自動(dòng)控制原理例題詳解-第8章例題

1、相平面法例題解析：要求：1正確求出對(duì)于非線(xiàn)性系統(tǒng)在每個(gè)線(xiàn)性區(qū)的相軌跡方程，也就是e-e之間關(guān)系的方程(或c-c)。會(huì)畫(huà)相軌跡(模型中是給具體數(shù)的)。關(guān)鍵是確定開(kāi)關(guān)線(xiàn)方程。2.探如果發(fā)生自持振蕩，計(jì)算振幅和周期。注意相平面法一般應(yīng)：1) 按照信號(hào)流向與傳輸關(guān)系。線(xiàn)性部分產(chǎn)生導(dǎo)數(shù)關(guān)系，非線(xiàn)性部分形成不同分區(qū)。連在一起就形成了不同線(xiàn)性分區(qū)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程，即含有c或者e的運(yùn)動(dòng)方程。2) 探根據(jù)不同線(xiàn)性分區(qū)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程的條件方程確定開(kāi)關(guān)線(xiàn)方程。開(kāi)關(guān)線(xiàn)方程確定很關(guān)鍵。不同線(xiàn)性分區(qū)對(duì)應(yīng)的相軌跡方程，即c-c和e-e之間關(guān)系。4)根據(jù)不同分區(qū)的初始值繪制出相軌跡，并求出穩(wěn)態(tài)誤差和超調(diào)、以及自持振蕩的周期例2

2、：具有死區(qū)特性的非線(xiàn)性系統(tǒng)分析。設(shè)系統(tǒng)開(kāi)始處于靜止?fàn)顟B(tài)。問(wèn)題1.用相平面法分析系統(tǒng)在輸入r(t)=41(t)時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況。問(wèn)題2.如果發(fā)生自持振蕩，求自持振蕩的周期和振幅。解：?jiǎn)栴}1：1)設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，死區(qū)特性的表達(dá)式：3) 探根據(jù)不同線(xiàn)性分區(qū)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程，利用解析法(分離變量積分法或者消去t法)和振幅等。x=0,Ie1<2<x=e一2,e>2x=e+2,e<22) 線(xiàn)性部分：=丄，則運(yùn)動(dòng)方程為：c=xX(s)s23) 繪制ee平面相軌跡圖。因?yàn)閑=rc，c=re，c=re，c=re。代入貝ije=x+r(1)e=0,IeI<2I當(dāng)t>0，r=0，r=0。

3、代入，則各區(qū)的運(yùn)動(dòng)方程<e.=2e,e>2IIe=e2,e<2III由于非線(xiàn)性特性有3個(gè)分區(qū)，相平面ee分為3個(gè)線(xiàn)性區(qū)。注意，當(dāng)相平面選好后，輸入代入后，最后代入非線(xiàn)性特性。4)系統(tǒng)開(kāi)關(guān)線(xiàn)：e=±2。5)由題意知初始條件e(0)=r(0)c(0)=4，e(0)=r(0)c(0)=0在II區(qū)，則從初始值出發(fā)繪制相軌跡：【注】：用解析法中的斜率法求：上課時(shí)按照此方法求相軌跡方程：II區(qū)：e+e-2=0不是標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的形式。根據(jù)斜率方程=£二-，則分離變量積分得Ie（2-e）de二Jeededeee40則ee之間的相軌跡方程為（e-2）2+e2=4結(jié)論

4、：II區(qū)以奇點(diǎn)（2,0）為中心的圓，與右開(kāi)關(guān)線(xiàn)e=2的交點(diǎn)A（2,-2）I區(qū)：e=0，e=常數(shù)=一2，水平線(xiàn)，與左開(kāi)關(guān)線(xiàn)e=2的交點(diǎn)B（-2，-2）m區(qū)：e+e+2=0-不是標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的形式。deee2根據(jù)斜率方程=二=，則分離變量積分得deee1（2+e）de=1ede（注意新的初始值B（-2，-2）(e+2)2+e2=422則ee之間的相軌跡方程為結(jié)論：m區(qū)以奇點(diǎn)（-2,0）為中心的圓。以此例推，出現(xiàn)了一個(gè)封閉橢圓。極限環(huán)問(wèn)題2：若相平面中出現(xiàn)了穩(wěn)定的極限環(huán)對(duì)應(yīng)著非線(xiàn)性的自持振蕩。問(wèn)題：自持振蕩的周期怎么算呢？幅值怎么算呢？如圖：這是個(gè)橢圓，1）周期：T=4（t+1）CAADii

