,直徑d=l.5cm,軸材料彈性模量E=20.58xl06A/cm2,直徑D=16cin,材料密度/7=7.8xl03/cm3,a=l/4,b=l(3/4),不計(jì)阻尼。求：臨界轉(zhuǎn)速3解：Id二50.192kg.cm2a=l/4=14.25cinb=l-a=42.75cm31EJ二874.53xlO6Mcm3kn=5498.589N/cmki2=k2i=-67161.07Nk22=3-43556&Ncm1）考慮輪盤回轉(zhuǎn)效應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速為2019/1/842=1420208.1則wcr=3

22、0Q/tt=2663.02轉(zhuǎn)/分不考慮輪盤回轉(zhuǎn)效應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速為:對(duì)懸臂轉(zhuǎn)子有類似結(jié)論，頻率特性曲線如圖121所示/3=Qf%二寸黑曲7鯛專/分回轉(zhuǎn)效應(yīng)提高臨界轉(zhuǎn)速百分比為（-%）/%=175%2第四節(jié)重力對(duì)臨界轉(zhuǎn)速影響、副臨界對(duì)水平安裝的Jeffcott轉(zhuǎn)子，重力影響：1）重力產(chǎn)生靜撓曲；航空發(fā)動(dòng)機(jī)一忽略、汽輪機(jī)一揚(yáng)度2）質(zhì)量偏心:交變力矩mgesincot,如圖1222薄盤極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：Ip=mr式中：P為回轉(zhuǎn)半徑輪盤角加速度為：（ge/”）sin血產(chǎn)生一個(gè)切向慣性力：加gdsin曲/垂直分量為：圖1-22作用在水平轉(zhuǎn)子上的重力sin2cotIp1-mge（1一coslcot）/p1式中的常

23、值部分產(chǎn)生靜撓度；交變部分在垂直方向投影作簡(jiǎn)諧變化；當(dāng)C0=C0cr/2時(shí)，此時(shí)，動(dòng)撓度達(dá)到姚衣值副臨界。#1.4.1水平Jeffcott轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)微分方程水平安裝的Jeffcott轉(zhuǎn)子如圖1一23無阻尼、盤在中間、無回轉(zhuǎn)效應(yīng)。、。、c三點(diǎn)總在一條直線上，如圖124,彈性恢復(fù)力投影為F嚴(yán)念（血一ecc4）,Fy=一（3厶一esin）根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得mxQkxokeco3mgmycJrkyc=kesinQ繞質(zhì)心軸線的動(dòng)量矩為/亦二肌P勺圖1-23水平Jeffcott轉(zhuǎn)子的簡(jiǎn)圖加（耳兀一乂孔）圓盤質(zhì)量m對(duì)oz軸的動(dòng)量矩為2019/1/845根據(jù)動(dòng)量矩方程有:石-加卩2右+一丸）=Mz+mgycmg

24、m(xcAyc-ycxcA)=mgsin(cr/2)r=,COSocos聯(lián)立方程的解為:即mP$+皿（xcyc九辺）=加+mgyfft為了化簡(jiǎn)方程，作坐標(biāo)變換，令變換后聯(lián)立運(yùn)動(dòng)微分方程為：mxG4+kxGA=屁cos札myG+kya=Aesiu+m（xycyjxaJ=Ms+msincj）1.5.2水平Jfffcott轉(zhuǎn)子渦動(dòng)分析.假設(shè)：Mz=0,0=現(xiàn)/2=常數(shù)，則0=0令cp的初值為零，則（P=（3/2）t,代入運(yùn)動(dòng)微分方程第三式:201/8#yc一5sing+蘭sin空scr32式中:6s=mg/k為圓盤重力作用下彈性軸跨中靜撓度。根據(jù)圖124的幾何關(guān)系,盤質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程為:COX7a-ec

