自動控制原理例題詳解-第8章例題

1、相平面法例題解析：要求：1正確求出對于非線性系統(tǒng)在每個線性區(qū)的相軌跡方程，也就是e-e之間關(guān)系的方程(或c-c)。會畫相軌跡(模型中是給具體數(shù)的)。關(guān)鍵是確定開關(guān)線方程。2.探如果發(fā)生自持振蕩，計算振幅和周期。注意相平面法一般應(yīng)：1) 按照信號流向與傳輸關(guān)系。線性部分產(chǎn)生導數(shù)關(guān)系，非線性部分形成不同分區(qū)。連在一起就形成了不同線性分區(qū)對應(yīng)的運動方程，即含有c或者e的運動方程。2) 探根據(jù)不同線性分區(qū)對應(yīng)的運動方程的條件方程確定開關(guān)線方程。開關(guān)線方程確定很關(guān)鍵。不同線性分區(qū)對應(yīng)的相軌跡方程，即c-c和e-e之間關(guān)系。4)根據(jù)不同分區(qū)的初始值繪制出相軌跡，并求出穩(wěn)態(tài)誤差和超調(diào)、以及自持振蕩的周期例2

2、：具有死區(qū)特性的非線性系統(tǒng)分析。設(shè)系統(tǒng)開始處于靜止狀態(tài)。問題1.用相平面法分析系統(tǒng)在輸入r(t)=41(t)時的運動情況。問題2.如果發(fā)生自持振蕩，求自持振蕩的周期和振幅。解：問題1：1)設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，死區(qū)特性的表達式：3) 探根據(jù)不同線性分區(qū)對應(yīng)的運動方程，利用解析法(分離變量積分法或者消去t法)和振幅等。x=0,Ie1<2<x=e一2,e>2x=e+2,e<22) 線性部分：=丄，則運動方程為：c=xX(s)s23) 繪制ee平面相軌跡圖。因為e=rc，c=re，c=re，c=re。代入貝ije=x+r(1)e=0,IeI<2I當t>0，r=0，r=0。

3、代入，則各區(qū)的運動方程<e.=2e,e>2IIe=e2,e<2III由于非線性特性有3個分區(qū)，相平面ee分為3個線性區(qū)。注意，當相平面選好后，輸入代入后，最后代入非線性特性。4)系統(tǒng)開關(guān)線：e=±2。5)由題意知初始條件e(0)=r(0)c(0)=4，e(0)=r(0)c(0)=0在II區(qū)，則從初始值出發(fā)繪制相軌跡：【注】：用解析法中的斜率法求：上課時按照此方法求相軌跡方程：II區(qū)：e+e-2=0不是標準線性系統(tǒng)運動方程的形式。根據(jù)斜率方程=£二-，則分離變量積分得Ie（2-e）de二Jeededeee40則ee之間的相軌跡方程為（e-2）2+e2=4結(jié)論

4、：II區(qū)以奇點（2,0）為中心的圓，與右開關(guān)線e=2的交點A（2,-2）I區(qū)：e=0，e=常數(shù)=一2，水平線，與左開關(guān)線e=2的交點B（-2，-2）m區(qū)：e+e+2=0-不是標準線性系統(tǒng)運動方程的形式。deee2根據(jù)斜率方程=二=，則分離變量積分得deee1（2+e）de=1ede（注意新的初始值B（-2，-2）(e+2)2+e2=422則ee之間的相軌跡方程為結(jié)論：m區(qū)以奇點（-2,0）為中心的圓。以此例推，出現(xiàn)了一個封閉橢圓。極限環(huán)問題2：若相平面中出現(xiàn)了穩(wěn)定的極限環(huán)對應(yīng)著非線性的自持振蕩。問題：自持振蕩的周期怎么算呢？幅值怎么算呢？如圖：這是個橢圓，1）周期：T=4（t+1）CAADii

5、區(qū)：tCA=J2de=J2de，4e4一4一（e一2）2這是因為：e2+（e2）2=4e=_：4（e2）2，意，e在圖中為負的。=Jde=J0一de=12e22振幅一一代表此時的位移，也就是此時與橫軸的交點位置大小一一即C點的橫坐標。這是因為，對于整個非線性系統(tǒng)的奇點是（0，0）。對于該點，最大的位移就是振幅，因此是C點的橫坐標4。例3：具有繼電器特性的非線性系統(tǒng)分析2006-B（15分）非線性控制系統(tǒng)如圖。問題1：解：問題1：（10分）r+設(shè)r=0，繪制起點在co二2，co二0的c-c相軌跡圖。（1°分）計算相軌跡旋轉(zhuǎn)一周所需時間。（5分）問題2：0,Ie1<11）非線性環(huán)節(jié)

