圓錐曲線軌跡方程經(jīng)典例題

1、一、軌跡為圓的例題：1、必修2課本P124B組2:長為2a的線段的兩個端點在x軸和y軸上移動，求線段AB的中點M的軌跡方程:1必修2課本P124B組：已知M與兩個定點(0,0),A(3,0)的距離之比為一，求點M的軌跡萬程；(一般地：必修2課本P144B組2:已知點M(x,y)與兩個定點M1,M2的距離之比為一個常數(shù)m；討論點M(x,y)的軌跡方程(分m=1,與m01進行討論)2、必修2課本P122例5:線段AB的端點B的坐標是(4,3),端點A在圓/(x+1)2+y2=1上運動，求AB的中點M的軌跡。'(2013新課標2卷文20)在平面直角坐標系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長為

2、2應(yīng)，在y軸上截得線段長為2氯。(1)求圓心的P的軌跡方程；(2)若P點到直線y=x的距離為,求圓P的方程。如圖所示，已知P(4,0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足/APB=90°,求不RA矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.(才喇兒界解：設(shè)AB的中點為R,坐標為(x,y),則在RtAABP中，RR|=|PR|.又因為R是弦AB的中點，/“依垂徑定理：在RHOAR中，|AR|2=|AO|2|OR2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=J(x4)2十y2所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此點R在一個圓上，而當(dāng)R在此圓上運動時

3、，Q點即在所求的軌跡上運動.設(shè)Q(x,y),R(x1,y1),因為R是PQ的中點，所以xi=>+4,%="0,代入方程x2+y24x10=0，得22(彳汗+夕-4x4-10=0整理得：x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程.在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3),直線l:y=2x4.設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上.(1)若圓心C也在直線y=x-1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點M，使MA=2MO,求圓心C的橫坐標a的取值范圍.(2013陜西卷理20)已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得弦MN的長為8.(1) 求動圓圓心的軌跡C的方程；(2) 已知

4、點B(-1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P,Q,若x軸是/PBQ的角平分線，證明直線l過定點。二、橢圓類型：1，一3、定義法：(選修2-1P50第3題)點M(x,y)與定點F(2,0)的距離和它到定直線x=8的距離之比為，求點M2的軌跡方程.(圓錐曲線第二定義)討論：當(dāng)這個比例常數(shù)不是小于1,而是大于1,或等于1是的情形呢？(對應(yīng)雙曲線，拋物線)4、圓錐曲線第一定義：(選修2-1P50第2題)一個動圓與圓2222x+y+6x+5=0外切，同時與圓x+y6x91=0內(nèi)切，求動圓的圓心軌跡方程。225、圓錐曲線第一定義：(1,0)為定點。線段軌跡方程；(注意點f2點M(A)。

5、)圓目(x+1)+y=9上的一個動點，點F2MF2的垂直平分線與MF1相交于點Q(x,y),求點Q的(1,0)在圓內(nèi))6、其他形式：(選修2-1P50例3)設(shè)點A,B的坐標分別是(-5,0),(5,0),直線AM,BM相交于點M,且他們的斜4率的乘積為-一，求點M的軌跡萬程：(是一個橢圓)94(討論當(dāng)他們的斜率的乘積為4時可以得到雙曲線)9(2013新課標1卷20)已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x1)2+y2=9,動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線Co(1)求C的方程；(2)l是與圓P,圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A,B兩Q點，當(dāng)圓P的半徑最長時，求AB(2

6、013陜西卷文20)已知動點M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍。(1)求動點M的軌跡C的方程(2)過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點，若A是PB的中點，求直線m的斜率。、雙曲線類型:228、圓錐曲線第一定義：點M(必)圓Fi(x+1)+y=1上的一個動點，點F2(1,0)為定點。線段MF2的垂直平分線與MFi相交于點Q(x,y),求點Q的軌跡方程；(注意點F2(1,0)在圓外)165定義法：(選修2-1P59例5)點M(x,y)與定點F(5,0)的距離和它到定直線x=的距離之比為一，求點M的軌跡萬54程.(圓錐曲線第二定義)四、拋物線類型：10、定義

7、法：(選修2-1)點M(x,y)與定點F(2,0)的距離和它到定直線x=-2的距離相等，求點M的軌跡方程。(或：點M(x,y)與定點F(2,0)的距離比它到定直線x=-3的距離小1,求點M的軌跡方程。)(2013陜西卷文20)已知動點M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍。(1)求動點M的軌跡C的方程(2)過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點，若A是PB的中點，求直線m的斜率已知三點O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲線C上任意一點M(x,y)滿足|MA+MB|=OM(OA+OB)+2。(1)求曲線C的方程；)在直角坐標系xOy中，曲線C1的點均

