偏導(dǎo)數(shù)與全微分

1、第十章第十章 多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 10.1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù) 10.2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分 10.3 多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 10.4 方向?qū)?shù)、梯度及泰勒公式方向?qū)?shù)、梯度及泰勒公式 10.5 多元函數(shù)的極值與條件極值多元函數(shù)的極值與條件極值10.2.1 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) 內(nèi)容小結(jié)與作業(yè)內(nèi)容小結(jié)與作業(yè)10.2.2 全微分全微分高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件),(txu0 xoxu),(0txu引例引例:研究弦在點(diǎn) x0處的振動速度與加速度 ,就是 中的 x 固定于求一階導(dǎo)數(shù)與二

2、階導(dǎo)數(shù).),(txux0 處, ),(0txu關(guān)于 t 的將振幅10.2.1 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)1. 偏導(dǎo)數(shù)的概念偏導(dǎo)數(shù)的概念高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件偏增量偏增量0000(,)(,)xzf xx yf xy0000(,)(,)yzf xyyf xy全增量全增量0000(,)(,)zf xx yyf xy 全增量是關(guān)于x 和 y 的二元函數(shù).說明：說明：例如函數(shù) 在點(diǎn)(1,1)處的全增量為2223zxy=222(1)3(1)(23)zxy=22462()3() .xyxy =高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件定義定義1.),(yxfz 在點(diǎn)), (

3、), (lim000yfyfx存在,00( , )(,)zf x yxyx在點(diǎn)對的偏導(dǎo)數(shù)，記為;),(00yxxz),(00yx的某鄰域內(nèi);),(00yxxfxx00 x則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù))(0 xf)()(00 xfxxfx0limxx; ),(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxy. ),(001yxf xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意注意:高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件0),(dd0yyyxfy同樣可定義對 y 的偏導(dǎo)數(shù) lim0y),(00yxfy若函數(shù) z = f ( x , y

4、 ) 在域 D 內(nèi)每一點(diǎn) ( x , y ) 處對 x,xzxfxz則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù)偏導(dǎo)函數(shù), 也簡稱為偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) ,),(, ),(1yxfyxfx),(, ),(2yxfyxfy) ,(0 xf),(0 xfy記為yy00y或 y 偏導(dǎo)數(shù)存在 ,yzyfyz高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件),(zyxfx例如例如, 三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點(diǎn) (x , y , z) 處對 x 的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù) . lim0 x), (zyf),(zyfxxx0( , )( , , )( , , )limyyf x yy zf x

5、 y zfx y zy x偏導(dǎo)數(shù)定義為0( , ,)( , , )( , , )limzzf x y zzf x y zfx y zz 高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲線0),(xxyxfzyTM0在點(diǎn) M0 處的切線對 x 軸的斜率.在點(diǎn)M0 處的切線是曲線yxz0 xyToxT0y0M對 y 軸的斜率.高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件求函數(shù)222222ln(),0,( , )0

6、,0.yxyxyf x yxy例例 1在點(diǎn)(0 , 0) 處的偏導(dǎo)數(shù).解解由于(,0)(0,0)000,fxfxx22(0,)(0,0)ln()ln() ,fyfyyyyy從而(0,0)(0,0)0,ffxy不存在.高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在, 不能斷定函數(shù)例如例如,222222,0( , )(0,0)0,0 xyxyxyzf x yxy注意：注意：1.在該點(diǎn)連續(xù)，甚至不能斷定函數(shù)在該點(diǎn)的極限存在.例如例如,24( , )(0,0)zf x yxy2. 若函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)不一定存在.3. 若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)的鄰域內(nèi)有界, 則

7、函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù).高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件證：證：0000(,)(,)ff xx yyf xy 0000 (,)(,)f xx yyf xyy0000(,)(,)f xyyf xy利用一元函數(shù)中值定理，得010002(,)(,)f xx yyf xyyfxyxy 其中01, 21. 已知兩偏導(dǎo)數(shù)在(x0, y0)鄰域內(nèi)有界, 因此00lim0.xyf 高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件解法解法1:xz)2, 1 (xz解法解法2:) 2, 1(xz例例2 . 求223yyxxz在點(diǎn)(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù).) 2, 1(yz,32yx y