25、os2=_Q(l+COS%t)+rce(Dcry=y-esin1=-osinmt+sin1jjc2sc32進(jìn)動(dòng)由個(gè)分量組成：基頻分量與偏心矩e有關(guān)；倍頻分量與靜撓度&S有關(guān)。例1.6：求第四節(jié)例子轉(zhuǎn)子，重力作用下，副臨界時(shí)兩個(gè)運(yùn)動(dòng)分量幅值。解：基頻分量為：e=3=0.1/3=0.0333cm倍頻分量為：6s=ing/k=0.0232cm可見各幅值較小，只有&s較大情況下，才能觀察到明顯副臨界現(xiàn)象，軸橫截面非對(duì)稱是一個(gè)更為主要原因，下節(jié)討論。2019/1/847第五節(jié)彈性支承單盤轉(zhuǎn)子渦動(dòng)分析1.5.1彈性支承單盤轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)微分方程典型鼠籠式彈性支承結(jié)構(gòu)見圖125彈性支承單盤轉(zhuǎn)子計(jì)算模型見圖126

26、圖25鼠籠式轉(zhuǎn)子支承系統(tǒng)的示意圖圖卜26彈性支承的單盤轉(zhuǎn)子如圖126,假設(shè)支承的質(zhì)量、岡I度、阻尼參數(shù)分別為： mb、kx、ky、CxCy,支承轉(zhuǎn)子的作用力為：Fx=-cxxb-kxxb應(yīng)用非保守系統(tǒng)的拉格朗日方程:憶+卡Fy=-CyYb-kyYb由于阻尼存在，ndfbLdi丸jJj=1,式中：L二T-V拉格朗日函數(shù)T系統(tǒng)的動(dòng)能函數(shù)V系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù) cp系統(tǒng)阻尼的耗散函數(shù)Qj作用在系統(tǒng)上的廣義力qj系統(tǒng)廣義坐標(biāo)n系統(tǒng)自由度數(shù)2019/1/849用也（戈EdsinCO/）2+（少+03COS血）T產(chǎn)2你譏xg+九）人=-弓伉（久一衍）？+（火）2乙=-2（也吟+第處）c（士一匕）2十（夕j九嚴(yán):

27、b=-+cyyj）滬凹茫2=3二常數(shù)支承動(dòng)能:支承勢(shì)能:假設(shè)支承對(duì)稱，自由度減為二個(gè)：Xb（t）yb（t）；圓盤位于中間,自由度減為二個(gè)：Xc（t）、yc（t）cp（t）,系統(tǒng)共五自由度設(shè)圓盤角速度為常數(shù)：則系統(tǒng)縮減為四個(gè)自由度數(shù)。12支承粘性阻尼耗散函數(shù)：因假設(shè)3=常數(shù)，合力矩為零，若忽略重力影響，則系統(tǒng)廣義力為零。2019/1/8#將以上各式代入拉格朗日方程得加我+C（左一處&）+怡（咒一）=朋能2sin,m&%5+cxx&+kxxb0:mbyb+cyb-Vkyybkyyb）=01.5.2彈性支承單盤轉(zhuǎn)子渦動(dòng)分析為簡(jiǎn)化分析，不計(jì)阻尼，可設(shè)將其代入運(yùn)動(dòng)微分方程得一ma?XJrk（.X天）=眈

28、能co,-mY+k（Y一兒）=叫沁mgXb+hhX&一h（XX）02Kh+k（YY0x=Xcos打2019/1/851由第三式解得代入第一式得于是-mdx+k(x-養(yǎng)/蔦=k2y_kX4=-/k+kxme分母為零，X=Rb+觥一盹2則X達(dá)到無限大，即X另向的臨界轉(zhuǎn)速3cr,令_一壬瓦氓謔廠=0松他農(nóng)Qk(md+kxmd)co?x+kkx=0Tmd叫+丄.)+.bj憶+”亠0mdmb由求根公式可得討論：1)kxk,支承幾乎不動(dòng)，支承質(zhì)量可視為零，nib二0,頻率方程簡(jiǎn)化為：Jk一mdco3務(wù)=1用+_)+-mdmbJrrg、+厶一丫址咗一/)mbJmambJXr,則為正渦動(dòng)；如果Xpky,則:3