6、數(shù)學表達式：x=<2,e>1-2,e<-12）線性部分：=S_所以描述線性部分的運動方程為：c=xc=0IeI<1則<c=2e>1C=-2e<-13）繪制c-c平面相軌跡。e=r-c，令r=0，e=-c，'c=0,IcI<1I則各區(qū)的運動方程<c=-2,c>1IIc=2,c<-1IIIV注意：條件方程也要改成c-c的。4）開關(guān)線方程：c=±15）由已知條件，起點c二2，c二0，（2,0）從II區(qū)開始，下面繪制相軌跡：0*0【注】用解析法中消去參變量時間t的方法求相軌跡方程：上課時按照此方法求的，以下同。當然如果

7、用斜率法求相軌跡方程也可以。不過，這個例子c為常數(shù)，消去參變量時間t的方法更適合。II區(qū)：c=-2，貝Jc=2t+c=2t；c=-t2+ct+c=-t2+2；0*00相軌跡為開口向左的拋物線，c=-0.25c2+0.25c2+c=-0.25c2+2；*00在右開關(guān)線c=1處的交點為c=1,1=-0.25c2+2c=-2-（1,-2）01*01v7I區(qū)：c=0，貝0c=c=-2；c=-ct+c=-2t+1；相軌跡為平行橫軸的直線（因為縱坐標不變-2,而橫坐標雖時間變化）在左開關(guān)線處的交點為c=1,c=-2-（-1,-2）02*02III區(qū)：c=2t+c=2t2；c=12+ct+c=122t1；*

8、02*0202c=0.25c2-0.25c2+c=0.25c2-2-相軌跡為開口向右的拋物線,*0202°在開關(guān)線處的交點(-1,2)以此類推，求得如圖的極限環(huán)。注意:每個區(qū)的初始值是不同的。當進入II區(qū)時的第一個位置即為II的初始值，每個區(qū)的初始值的求法就是根據(jù)上一個區(qū)的區(qū)域根軌跡方程可以求出進入下一區(qū)的初始值，以此一個個區(qū)經(jīng)過后，會變成一個連續(xù)的曲線軌跡非線性系統(tǒng)的相軌跡。問題2：運動一周所需時間為T二4(f丄dc+f0-dc)二4(f1,1dc+f0dc)二6(因為II區(qū)c=-0.25c2+2,2c1c2-J4(2-c)12則-：'4(2-c)=c，注意，c在圖中為負的

9、。)注意:并不是所有開關(guān)線都是垂直于橫軸的，開關(guān)線關(guān)鍵要看各個線性區(qū)域的邊界條件。例4:2008年非線性控制系統(tǒng)如下圖所示。圖中r(t)=2l(t)。1、以c-c為相變量，寫出相軌跡分區(qū)運動方程(8分)；2、若M=0.5,畫出起始于c(0)=0、c(0)=0的相軌跡(4分);3、利用相軌跡計算穩(wěn)態(tài)誤差及超調(diào)量(3分)。2)線性部分：c=e-b(1)注意：線性部分關(guān)鍵是產(chǎn)牛,c的運動方程，但是更關(guān)鍵的是，此運動方稈必須能與非線性特性的輸出產(chǎn)生關(guān)系。_3)繪制以c-c平面的相軌跡。因此，e=r-c代入式(1)中，貝卩貝yc=r-c-b卩運動方程為c-c+b+r=0因為r(t)=2l(t)，貝卩c+

10、b-c+2=0(2)式（2）中代入非線性特性，于是各區(qū)的運動方程：c=r-c-Mnc+c二2-M,c>0區(qū)c=r一c+Mnc+c=2+M,c<0II區(qū)M=0.5，則各區(qū)的運動方程：c+c1.5=0,c>01區(qū)c+c2.5=0,c<0II區(qū)4）開關(guān)線方程：c=02.繪制相軌跡：起點為(0，0)在I區(qū)。I區(qū)：一L=，積分分離后A(c+1.5)dc=匸cdc則dcc00*(c1.5)2+c2=1.52，相軌跡為奇點為c=1.5，c=0的圓。與開關(guān)線交于c=3，c=0的點II區(qū)：-=，積分分離后J。(c+2.5)dc=cdc，貝ij(c2.5)2+c2=0.52,32.5，c=

11、0的圓。0cIc=0（廠._3022IIcdcc相軌跡為奇點為c=則相軌跡如圖：3.穩(wěn)態(tài)誤差：e=r(g)c(a)=2-2=0ss32超調(diào)量：b%=50%2可見：開關(guān)線不一定垂直于或者平行于橫軸，見本章的作業(yè)P4778-7。第8章的作業(yè)P4778-7：探要求嚴格按照此步驟進行，即12月12日(周三)上課時老師講課的步驟和方法進行，探已知r(t)=1(t)，設(shè)輸出初始值為0。當T=0和0.5時分別討論系統(tǒng)運動。并分析加入一階微分環(huán)節(jié)1+Ts后對系統(tǒng)的性能的影響。解：1.1）非線性特性：u=1,e+Te>0u=1,e+Te<02）線性部分：Cp）=-1-所以描述線性部分的運動方程為:X