8、zyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz2. 偏導(dǎo)數(shù)的計算偏導(dǎo)數(shù)的計算高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件zyzxxzyx2ln1 證證:xzyzxxzyxln1 例例4. 求222zyxr的偏導(dǎo)數(shù) . 解解:xryryyxx yz例例3. 設(shè)(0,1yzxxx且） ,求證,1yxyxxylnz22222zyxx2,xrrzzr,ry高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件偏導(dǎo)數(shù)記號是一個求證:1pTTVVp證證:,VTRp ,pTRV ,RVpT pTTVVp說明說明:例例5.

9、已知理想氣體的狀態(tài)方程TRVp(R 為常數(shù)) , Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作分子與分母的商 !此例表明,整體記號,高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)),(, ),(yxfyzyxfxzyx若這兩個偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy則稱它們是 z = f ( x , y) 的二階偏導(dǎo)數(shù) . 按求導(dǎo)順序不同, 有四個二階偏導(dǎo)數(shù)：22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx3. 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)混合偏導(dǎo)數(shù)混合偏導(dǎo)

10、數(shù)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，例如，z = f (x , y) 關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為3322)(xzxzxz = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階) (yyxznn1偏導(dǎo)數(shù)為11nnxz高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件yxe22解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意:此處,22xyzyxz但這一結(jié)論并不總成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24例例6. 求函數(shù)yxez2.23xyz的二階偏導(dǎo)數(shù)

11、及 高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件),(),(0000yxfyxfxyyx則00()()(,),xyyxfx,yfx,

12、yxy若和都在點(diǎn)連續(xù)定理定理10.2.1證：證：定義00( )( ,)( ,)xf x yyf x y由已知, (x)可導(dǎo), 應(yīng)用一元函數(shù)中值定理, 有0001()()()xxxxxx010010(,)(,)xxfxx yyfxx yx1(01).由 fx 存在關(guān)于 y 的偏導(dǎo)數(shù), 再應(yīng)用一元函數(shù)中值定理, 000102()()(,),xyxxxfxx yyx y 12(0,1). 高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件因此00000000(,)(,)( ,)( ,)f xx yyf xx yf x yyf x y0102(,),xyfxx yyx y 上式兩邊同時除以 y,

13、 并令 y0, 由偏導(dǎo)數(shù)的定義及 fxy 在 (x0, y0) 點(diǎn)連續(xù), 得0000010(,)( ,)(,),yyxyf xx yf x yfxx yx 上式兩邊同時除以 x, 并令 x0, 由 fxy 連續(xù)，得到0000( ,)( ,).yxxyfx yfx y高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件),(),(0000yxfyxfxyyx則00()()(,),xyyxfx,yfx,yxy若和都在點(diǎn)連續(xù)定理定理10.2.1例如例如, 對三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx說明說明:本定理對 n 元函數(shù)的

14、高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (x , y , z) 連續(xù)連續(xù)時, 有高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件例例7. 證明函數(shù)222,1zyxrru滿足拉普拉斯0222222zuyuxu證：證：xu22xu利用對稱性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件證：證：uxcos

15、(),xatutcos(),axat22uxsin(),xat例例8 驗(yàn)證函數(shù) 滿足方程( , )sin()u x txat（a 為常數(shù)）22222uuatx22ut2sin(),axat于是，22222.uuatx該方程（波動方程）為偏微分方程， 例8 說明函數(shù) 是該方程的解.( , )sin()u x txat高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件10.2.2 全微分全微分1. 二元函數(shù)的局部線性化二元函數(shù)的局部線性化回顧回顧: 一元函數(shù)的局部線性化一元函數(shù)的局部線性化函數(shù) y = f (x) 在點(diǎn) x0 處可導(dǎo), 則有00000()()()limlim.xxf xxf