29、cx3cy。a）當(dāng)33cy時(shí)，Xc0,YsXcM：9/XpXr,為正渦動(dòng)，a二|Ys|,b二Xc,a=90,=0ob）當(dāng)3=3cy時(shí)，Xc0,Ys=則：a=,b=Xc,a=90,必=90。c）當(dāng)%少0,Ys0則：XP0則：XpXr,為反渦動(dòng)，a二Xc=Ys,b二一a,a=45,=27CPe）當(dāng)硝）/2s0,Ys0,且XcYs則：XP0則：a=,b二土Xc,&=0,亦=90g）當(dāng)3Wcx時(shí)，Xc0,且|Xc|Ys則：XpXr,為正渦動(dòng)，a=|Xc|,b二Ys,d=O,0a=18CPh）當(dāng)3=8時(shí),Xc二一e,Yc二e則：XpXr,為正渦動(dòng),a=b二e,（f）a=180P2019/1/856盤心運(yùn)

30、動(dòng)軌跡和方向如圖129。通常軸的兩個(gè)方向剛度差異不大，兩個(gè)臨界轉(zhuǎn)速靠得很近,一般不允許在臨界轉(zhuǎn)速附近停留，故一般只能看到正進(jìn)動(dòng)。X2019/1/857圖1-29在不同轉(zhuǎn)速時(shí)盤心進(jìn)動(dòng)的軌跡和方向第六節(jié)非軸對(duì)稱單盤轉(zhuǎn)子的渦動(dòng)分析實(shí)際轉(zhuǎn)子非對(duì)稱典型結(jié)構(gòu)見圖1302019/1/8F產(chǎn)一尿T圖卜30典型雙剛度軸（轉(zhuǎn)子）的戳面假設(shè)支承剛度遠(yuǎn)大于軸的彎曲剛度，由于軸剛度不對(duì)稱，重力激勵(lì)頻率為轉(zhuǎn)速二倍。當(dāng)轉(zhuǎn)速到達(dá)臨界轉(zhuǎn)速一半時(shí)，會(huì)使動(dòng)撓度達(dá)到極值副臨界。是引起副臨界的重要原因（圖1-31）o2019/1/81-6.1非對(duì)稱軸的單盤轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)微分方程如圖1-31,建立與定坐標(biāo)系平行的坐標(biāo)系okyz；再建一動(dòng)坐標(biāo)系

31、o弄;令礎(chǔ)軸截面兩個(gè)主慣性軸，轉(zhuǎn)子以3繞ok軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)截面兩個(gè)主慣性矩為女、相應(yīng)彎曲剛度為：r48EJt/一48EJ軌3?伽_J3圓盤偏心為6,相對(duì)動(dòng)坐標(biāo)系的相位角為Cpe%=幺COS札已嚴(yán)&sin札0瑋=畑段(+qoos札)S列=加0)2(耳+幺sin札).S聯(lián)=2加訊則有:動(dòng)坐標(biāo)系中牽連慣性力為盯在g、n軸上的分量為：哥氏慣性力的分量為：S=2皿儷軸的彈性反力分量為:Fg=b缶耳=c（|com）從=一C（T|+CD）.R；=c/i圓盤粘性外阻尼力瓦分量為：式中：C圓盤粘性外阻尼系數(shù)。彈性軸內(nèi)阻尼力艮分量為：式中：C.彈性軸內(nèi)阻尼系數(shù)（分析見后面章節(jié)）。轉(zhuǎn)子受到的重力W分量為：=阮gcosc