5、區(qū)：tCA=J2de=J2de，4e4一4一（e一2）2這是因?yàn)椋篹2+（e2）2=4e=_：4（e2）2，意，e在圖中為負(fù)的。=Jde=J0一de=12e22振幅一一代表此時(shí)的位移，也就是此時(shí)與橫軸的交點(diǎn)位置大小一一即C點(diǎn)的橫坐標(biāo)。這是因?yàn)?，?duì)于整個(gè)非線(xiàn)性系統(tǒng)的奇點(diǎn)是（0，0）。對(duì)于該點(diǎn)，最大的位移就是振幅，因此是C點(diǎn)的橫坐標(biāo)4。例3：具有繼電器特性的非線(xiàn)性系統(tǒng)分析2006-B（15分）非線(xiàn)性控制系統(tǒng)如圖。問(wèn)題1：解：?jiǎn)栴}1：（10分）r+設(shè)r=0，繪制起點(diǎn)在co二2，co二0的c-c相軌跡圖。（1°分）計(jì)算相軌跡旋轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間。（5分）問(wèn)題2：0,Ie1<11）非線(xiàn)性環(huán)節(jié)

6、數(shù)學(xué)表達(dá)式：x=<2,e>1-2,e<-12）線(xiàn)性部分：=S_所以描述線(xiàn)性部分的運(yùn)動(dòng)方程為：c=xc=0IeI<1則<c=2e>1C=-2e<-13）繪制c-c平面相軌跡。e=r-c，令r=0，e=-c，'c=0,IcI<1I則各區(qū)的運(yùn)動(dòng)方程<c=-2,c>1IIc=2,c<-1IIIV注意：條件方程也要改成c-c的。4）開(kāi)關(guān)線(xiàn)方程：c=±15）由已知條件，起點(diǎn)c二2，c二0，（2,0）從II區(qū)開(kāi)始，下面繪制相軌跡：0*0【注】用解析法中消去參變量時(shí)間t的方法求相軌跡方程：上課時(shí)按照此方法求的，以下同。當(dāng)然如果

7、用斜率法求相軌跡方程也可以。不過(guò)，這個(gè)例子c為常數(shù)，消去參變量時(shí)間t的方法更適合。II區(qū)：c=-2，貝Jc=2t+c=2t；c=-t2+ct+c=-t2+2；0*00相軌跡為開(kāi)口向左的拋物線(xiàn)，c=-0.25c2+0.25c2+c=-0.25c2+2；*00在右開(kāi)關(guān)線(xiàn)c=1處的交點(diǎn)為c=1,1=-0.25c2+2c=-2-（1,-2）01*01v7I區(qū)：c=0，貝0c=c=-2；c=-ct+c=-2t+1；相軌跡為平行橫軸的直線(xiàn)（因?yàn)榭v坐標(biāo)不變-2,而橫坐標(biāo)雖時(shí)間變化）在左開(kāi)關(guān)線(xiàn)處的交點(diǎn)為c=1,c=-2-（-1,-2）02*02III區(qū)：c=2t+c=2t2；c=12+ct+c=122t1；*

8、02*0202c=0.25c2-0.25c2+c=0.25c2-2-相軌跡為開(kāi)口向右的拋物線(xiàn),*0202°在開(kāi)關(guān)線(xiàn)處的交點(diǎn)(-1,2)以此類(lèi)推，求得如圖的極限環(huán)。注意:每個(gè)區(qū)的初始值是不同的。當(dāng)進(jìn)入II區(qū)時(shí)的第一個(gè)位置即為II的初始值，每個(gè)區(qū)的初始值的求法就是根據(jù)上一個(gè)區(qū)的區(qū)域根軌跡方程可以求出進(jìn)入下一區(qū)的初始值，以此一個(gè)個(gè)區(qū)經(jīng)過(guò)后，會(huì)變成一個(gè)連續(xù)的曲線(xiàn)軌跡非線(xiàn)性系統(tǒng)的相軌跡。問(wèn)題2：運(yùn)動(dòng)一周所需時(shí)間為T(mén)二4(f丄dc+f0-dc)二4(f1,1dc+f0dc)二6(因?yàn)镮I區(qū)c=-0.25c2+2,2c1c2-J4(2-c)12則-：'4(2-c)=c，注意，c在圖中為負(fù)的

