第四章習題與復(fù)習題詳解(線性空間)----高等代數(shù),DOC

1、習題5.11 判斷全體n階實對稱矩陣按矩陣的加法與數(shù)乘是否構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間.答是.因為是通常意義的矩陣加法與數(shù)乘，所以只需檢驗集合對加法與數(shù)乘運算的封閉性.由n階實對稱矩陣的性質(zhì)知，n階實對稱矩陣加n階實對稱矩陣仍然是n階實對稱矩陣，數(shù)乘n階實對稱矩陣仍然是n階實對稱矩陣，所以集合對矩陣加法與數(shù)乘運算封閉，構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間2 .全體正實數(shù)R+,其加法與數(shù)乘定義為Ia二b=abki；a=ak其中a,b三R,k2R判斷R按上面定義的加法與數(shù)乘是否構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間81I1I，Z'i|答是.設(shè)R./:/f因為a,bwr+=ab=abeR*,<|F'.三R,aR7

2、a=aR,L所以R對定義的加法與數(shù)乘運算封閉.下面一一驗證八條線性運算規(guī)律ab=ab二ba=ba；(2)(a.Jb)Fc=(ab)Tc=(ab)c=abc=a(bc)=aF(bJc);R中存在零元素1,-a，R,有a二仁a1=a；對R中任一元素a，存在負元素aJRn,使a二a=aa=1；L¥1'；aa1=a;(6)："Ca=：a=a=a=JCa；(7)i：a=a=aa=a二a=，：iaJJa;所以R對定義的加法與數(shù)乘構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間.3.全體實n階矩陣，其加法定義為按上述加法與通常矩陣的數(shù)乘是否構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間.答否.A二B與B二A不一定相等故定義的加法

3、不滿足加法的交換律即運算規(guī)則（1）,全體實n階矩陣按定義的加法與數(shù)乘不構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間4.在P22中，W=>/A=0AP22?,判斷W是否是P22的子空間.答否.1322111的行列式都為零，但33的行列式不為零，也就是說集合對加法不封閉5僅供個人學習參考習題5.21.討論p22中的線性相關(guān)性.解設(shè)為A+x2九+x3A3+x4A4=0,ax1X2X3X4即x1ax2x3x4X+x2+ax3+&x1x2x3ax4=0由系數(shù)行列式=0=0a1111a1111a1111a3=(a3)(a1)知,a且a田時，方程組只有零解，這組向量線性無關(guān);2.在R4中，求向量:在基冷，：-2,：

4、3,為下的坐標.其中解設(shè):-=x-1x2:2x3:3x4:4q21001000:1由（。1«2«3«4:«)=1打110初等行變換j0100:0030-100010:-110-11丿<0001:0丿付a=耳一購故向量G在基G1，°2,奐，a4下的坐標為(1,0,-1,0)解設(shè),-x：!X2：2'X3：3X4為則有X10X2X3X4=2洛_x2_x30x4=3x1x20x30x4=4x10x2OX30x4-7101121000-7由1-1-103初等行變換0100111100470010-211000-7,00130得：-?：111

5、.二2-21：330：4.故向量:在基1，爲2，：3,驀4下的坐標為（-7,11,-21,30）4已知R_120丄12的兩組基(I)：14、1,a2=0，«3=0Q丿C1(1)求由基（I）到基（U）的過渡矩陣;1、3(U):詰2，ft=3,03=44&丿(2)(3)(4)求在兩組基下坐標互為相反數(shù)的向量.解（1）設(shè)C是由基（I）到基（U）I的過渡矩陣,由訂訂一C已知向量a在基0,口2,。3下的坐標為0,求口在基比及用3下的坐標；-1已知向量0在基月，場，鳥下的坐標為-1，求P在基0（1/z2/x3下的坐標；q23、111、即23L4=100J43丿1-11丿C,（2）首先計算

6、得C32-132q114123'23、4知基（I）到基（U）的過渡矩陣為C=100234=0-10a-1bJ43J-10一1fl、1于是a在基,%,03下的坐標為C0r01-23丿(3):在基:1'2'3下的坐標為C解(1)設(shè)C是由基到基(U)的過渡矩陣，由g1，g2，g3，g4=f1,f2>f3>f4C'234設(shè)了在基?123下的坐標為y,據(jù)題意有010y2=T2y丿I-10-1丿屏丿日丿(0y解此方程組可得y2=k4,k為任意常數(shù).M丿11I2，”丫=4鐘2-3kf=k0,k為任意常數(shù).5. 已知Px4的兩組基1Ir-232(I) ：f1(x)=