32、oFF=mgsin根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，參考圖132,得也（總一3迭_2。打）+C（言一COH）+c港+鼠2mecos4）e+mpcosgtn（打一co?可十2。言）+c（打十cotJ+c+hj=mco2sinmgsin血。圖-32圓盤的瞬時(shí)位置及其所受的力令:2019/1/8蠶際m-（+燒可分別討論重力和偏心的作用。利用線性疊加原理+促2=如2COS也+9cos打c.一2打+2睦+一市（+cog）+p=2sin氛一9sin血。162重力作用下非對(duì)稱單盤轉(zhuǎn)子的渦動(dòng)重力單獨(dú)作用時(shí)運(yùn)動(dòng)微牛方程為：2tsp9CQZ簽一2。渤+（L一比）+詈-乩和一ft?耳+23基+-*（訊+爲(wèi)）+一.務(wù)一訊+q汕gsi

33、na）tt運(yùn)動(dòng)方程右端采用復(fù)數(shù)表示，并規(guī)定取其實(shí)部，有0cos3#=Re（ggE），9sin嚴(yán)）。2019/1/861設(shè)運(yùn)動(dòng)方程解為：g弋代入運(yùn)動(dòng)微分方程得：pt2/+i(c+cJ竺g-(上$1mJ&mpj-22+i(c+Ci)rj+a)+la)1=igm6m7亠欣一6tlge、g=ge求解上式，得g(圧一2曲+i泯一23?十i(C+c；)-i(cCO+22cd2)!rs*m*.23?+j(CH-C/)、7mJCDc+cF+(rn3十遼町-CD+?22)!弋心m3、m“g屮一20護(hù)十i(c十s)刪-j+i(.r.*W.*-*旅2?+j(c+Q暑p；2?+i(c+d)若忽略阻尼，即令c二Ci二0

34、,処，,二g(p=4/)e二8(p；_2)(p；_2t2)_4y2p2p2_2/+仏coscot可得固定坐標(biāo)系下進(jìn)動(dòng)方程：冷=轡（上嚴(yán)畀話気沁陀2由此可見：重力使雙剛度轉(zhuǎn)子-門一4心以兩倍自轉(zhuǎn)角速度作正進(jìn)動(dòng)；(3乞一432)COS(2護(hù)_32十邊1何0廠p2rA/(護(hù)一3爭(zhēng)十(2)2tg=瓷口2019/1/8軸彎曲為：P/122偏心盤為:2)動(dòng)撓度極值頻率:無阻尼時(shí)兩者相等。3)同時(shí)存在軸初彎曲匚和盤偏心6并假設(shè)相位差位&,由線性疊加原理得:ld/*一p2cd2+z，2CPS./?一0?+遼(0第八節(jié)轉(zhuǎn)子在越過臨界轉(zhuǎn)速時(shí)的行為臨界轉(zhuǎn)速附近撓度最大，主要討論越過臨界轉(zhuǎn)速時(shí)的行為。假設(shè)：轉(zhuǎn)子等加速

35、（或等減速）越過臨界轉(zhuǎn)速1.8.1變轉(zhuǎn)速時(shí)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)微分方程如圖1-34,以水平Jeffcott轉(zhuǎn)子為例考慮重力影響（x、y坐標(biāo)軸對(duì)調(diào)）。質(zhì)心c與盤心R坐標(biāo)關(guān)系有：圖1-34圓盤的瞬時(shí)位置及其受力孔=左一殆sin込=X一礎(chǔ)Sin殆0札%=%+acos札夕0=夕+餌5札J求一、二階導(dǎo)數(shù)得2019/1/8九二少+昭cos&sin札71軸的彈性反力為:F工=一kx9Fy=-ky盤粘性阻尼力:R=一氷9Ry=c:y式中:盤橫向運(yùn)動(dòng)阻尼系數(shù)粘性阻尼力矩：Mk=。2爲(wèi)式中：c2盤旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)阻尼系數(shù)重力和重力矩為:W=mg，Mgg（尤+fcos）設(shè)外力矩為M由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得搐込=凡+R”TTiV=F+RI-14代入質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程得：yymx十c（士一殆sin）+怡咒=mecosd）+用少十6（少+坯co詞）+Aymeteor：mg2019/1/871由質(zhì)心動(dòng)量矩定理得：-不-/）+（兀