16、xyfxxx 0000( )()()()(), yf xf xfxxxo xx0000( )()()()(),f xf xfxxxo xx函數(shù) y = f (x) 在點(diǎn)( x0 , f (x0)處的切線方程高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件C1 和 C2 是鉛直平面 x = x0與 y = y0 分別與曲面 S 的交線,它在幾何上對應(yīng)一個光滑曲面S .令T1 和T2 分別是曲線C1 和 C2 在點(diǎn) P 處的切線, 設(shè)二元函數(shù) 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， ( , )zf x y=設(shè) 為S上一點(diǎn),000(,)P xy z稱由切線 T1 和T2 所確定的平面為曲面S 在P 點(diǎn)的切平面

17、切平面.xyzoP00(,)xy0 x0y曲線曲線C1曲線曲線C2切線切線T1切線切線T2曲面上過曲面上過P 點(diǎn)的所有曲線的切線都在切平面上點(diǎn)的所有曲線的切線都在切平面上.高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件由偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，200000:(,)(),;yTzzfxyyyxx=因此，2000,1,(,) ;yfxy這樣，所以，曲面 S 在點(diǎn) P 處的切平面的方程為12n切平面的法向量可取為切線T1 和T2的方程分別為100000:(,)(),.xTzzfxyxxyy=切線T1 和T2的方向向量分別為1001,0,(,) ,xfxy0000(,),(,),1 .xyfxyf

18、xy 0000000(,)()(,)()()0 xyfxyxxfxyyyzz高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件曲面S 在點(diǎn)P 處的切平面的方程又可寫為00000000(,)(,)()(,)()xyzf xyfxyxxfxyyy上式右端是一個關(guān)于x、y 的二元函數(shù).由于在幾何上切平面貼近曲面，所以，可以用這個二元線性函數(shù)在 (x0, y0) 的某個局部鄰域內(nèi)近似函數(shù) ( , ),zf x y=得到 f (x, y)的一個局部線性近似.00000000( , )(,)(,)()(,)()xyf x yf xyfxyxxfxyyy高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班

19、教學(xué)課件( , )4 ,xfx yx切平面方程.則54(1)6(1)zxy求橢圓拋物面S ： 在點(diǎn) P (1,1 ,5)處的2223zxy=例例9解：解：令22( , )23,f x yxy=( , )6 .yfx yy(1,1)4,xf (1,1)6.yf 曲面在點(diǎn)(1, 1) 處的切平面方程為即465.zxy注：注： (1, 1) 處的一個局部線性近似.如：(1.02,0.98)4.962,f=二元線性函數(shù) 是函數(shù) 在點(diǎn)( , )465L x yxy( , )f x y(1.02,0.98)4.96.L=但是在離點(diǎn)( 1, 1 ) 較遠(yuǎn)的點(diǎn)處, 兩者的值相差很遠(yuǎn).高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分

20、級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件注意：注意： 并非任意曲面都存在切平面 . 22,( , )(0,0)( , )0,( , )(0,0)xyx yxyf x yx y，-2-1012-2-1012-0.5-0.2500.250.5-2-10120,00,00 xyff在點(diǎn)(0,0)處的局部線性近似：( , )(0,0)0,0 (0)0,0 (0)0 xyf x yffxfy這個局部線性近似并不好！ 曲面在原點(diǎn)處并不存在切平面！ 可以證明：,xfx y與 在(0, 0) 處不連續(xù).,yfx y高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件有定義， 設(shè)二元函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)( , )z

21、f x y=00(,)xy定義定義20000(,)(,)zyxxyyxff 則稱函數(shù) 在點(diǎn) 處可微可微(或可微分可微分).( , )zf x y=00(,)xy如果存在與 x 和 y 無關(guān)的常數(shù) A 和 B, 使得函能夠表示為z 數(shù)在點(diǎn) 的全增量00(,)xyA xB y ( ),o 稱為函數(shù) 在點(diǎn) 處的全微分全微分.A xB y ( , )zf x y=00(,)xy記作.A xB y 00(,)dxyz=22()() )xy 2. 二元函數(shù)的可微性與全微分的概念二元函數(shù)的可微性與全微分的概念高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件如果函數(shù)在區(qū)域 D 內(nèi)每一點(diǎn)都可微， 則稱該