7、1+x+x+x,f2(x)=f+x,f3(x)=1-X,f4(x)=1(U):g(x)=x+x2+x3，g2(x)=1+x2+x3，g3(x)=1+x+x3，g4(x)=1+x+x2(1) 求由基(I)到基(U)的過渡矩陣；(2) 求在兩組基下有相同坐標的多項式f(x).0111101r1011“2=(1,X,X,3X)1-1-101101110011°00°有(1,x,x2,x3)C.101-1(2)設(shè)多項式f(x)在基(I)下的坐標為T(X1,X2,X3,X4).因為C-E據(jù)題意有0110=0(*)1000110110-1/1=00110-210-21-2所以方程組(*

8、)只有零解，則f(X)在基(I)下的坐標為(0,0,0,0)T，所以f(x)=0II習題5.3證明線性方程組I.'JI”的解空間與實系數(shù)多項式空間Rx】3同構(gòu).I'!kz-|證明設(shè)線性方程組為AX=0,對系數(shù)矩陣施以初等行變換.：R(A)=2.線性方程組的解空間的維數(shù)是5-R(A)=3.Rx3同實系數(shù)多項式空間Rx3的維數(shù)也是3,所以此線性方程組的解空間與實系數(shù)多項式空間構(gòu)習題5.41求向量二=1,1,2,3的長度.解：一121)2223=.15.2. 求向量二1,-1,0,1與向量一：二2,0,1,3之間的距離.，解d(ct,B)=|妝冋I=J(1_2)2+(1_0)2十(0

9、_1)2十(1_3)2=77.3. 求下列向量之間的夾角(1) ：=1,0,4,3,1：=1,2,1-1(2) 二三1,2,2,3,1；=3,151(3) 二=11,1,1,2,1：=31,-1,0解(1)T1=1(-1)02413(-1)=0,.a,丁.(2)T(a,0)=1工3+2工1+2工5+3工1=18,=arccos6屆418二(3) ；(o(，B)=1x：3+1x1+1x：(_1)+2x0=3,:.=1114=7,911Q=11,，”(a,0)=arccos.3.設(shè)：，'-,為n維歐氏空間中的向量，證明：d(，)"(：，)d(,J.證明因為|.I：'-.彳

10、=(二一心W,：u)所以卜一B蘭(杠-件|+|丫-P|)2,從而d(a,B)蘭d(a,?)+d億B).I習題5.5tI1.在R4中，求一個單位向量使它與向量組>1=：4,1,-1,-1，:-2戸,-1,-1,1，3=：1,-1,1,-1正交.(、；_,:J=0則有(：,2)=0(：,：3)=0解設(shè)向量：.=(X,X2,X3,X4)與向量g,g,03正交，%x2x3x4=0即X1X2X3X4=0(*)X1X2X3X4±0齊次線性方程組(*)的一個解為X1=X2=X3=X4=1.'I1,2=2Q丿(I,®:L1211121111111111I131取0=(1,1,

11、1,1),將向量ct單位化所得向量a=(丄，丄丄,丄)即為所求22222.將R3的一組基隅=廠pH0、1,企2,°3=1|-1化為標準正交基a丿I1丿U丿解(1)正交化,取(2)將,J單位化則二；1；為R3的一組基標準正交基3.求齊次線性方程組的解空間的一組標準正交基分析因齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系就是其解空間的一組基，所以只需求出一個基礎(chǔ)解系再將其標準正交化即可.解對齊次線性方程組的系數(shù)矩陣施行初等行變換化為行最簡階梯形矩陣可得齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系皆1000，電=1，兀=0004由施密特正交化方法，取'1/2xj-'-1/3'1,02=*2中丄險=

12、1/211/1/301衛(wèi)3-邛1=1/322300i:41°<1將"ZU單位化得單位正交向量組II.1Ir-因為齊次線性方程組的解向量的線性組合仍然是齊次線性方程組的解，所以打，蔦，二是解空間的一組標準正交基.3.設(shè),:n是n維實列向量空間Rn中的一組標準正交基,A是n階正交矩陣，證明：A,A,An也是R0中的一組標準正交基.證明因為i,2,in是n維實列向量空間Rn中的一組標準正交基,所以TIj(WNj)=%ctj=(ij1山2nJI=J又因為A是n階正交矩陣,所以ATA=E.則故A：1,A：2,A：n也是Rn中的一組標準正交基.5.設(shè)：1,2,：3是3維歐氏空間V

13、的一組標準正交基，證明也是V的一組標準正交基.證明由題知所以-,'：2，'-3是單位正交向量組，構(gòu)成V的一組標準正交基習題五(A)一、填空題1當k滿足時，訂=1,2,1,C二2,3,k,:=3,k,3為R3的一組基解三個三維向量為R3的一組基的充要條件是冋如対丹，即心2且心6.2.由向量：.二1,2,3所生成的子空間的維數(shù)為.解向量：，1,2,3所生成的子空間的維數(shù)為向量組:的秩，故答案為1.3.R3中的向量=3,7,1在基冷=1,3,5,：2=6,3,2,：3=3,1,0下的坐標為.解根據(jù)定義,求解方程組就可得答案.設(shè)所求坐標為（X1,X2,X3）,據(jù)題意有=X1：1X2：2