8、在C2：(x-5)2+y2=9外，且對C1上任意一點M,M到直線x=-2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值.(I)求曲線C1的方程；(湖北)設(shè)皿單位圓x2+y2=1上的任意一點，i是過點A與x軸垂直的直線，皿直線i與x軸的交點，點ME直線l上，且滿足IDM|=m|DA(m>0,且m1)。當(dāng)點A在圓上運動時，記點M勺軌跡為曲線Q(I)求曲線C的方程，判斷曲線C句何種圓錐曲線，并求焦點坐標；22（遼寧）C1:x2交于A,數(shù)),動圓C1與C。相(I)求直線AA與直線AB交點M的軌跡方程(四川)如圖，動點M到兩定點A(_1,0)、B(2,0)構(gòu)成AMAB,且/MBA=2/MAB,設(shè)動點M的

9、軌跡為C。(I)求軌跡C的方程；(n)設(shè)直線y=-2x+m與y軸交于點P,與軌跡C相交于點Q、R,且|PQ|<|PR|,求邱1的取值范圍。|PQ|1.()已知橢圓的焦點是F1、F2,P是橢圓上的一個動點，如果延長FF到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么動點Q的軌跡是()A.圓2Ai、A2是橢圓B.橢圓C.雙曲線的一支2D.拋物線交點的軌跡方程為(92“XA.9+匕=1的長軸兩個端點,4Pi、P2是垂直于A1A2的弦的端點，則直線AiPi與A2P22匕=142B.92X=1422xyC.-=1942D.92X=14二、填空題3 .(*)4ABC中，A為動點，B、C為定點，B(,0),C(旦

10、，0),且滿足條件sinCsinB=2sinA,則動點A的222軌跡方程為.4 .()高為5m和3m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10m,如果把兩旗桿底部的坐標分別確定為A(5,0)、B(5,0),則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡方程是.三、解答題5 .(*)已知A、B、C是直線l上的三點，且|AB|=|BC|=6,。0'切直線l于點A,又過B、C作。O'異于l的兩切線，設(shè)這兩切線交于點P,求點P的軌跡方程.226 .伊*)雙曲線拶1=1的實軸為A1A2,點P是雙曲線上的一個動點，弓IA1QXA1P,A2QM2P,AQ與abA2Q的交點為Q,求Q點的軌跡方程.22&am

11、p;.()已知橢圓+號=1(2>>0),點P為其上一點，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點，/F1PF2的外角平分線為I,ab點F2關(guān)于I的對稱點為Q,F2Q交I于點R.(1)當(dāng)P點在橢圓上運動時，求R形成的軌跡方程；(2)設(shè)點R形成的曲線為C,直線I:y=k(x+，'5a)與曲線C相交于A、B兩點，當(dāng)AOB的面積取得最大值時，求k的值.、1.解析：|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,，|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|FQ|=2a,.動點Q到定點F1的距離等于定長2a,故動點Q的軌跡是圓2.解析：設(shè)交點P(x,y),Ai(3,0),A2(3,0)

12、,Pi(X0,y0),P2(X0,y0)Ai、Pi、P共線，.匕比=y-A?、P2、P共線,x-x0x32222口！=上解得=940=32,代入得"紋=1,即'_L=i且實軸長為旦,故方程為i6x_16y_=i(x>-a).2a23a24x-x0x_3xx9494、3.解析：由sinCsinB=sinA,得c-b=1a,應(yīng)為雙曲線一支,2222%專i6xi6ya.答案：一廠_=i(x)a23a244 .解析：設(shè)P(x,y),依題意有,5一=3一，化簡得P點軌跡方程為4x2+4y285x+i00=0.(x5)2y2,(x-5)2y2答案：4x2+4y285x+i00=0三

13、、5.解：設(shè)過B、C異于l的兩切線分別切。O'于D、E兩點，兩切線交于點P.由切線的性質(zhì)知：|BA|二|BD|,|PD|=|PE|,|CA|=|CE|,故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|二|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+I2=I8>6=|BC|,故由橢圓定義知，點P的軌跡是以B、C為兩焦點的橢圓，以l所在的直線為22xyx軸，以BC的中點為原點，建立坐標系，可求得動點P的軌跡萬程為一+L=i(yw0)8i726 .解:設(shè)P(x0,y0)(xw土設(shè),Q(x,y).Ai(-a,0),A2(a,0).yVo=x+axn+a由條件

14、0Jx-ax°-ax0得，二一x(x0；二a)22x-ay0二y而點P(x0,y0)在雙曲線上，b2x02a2y02=a2b222即b2(-x2)-a2(x-sa-)2=a2b2y化簡得Q點的軌跡方程為：a2x2b2y2=a4(xw±a).8 .解：二點F2關(guān)于l的對稱點為Q,連接PQ,，/F2PR=/QPR,|F2R|=|QR|,|PQ|=|PF2|又因為l為/FiPF2外角的平分線,故點Fi、P、Q在同一直線上,設(shè)存在R(x0,y0),Q(xi,yi),Fi(-c,0),F2(c,0).|FiQ|=|F2P|+|PQ|=|FiP|+|PF2|=2a,則(xi+c)2+y