9、。)注意:并不是所有開(kāi)關(guān)線(xiàn)都是垂直于橫軸的，開(kāi)關(guān)線(xiàn)關(guān)鍵要看各個(gè)線(xiàn)性區(qū)域的邊界條件。例4:2008年非線(xiàn)性控制系統(tǒng)如下圖所示。圖中r(t)=2l(t)。1、以c-c為相變量，寫(xiě)出相軌跡分區(qū)運(yùn)動(dòng)方程(8分)；2、若M=0.5,畫(huà)出起始于c(0)=0、c(0)=0的相軌跡(4分);3、利用相軌跡計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差及超調(diào)量(3分)。2)線(xiàn)性部分：c=e-b(1)注意：線(xiàn)性部分關(guān)鍵是產(chǎn)牛,c的運(yùn)動(dòng)方程，但是更關(guān)鍵的是，此運(yùn)動(dòng)方稈必須能與非線(xiàn)性特性的輸出產(chǎn)生關(guān)系。_3)繪制以c-c平面的相軌跡。因此，e=r-c代入式(1)中，貝卩貝yc=r-c-b卩運(yùn)動(dòng)方程為c-c+b+r=0因?yàn)閞(t)=2l(t)，貝卩c+

10、b-c+2=0(2)式（2）中代入非線(xiàn)性特性，于是各區(qū)的運(yùn)動(dòng)方程：c=r-c-Mnc+c二2-M,c>0區(qū)c=r一c+Mnc+c=2+M,c<0II區(qū)M=0.5，則各區(qū)的運(yùn)動(dòng)方程：c+c1.5=0,c>01區(qū)c+c2.5=0,c<0II區(qū)4）開(kāi)關(guān)線(xiàn)方程：c=02.繪制相軌跡：起點(diǎn)為(0，0)在I區(qū)。I區(qū)：一L=，積分分離后A(c+1.5)dc=匸cdc則dcc00*(c1.5)2+c2=1.52，相軌跡為奇點(diǎn)為c=1.5，c=0的圓。與開(kāi)關(guān)線(xiàn)交于c=3，c=0的點(diǎn)II區(qū)：-=，積分分離后J。(c+2.5)dc=cdc，貝ij(c2.5)2+c2=0.52,32.5，c=

11、0的圓。0cIc=0（廠._3022IIcdcc相軌跡為奇點(diǎn)為c=則相軌跡如圖：3.穩(wěn)態(tài)誤差：e=r(g)c(a)=2-2=0ss32超調(diào)量：b%=50%2可見(jiàn)：開(kāi)關(guān)線(xiàn)不一定垂直于或者平行于橫軸，見(jiàn)本章的作業(yè)P4778-7。第8章的作業(yè)P4778-7：探要求嚴(yán)格按照此步驟進(jìn)行，即12月12日(周三)上課時(shí)老師講課的步驟和方法進(jìn)行，探已知r(t)=1(t)，設(shè)輸出初始值為0。當(dāng)T=0和0.5時(shí)分別討論系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)。并分析加入一階微分環(huán)節(jié)1+Ts后對(duì)系統(tǒng)的性能的影響。解：1.1）非線(xiàn)性特性：u=1,e+Te>0u=1,e+Te<02）線(xiàn)性部分：Cp）=-1-所以描述線(xiàn)性部分的運(yùn)動(dòng)方程為:X

12、（s）s2注意：不在乎非線(xiàn)性和線(xiàn)性部分多復(fù)雜，位置如何，都要根據(jù)信號(hào)的流向和傳輸關(guān)系把他們的輸入和輸出關(guān)系列寫(xiě)出來(lái)。3）繪制ee平面相軌跡圖。因?yàn)閑rc,cre,cre,cre。代入（1）式，則運(yùn)動(dòng)方程為er一u（2）因?yàn)閞（t）1（t），當(dāng)t>0，r0。代入（2）式，則各區(qū)的運(yùn)動(dòng)方程則eu（3）上式代入非線(xiàn)性特性，于是各區(qū)的運(yùn)動(dòng)方程：e1,e+Te>01區(qū)e1,e+Te<0II區(qū)2=0當(dāng)T=04）開(kāi)關(guān)線(xiàn)方程：e+T0，即屮'當(dāng)上-e=2e,當(dāng)T0.55）繪制相軌跡e（0）r（0）c（0）101初始值：，則（1，0）始于I區(qū)e（0）r（0）c（0）000當(dāng)T0dee1