14、X3：3.為了便于計算，取下列增廣矩陣進行運算361(0(3,口2,耳妝)=133e257初等行變換*100010001154-8233所以(石,乂2壓)=(33,-82,154).嚴ITITl14.R3中的基1,；2,3到基>1二-2,1,3,2二-1,0,1,宀二-2,-5,-1的過渡矩陣為.J7-2'，Z-2-1-2'解因為（耳,。2,理）=（勺，52鳥）10-5,所以過渡矩陣為10-5<31-b<31T丿5.正交矩陣A的行列式為.解ATA=|E日A2=1二IA=±.6已知5元線性方程組AX=0的系數(shù)矩陣的秩為3,則該方程組的解空間的維數(shù)為解5

15、元線性方程組A=0的解集合的極大無關(guān)組（基礎(chǔ)解系）含5-3=2個向量,故解空間的維數(shù)為2.7.已知=12,1,1,1,4=2,1,a,a,亠=3,2,1,a，為=4,3,2,1不是R4的基且a=1,則a滿足.解四個四維向量不是R4的一組基的充要條件是m-2-3,:-4=0,則aJ或1.2故答案為1.2二、單項選擇題1下列向量集合按向量的加法與數(shù)乘不構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間的是().(A) ViJXi,0,0,XnXi,XnR，(B) V2二'X1,X2,xnX1X2Xn=0,XiR(C) V3二X1,X2,XnX1X2%=1,XiR(D) V4JiX1,0川1,0,0*R/解(C)選項的

16、集合對向量的加法不封閉，故選(C).:/>*/1；!f1:2.在P3漩中,由A=2生成的子空間的維數(shù)為().<3II.1I(A)1(B)2(C)3(D)41解向量組A=2生成的子空間的維數(shù)是向量組A的秩，故選(A).<3,Z101:解因(B)選項中(鴿+2口2,2口2+3。3,3口3+口1)=(耳,°(2,0(3)220,©33又因冷,、£2,3線性無關(guān)且故選(B).A103023120可逆，所以：12：2,2：23：3,3_勺：1線性無關(guān).解因(：2)C-2-：3)-：3)=0,所以(C)選項中向量組線性相關(guān),故選(C)5. n元齊次線性方程組

17、AX=0的系數(shù)矩陣的秩為r,該方程組的解空間的維數(shù)為s,則().(A)s=r(B)s=n-r(C)s>r(D)s<r選(B)6. 已知A,B為同階正交矩陣，則下列()是正交矩陣.(A)A+B(B)A-B(C)AE(D)kA(k為數(shù))解A,B為同階正交矩陣二ab(ab)t二abbtat=aat二e故選(C)7. 線性空間中，兩組基之間的過渡矩陣().(A)一定不可逆(B)一定可逆(C)不一定可逆(D)是正交矩陣選(B)(B)1已知R4的兩組基(I)：耳，4，口3，(n)：=0(1+«2+O3+«4,02=02+0(3+0(4,3=0(3,4=g(1) 求由基(U)

18、到(I)的過渡矩陣；(2) 求在兩組基下有相同坐標的向量.解(1)設(shè)C是由基(I)到基(U)的過渡矩陣，已知廠i1000、(片，B2,03,E)=(口1,。2,口3,。4)1100111011b所以由基(U)到基(I)的過渡矩陣為000、1-1100C=0-11103011丿(2)設(shè)在兩組基下有相同坐標的向量為:,又設(shè)在基(I)和基(U)下的坐標均為(XwXz'XsXq),由坐標變換公式可得才X2=cX2X3X3兇丿1込4丿即(E-C)X，X3X4齊次線性方程(*)的一個基礎(chǔ)解系為=(0,0,0,1),通解為X”=(0,0,0,k)(kR).故在基(I)和基(U)下有相同坐標的全體向量

19、為-0-10：20：3k：44(kR).解由題有10式0，所以Pi,02,氏線性無關(guān)12故'-1,'-2,_：3是3個線性無關(guān)向量，構(gòu)成R3的基.(2)因為巾10、所以從基已，02,貝到基0(1,0(2,口3的過渡矩陣為-1-12J00丿5、010丫1'(3)a=o(1十2°2_口3=(a1,2,°3)2=(R,P2,P3)-1-122=(E,£,P3)-5-bJ00人-J1/J1Z2所以向量a在基冃，月，03下的坐標為-5I1'21解(1)因為由基J,：。)，為到基：1,：2,3：4的過渡矩陣為1C=0©,所以所以(-：:1,-：2,-】3,-：4)-(-1,-2,-3,4)C-1200002-1-5001一7丿1、r1、(2)=8+。2+。3204=(C(1,G2,C(3,G4)11=(血,島,04)*11-2J2J=（：1，：2，3：4）12V7.向量'=2亠:込-2、