22、函數(shù)在 D內(nèi)可微分可微分. 函數(shù)在點(diǎn)( x, y ) 處的微分記為.A xB y dz =例如函數(shù) 在點(diǎn)(1,1)處的全增量為2223zxy=22462()3() .zxyxy =且2222220002()3()2()3()limlim0.()()xyxyxyxy 即46( ).zxyo =因此函數(shù) 在點(diǎn)(1,1)處可微,2223zxy=(1,1)dz46.xy 高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件全微分的幾何意義全微分的幾何意義Oxyz00(,)xy00(,)xx yydyy dxx 切平面切平面dzz曲面曲面 S 切平面上對應(yīng)豎坐標(biāo)的增量切平面上對應(yīng)豎坐標(biāo)的增量高等數(shù)學(xué)

23、分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件3. 函數(shù)可微的必要條件和充分條件函數(shù)可微的必要條件和充分條件則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù). 設(shè)二元函數(shù) 在點(diǎn) 處可微,( , )zf x y=( , )x y定理定理10.2.2所以，證：證： 因函數(shù) 在點(diǎn) 處可微，( , )zf x y=( , )x y 所以存在與x 和 y 無關(guān)的常數(shù) A 和 B，使得( ).zA xB yo 22()() )xy 00limxyz 00lim( )xyA xB yo 0.故函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù).( , )zf x y=( , )x y高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件 若 在點(diǎn) 處可微,( ,

24、)zf x y=( , )x y定理定理10.2.3 且有則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù) 和 都存在，zxzx.zzxyxy dz =(必要條件必要條件), (), (yfyfzxzx同樣可證,Byzyyzxxzzd證：證：由全增量公式, )(oyBxAz0,y令)(xoxA得xxx因此有 xzxx0limA高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件 將自變量的增量 x 和 y 分別記作 dx 和 dy ,并分別稱為 x 和 y 的微分.習(xí)慣上，全微分可寫作 這樣, 函數(shù) 的 ( , )zf x y=ddd .zzzxyxy推廣：推廣：類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題，例如， 三元

25、函數(shù) 的全微分為 ( , , )uf x y z=dddd .uuuuxyzxyz高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件例例10解：解：zx23 ,xyzydz 求函數(shù) 的全微分.23zxxy3 . x(23 )dxyx3 dx y例例11解：解：ux,x yeuy(2,1,0)dz 求函數(shù) 在點(diǎn)( 2, 1, 0)的全微分.sinx yuez,x yeuzcos . z(2,1,0),uex(2,1,0),uey (2,1,0)cos01.uzdddz.e xe y高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件(0,0,0)d(0,0,0)d(0,0,0)d(0,

26、0,0)dxyzffxfyfz例例11.設(shè),coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf(0,0,0)d.f求解解: ( ,0,0)3cosxf xx(0,0,0)03cosxxfxx41利用對稱性 , 可得1(0,0,0)(0,0,0)4yzff)dd(d41zyx注意注意: 變量x , y , z 具有對稱性 因?yàn)?所以 故 高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件注意：注意：函數(shù)反例：反例：22, ( , )(0,0)( , )0,( , )(0,0)xyx yf x yxyx y(0,0)0,xf 因(0,0)0.yf 00(0,0)(0,0)

27、limxyxyzfxfy 2200lim()()xyx yxy 但此極限不存在此極限不存在因此該函數(shù)在點(diǎn)( 0, 0) 處不可微！偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)不一定可微！連續(xù)函數(shù)也不一定可微！高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件判斷函數(shù)在一點(diǎn)處不可微的方法：判斷函數(shù)在一點(diǎn)處不可微的方法： 1. 函數(shù) f (x, y)在點(diǎn)(x0, y0)處至少有一個偏導(dǎo)數(shù)不存在; 2. 函數(shù) f (x, y)在點(diǎn)(x0, y0)處不連續(xù)； 3. 證明 0000(,)(,)xyffxyxfxyy .不存在或存在但不等于零高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件 若函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)( , )z