13、ffI區(qū)：根據(jù)斜率方程-二-，分離變量并積分得Je1de=Jeededeee10則ee之間的相軌跡方程為e22e1）是開(kāi)口向左的拋物線(xiàn)，且與開(kāi)關(guān)線(xiàn)e0的交于A（0，-邁）注意：根據(jù)隨著t增大的方向，下半平面相軌跡由右向左，上半平面相軌跡由左J0e1de2ede向右，因此，相軌跡從（1，0）出發(fā)，向下半平面運(yùn)行。II區(qū)：根據(jù)斜率方程牛-，分離變量并積分得dee則ee之間的相軌跡方程為是開(kāi)口向右的拋物線(xiàn)，且與開(kāi)關(guān)線(xiàn)e0的交于B（0，2）以此例推，相軌跡如圖所示，可見(jiàn)出現(xiàn)了一個(gè)封閉的穩(wěn)定的極限環(huán)。此時(shí)，非線(xiàn)性系統(tǒng)發(fā)生穩(wěn)定的自持振蕩，穩(wěn)態(tài)誤差不為0。當(dāng)T=0.5I區(qū)：根據(jù)斜率方程=），分離變量并積分得

14、Je-ide=1eededee1o則e-e之間的相軌跡方程仍然為e2=-2（e-1）是開(kāi)口向左的拋物線(xiàn)，且與開(kāi)關(guān)線(xiàn)e=-2e的交于C（0.5，-1）。注意：C點(diǎn)坐標(biāo)式這樣求的：仁j-°e=0.5e=-1<II區(qū)：根據(jù)斜率方程=-，分離變量并積分得Je1de=Jeededeeo.5-1則e-e之間的相軌跡方程為e2=2ee=0e=0是開(kāi)口向右的拋物線(xiàn)，且與開(kāi)關(guān)線(xiàn)e=-2e的交于D（0，0）注意：D點(diǎn)坐標(biāo)式這樣求的:一2n<e=-2eV相軌跡如圖所示。由圖可見(jiàn)，非線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定，穩(wěn)態(tài)誤差為o。結(jié)論：可見(jiàn)，加入一階微分環(huán)節(jié)1+Ts后，系統(tǒng)的性能大大改善。要求嚴(yán)格按照此步驟進(jìn)行注意

15、：P443例8.3原題有些小問(wèn)題，以下凡是不是黑色的都是我修改過(guò)的地方。例8.3已知非線(xiàn)性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖8.62(a)所示(圖中M=h=1)。12(1)當(dāng)G(s)=,G(s)=,G(s)=1時(shí)，試分析系統(tǒng)是否會(huì)產(chǎn)生自持振蕩1s(s+1)2s3若產(chǎn)生自持振蕩，求自持振蕩的幅值和頻率；(2)當(dāng)上面問(wèn)題中G3(s)二s時(shí)，試分析對(duì)系統(tǒng)的影響。(a)非線(xiàn)性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖亠4ImN(A)X0(b)-1/N(A)和G(j0的曲線(xiàn)圖圖8.62例題8.3圖解(1)首先將結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化成非線(xiàn)性部分N(A)和等效線(xiàn)性部分G(s)相串聯(lián)的結(jié)構(gòu)形式,如圖8.63所示。cN有同學(xué)問(wèn)，圖(1)如何變成圖(2)?答：結(jié)構(gòu)圖等效(1)GGG1231+G1系統(tǒng)的穩(wěn)定性相同。有同學(xué)問(wèn)，圖(2)如何變成圖(3)的？答:因?yàn)闊o(wú)法通過(guò)結(jié)構(gòu)圖等效得出總的閉環(huán)傳遞函數(shù)。但是考慮到，非線(xiàn)性系統(tǒng)的描述函數(shù)法是在沒(méi)有輸入信號(hào)的情況下，探討系統(tǒng)的穩(wěn)定性。具體的根據(jù)特征方程：D(s)=1+N(A)G(s)=0因此，探討的是Gj)與-1.N(A)曲線(xiàn)的關(guān)系。因此，根據(jù)特征方程等效關(guān)系，將圖(2)變?yōu)閳D(3，則此時(shí)此2圖對(duì)應(yīng)的非線(xiàn)性圖8.63結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)過(guò)程圖所以，等效線(xiàn)性部分的傳遞函數(shù)為G(s)G(s)G(s)1231+G(s)11s(s+1)2s(s2+s+1)s(s+1)非線(xiàn)性部分的描述函數(shù)為畫(huà)出-1N(