12、（s）s2注意：不在乎非線性和線性部分多復雜，位置如何，都要根據(jù)信號的流向和傳輸關(guān)系把他們的輸入和輸出關(guān)系列寫出來。3）繪制ee平面相軌跡圖。因為erc,cre,cre,cre。代入（1）式，則運動方程為er一u（2）因為r（t）1（t），當t>0，r0。代入（2）式，則各區(qū)的運動方程則eu（3）上式代入非線性特性，于是各區(qū)的運動方程：e1,e+Te>01區(qū)e1,e+Te<0II區(qū)2=0當T=04）開關(guān)線方程：e+T0，即屮'當上-e=2e,當T0.55）繪制相軌跡e（0）r（0）c（0）101初始值：，則（1，0）始于I區(qū)e（0）r（0）c（0）000當T0dee1

13、ffI區(qū)：根據(jù)斜率方程-二-，分離變量并積分得Je1de=Jeededeee10則ee之間的相軌跡方程為e22e1）是開口向左的拋物線，且與開關(guān)線e0的交于A（0，-邁）注意：根據(jù)隨著t增大的方向，下半平面相軌跡由右向左，上半平面相軌跡由左J0e1de2ede向右，因此，相軌跡從（1，0）出發(fā)，向下半平面運行。II區(qū)：根據(jù)斜率方程牛-，分離變量并積分得dee則ee之間的相軌跡方程為是開口向右的拋物線，且與開關(guān)線e0的交于B（0，2）以此例推，相軌跡如圖所示，可見出現(xiàn)了一個封閉的穩(wěn)定的極限環(huán)。此時，非線性系統(tǒng)發(fā)生穩(wěn)定的自持振蕩，穩(wěn)態(tài)誤差不為0。當T=0.5I區(qū)：根據(jù)斜率方程=），分離變量并積分得

14、Je-ide=1eededee1o則e-e之間的相軌跡方程仍然為e2=-2（e-1）是開口向左的拋物線，且與開關(guān)線e=-2e的交于C（0.5，-1）。注意：C點坐標式這樣求的：仁j-°e=0.5e=-1<II區(qū)：根據(jù)斜率方程=-，分離變量并積分得Je1de=Jeededeeo.5-1則e-e之間的相軌跡方程為e2=2ee=0e=0是開口向右的拋物線，且與開關(guān)線e=-2e的交于D（0，0）注意：D點坐標式這樣求的:一2n<e=-2eV相軌跡如圖所示。由圖可見，非線性系統(tǒng)穩(wěn)定，穩(wěn)態(tài)誤差為o。結(jié)論：可見，加入一階微分環(huán)節(jié)1+Ts后，系統(tǒng)的性能大大改善。要求嚴格按照此步驟進行注意

15、：P443例8.3原題有些小問題，以下凡是不是黑色的都是我修改過的地方。例8.3已知非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖8.62(a)所示(圖中M=h=1)。12(1)當G(s)=,G(s)=,G(s)=1時，試分析系統(tǒng)是否會產(chǎn)生自持振蕩1s(s+1)2s3若產(chǎn)生自持振蕩，求自持振蕩的幅值和頻率；(2)當上面問題中G3(s)二s時，試分析對系統(tǒng)的影響。(a)非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖亠4ImN(A)X0(b)-1/N(A)和G(j0的曲線圖圖8.62例題8.3圖解(1)首先將結(jié)構(gòu)圖簡化成非線性部分N(A)和等效線性部分G(s)相串聯(lián)的結(jié)構(gòu)形式,如圖8.63所示。cN有同學問，圖(1)如何變成圖(2)?答：結(jié)構(gòu)圖等效(1)GGG1231+G1系統(tǒng)的穩(wěn)定性相同。有同學問，圖(2)如何變成圖(3)的？答:因為無法通過結(jié)構(gòu)圖等效得出總的閉環(huán)傳遞函數(shù)。但是考慮到，非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)法是在沒有輸入信號的情況下，探討系統(tǒng)的穩(wěn)定性。具體的根據(jù)特征方程：D(s)=1+N(A)G(s)=0因此，探討的是Gj)與-1.N(A)曲線的關(guān)系。因此，根據(jù)特征方程等效關(guān)系，將圖(2)變?yōu)閳D(3，則此時此2圖對應(yīng)的非線性圖8.63結(jié)構(gòu)圖化簡過程圖所以，等效線性部分的傳遞函數(shù)為G(s)G(s)G(s)1231+G(s)11s(s+1)2s(s2+s+1)s(s+1)非線性部分的描述函數(shù)為畫出-1N(