28、f x y=定理定理10.2.3 則函數(shù)在該點(diǎn)可微.(充分條件充分條件) 和 在點(diǎn) 連續(xù)， zxzy( , )x y ),(yyxxf證證：),(),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx),(yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf),( yxf),(yyxfyyxfy),(高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件( , )( , )xyzfx yxfx yy yyxfxyxfzyx),(),(yxyx所以函數(shù)),(yxfz ),(yx在點(diǎn)可微. 0lim00yx,0lim00yx注意到, 故有)(o從而說明說明:函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 , 因?yàn)槌醯?/p>

29、函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) ,而初等所以初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)可微.高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件總結(jié)：可微總結(jié)：可微, 連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)存在之間的關(guān)系連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)存在之間的關(guān)系可微連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在 定理10.2.1定理10.2.222, ( , )(0,0)( , )(0,0)0,( , )(0,0)xyx yf x yxyx y在22, ( , )(0,0)( , )(0,0)0,( , )(0,0)xyx yxyf x yx y在24( , )(0,0)f x yxy在22, ( , )(0,0)( , )(0,0)0,( , )(0,0)xyx yxyf x yx y

30、在高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件反例反例: 函數(shù)),(yxf易知,0) 0, 0()0, 0(yxff 且)0, 0()0, 0(yfxfzyx因此,函數(shù)在點(diǎn) (0,0) 可微.()o注意注意: 定理10.2.3 的逆定理不成立 .即:2222221()sin,0 xyxyxy220, 0 xy函數(shù)可微但偏導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù)函數(shù)可微但偏導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù) !22221()sinxyxy 22221()sinxyxy22221sin0 xyxy 高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件22222222121( , )2 sincos(0)xxf x yxxyxy

31、xyxy 又 取cos ,sinxy220001cos1lim ( , )lim2( cos sincosxxyf x y 不存在不存在 同理00lim( , )yxyf x y 不存在 故函數(shù)( , )f x y 在(0,0) 點(diǎn)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在但不連續(xù)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件 由全微分的定義，dz( , )( , )( )xyzfx yxfx yyo 對于二元可微函數(shù)( , )zf x y=當(dāng) 和 較小時，就有所以，xydzz ( , )( , )xyfx yxfx yy (,)f xx yy( , )( , )( , )xyf x yfx yxfx yy

32、或4. 全微分在近似計算中的應(yīng)用全微分在近似計算中的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件例例12 計算 的近似值.2.05(1.02)解：解： 設(shè) ，( , )yf x yx2,y 取1,x 0.02,x 0.05,y (,)f xx yy1( , ),yxfx yyx( , )( , )( , )xyf x yfx yxfx yy (1,2)(1,2)(1,2)xyffxfy ( , )ln ,yyfx yxx(1,2)2,xf (1,2)0.yf(1.02,2.05)f問題即是求 的值.(1.02,2.05)f 則(1.02,2.05)f12 0.020 0.05

33、1.04.高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件半徑由 20cm 增解解:即受壓后圓柱體體積減少了 例例13 有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,在到 20.05cm , 則 3200(cm ) 高度由100cm 減少到 99cm ,體體積的近似改變量. 求此圓柱2,Vr h已知V 2 rh r2rh由 20,r 100,h 1,h 0.05,r 故 2220 100 0.0520( 1)V 3200cm .高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件內(nèi)容小結(jié)與作業(yè)內(nèi)容小結(jié)與作業(yè)1. 偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論 定義; 記號; 幾何意義 函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù) 混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無關(guān)2. 偏導(dǎo)數(shù)的計算方法 求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義 求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無關(guān)時, 應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件3. 全微分的概念4. 重