15、i2=(2a)2.x0又，V。_xic一2普琳一2得xi=2x0c,yi=2y0.(2x0)2+(2y0)2=(2a)2,x02+y02=a2故R的軌跡方程為：x2+y2=a2(yw0)2ia(2)如右圖，.Saaob=-|OA|2|OB|2sinAOB=萬sinAOB當(dāng)/AOB=90°時，Saob最大值為a2.2此時弦心距|OC|=|*2ak|.1k2在RtAAOC中，/AOC=45PJ2ak|=cos45二,.k:一10AIa、1k223專題一：求曲線的軌跡方程課前自主練習(xí):1 .如圖1,AABC中，已知B(-2,0),C(2,0)，點A在x軸上方運動，且tanB+tanC=2,

16、則頂點A的軌跡方程是222+y2=1上運動，/AOP的平分線交AP于Q,則Q的軌跡方22 .如圖2,若圓C：(x+1)2+y2=36上的動點則G的軌跡方程是.3 .如圖3,已知點A(3,0)，點P在圓x程是4 .與雙曲線x2-2y2=2有共同的漸近線，且經(jīng)過點(2,-2)的雙曲線方程為5 .如圖4,垂直于y軸的直線與y軸及拋物線y2=2(x-1)分別交于點A、P,點B在y軸上，且點A滿足|AB|=2|OA|,則線段PB的中點Q的軌跡方程是.幾種常見求軌跡方程的方法：1.直接法：由題設(shè)所給(或通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出)的動點所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標代替這等式，化簡得曲線的方程，這種

17、方法叫直接法.直接法求軌跡方程的一般步驟：建系設(shè)點列式代換化簡檢驗；【例1】(1)求和定圓x2+y2=R2的圓周的距離等于R的動點P的軌跡方程；(2)過點A(a,0)作圓O：x2+y2=R2(aaR>0)的割線，求割線被圓O截得弦的中點的軌跡.解：(1)設(shè)動點P(x,y),則有|OP|=2R或|OP|=0.即x2+y2=4R2或x2+y2=0.故所求動點P的軌跡方程為x2+y2=4R2或x2+y2=0.(2)設(shè)弦的中點為M(x,y),連結(jié)OM，則OM1AMk0M.kAM=1,11y-=-1,化簡得：(x一旦)2+y2=(旦)2.xx-a22其軌跡是以O(shè)A為直徑的圓在圓O內(nèi)的一段弧(不含端

18、點)【例2】已知直角坐標平面上一點Q(2,0)和圓C：x2+y2=1,動點M到圓C的切線長等于圓C的半徑與|MQ|的和.求動點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.解：如圖，設(shè)MN切圓C于N,又圓的半徑|ON|=1, |OM|2二|NM|2+|ON|2二|NM|2+1, |MN|=J|OM|2-1,由已知|MN|=|MQ|+1.設(shè)M(x,y),則Vx2+y2-1=J(x-2)2+y2+1, 2x3=J(x-2)2+y?即3x2-y28x+5=0(x),可化為9(x-)2_3y2=1(x).23245.故所求的軌跡是以點(,0)為中心，實軸在x軸上的雙曲線的右支，頂點為(,0),如圖.33【例4】

19、已知定圓A的半徑為r,定點B與圓A的圓心A的距離為m(m>2r).又一動圓P過定點B,且與定圓A相切.求動圓圓心P的軌跡方程.解：以AB所在的直線為x軸，當(dāng)動圓P與定圓A外切時,由雙曲線的定義知動圓圓心支）.顯然，c=m,又a222222m-r故b=c-a=4以AB的中點為原點建立坐標系，如圖.|PA|_|PB|=r;當(dāng)動圓P與定圓A外切時，|PB|_|PA|=r.P的軌跡應(yīng)是以A、B為兩焦點的雙曲線（外切時為右支，內(nèi)切時為左所以所求的點P軌跡方程是:2x2r72y_122一jm-r43.動點轉(zhuǎn)移法:【例5】已知定點若動點P（x,y）隨已知曲線上的點Q（x3，y0）的變動而變動，且、y0

20、可用x、y表示,則將Q點坐標表達式代入已知曲線方程，即得點P的軌跡方程.這種方法稱為動點轉(zhuǎn)移法（或代換法或相關(guān)點法）.A（3,1）、B為拋物線y2=x+1,上任意一點，點P在線段AB的中點，當(dāng)B點在拋物線上變動時，求點解：設(shè)點P（x,y）,且設(shè)點p的軌跡方程.2B(Xo,y°),則有Vo=Xo+1.點P是線段AB的中點.由中點坐標公式得:x3y02+1，y二2X0y0=qyac2x3,將此式代入y2=2y-1y0=址+1中，并整理得：（2y1）2=2x2,即為所求軌跡方程.它是一條拋物線.設(shè)出這種曲線的方程，然后列方程，求出所設(shè)的4.待定系數(shù)法：當(dāng)動點的軌跡是確定的某種曲線時,參數(shù)，

21、進而求出方程.如求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求.【例7】若拋物線y2=4x和以坐標軸為對稱軸、實軸在y軸上的雙曲線僅有兩個公共點，又直線y=2x被雙曲線截得的線段長等于2而，求此雙曲線方程.22解：設(shè)所求雙曲線方程為41=1,將y2=4x代入整理得：a2x24b2x+a2b2=0.ab拋物線和雙曲線僅有兩個公共點，根據(jù)它們的對稱性，這兩個點的橫坐標應(yīng)相等，因此方程a2x24b2x+a2b2=0應(yīng)有等根.=16b44a3b2=0,即a2=2b.2由y=2x和yya由弦長公式得:2x2222.2w=1得：(4b-a)x-ab=0.b_2b2+X2)2-4x1x2=而卜4)(3)

22、.即a2b2=4b224a2=2b一'.a2b2=4b22得：a2=2,b2=1.，雙曲線的方程是-a5.參數(shù)法：當(dāng)動點P的坐標x、y之間的直接關(guān)系不易建立時，可適當(dāng)?shù)剡x取中間變量y22-X=1.2t,并用t表示動點P的坐標x、y,從而動點軌跡的參數(shù)方程便可得到動點P的的軌跡的普通方程，但要注意方程的等價性，即有t的范圍確定出x、y的范圍.【例8】拋物線x2=4y的焦點為F,過點（0,-1）作直線交拋物線于不同兩點A、B,以AF、BF為鄰邊作平行四邊形FARB,求頂點R的軌跡方程.解：設(shè)R(x,y),AB：y+1=kx,AB中點為M(%,y0),“月j),x2-4kx+4=0.=16(

23、k2-1)>0,x1+x2=4k,x1x2=4._._2_2_y1+y2+2=k(x+x?)=4k,y+y2=4k2.M(2k,2k2-1),F(0,1),M為AB中點，.x=4k,y=4k2_3.消k得：x2=4(y+3)(y>1).鞏固練習(xí)：1 .平面上和兩相交的定圓(半徑不等)同時相外切的動圓圓心的軌為()(A)橢圓的一部分(B)橢圓(C)雙曲線的一部分(D)雙曲線2 .已知動點M與定點F(2,0)的距離比動點M到y(tǒng)軸的距離大2,則動點M的軌跡()(A)拋物線(B)拋物線的一部分(C)拋物線和一射線(D)拋物線和一直線3 .已知定直線l和l外一點A,過A與l相切的圓的圓心軌跡

24、是()(A)拋物線(B)雙曲線(C)橢圓(D)直線4 .一動圓與兩圓x2+y2=1和x2+y28x+12=0者矽卜切，則動圓圓心軌跡為()(A)圓(B)橢圓(C)雙曲線的一支(D)拋物線5 .已知橢圓的焦點是F1、F2、P是橢圓上的一個動點.如果延長F1P到Q,使得|PQ|=|PF21,那么動點Q的軌跡是()(A)圓(B)橢圓(C)雙曲線的一支(D)拋物線6 .已知點A(2,0)、B(3,0),動點P(x,y)滿足PAPB=x2,則點P的軌跡是()(A)圓(B)橢圓(C)雙曲線(D)拋物線227.與圓x+y-4x=0外切，又與y軸相切的圓的圓心的軌跡萬程是()22(A)y=8x(B)y=8x(

25、x>0*Dy=022(C)y=8x(x>0)(D)y=8x(x>0)和y=0(x<0)28.過拋物線y=2x的焦點作直線與此拋物線相交于兩點P、Q,則線段PQ中點的軌跡方程為()2222(A)y=2x1(B)y=2x+1(C)y=2x2(D)y=2x+29.過點P(x,y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點，點Q與點P關(guān)于y軸對稱,O為坐標原點，若BP=2PA,且OQAB=1,則點P的軌跡方程是(,一、232(A)3x2+-y2=1(x>0,y>0)2,322(C) x-3y=1(x0,y0)2232(B)3x-y=1(x0,y0)2322(D) x3y=1(x0,y0)210.已知兩點M(2,0)、N(2,0)點P(x,y)的軌跡方程為(，點P為坐標平面內(nèi)的動點，滿足)|MN|