振動理論及應用期末復習題題題庫_西南交通大學

1、如08年振動力學期末考試試題第一題(20分)1、在圖示振動系統(tǒng)中，已知：重物C的質(zhì)量mi,勻質(zhì)桿AB的質(zhì)量m2,長為L,勻質(zhì)輪O的質(zhì)量m3,彈簧的剛度系數(shù)ko當AB桿處于水平時為系統(tǒng)的靜平衡位置。試采用能量法求系統(tǒng)微振時的固有頻率。解：系統(tǒng)可以簡化成單自由度振動系統(tǒng)，以重物C的位移y作為系統(tǒng)的廣義坐標，在靜平衡位置時y=0,此時系統(tǒng)的勢能為零。AB轉(zhuǎn)角：邛=y/L系統(tǒng)動能：12mi動能：T1=m1y2£系統(tǒng)勢能:m2動能:m3動能:1_211_2-211_2T2=_J22=(m2L)=(m2L2232321/1、2二二(二m2)y23.1.21,1-2T3=-J3,3=一(一m3R2

2、2221J、2=-(-m3)y22、，J、1、2V=-mgym2g(二y)-k(-y)222在理想約束的情況下，系統(tǒng)的主動力為有勢力，則系統(tǒng)的機械能守恒，因而有：1,11、211,1、2TV=(m1m2m3)y-m1gym2gyk(y)=E232222上式求導，得系統(tǒng)的微分方程為：k匚yy=Ey11y4(m1m2一m3)32固有頻率和周期為:14(1+-m2+*)2、質(zhì)量為m1的勻質(zhì)圓盤置于粗糙水平面上，輪緣上繞有不可伸長的細繩并通過定滑輪A連在質(zhì)量為m2的物塊B上；輪心C與剛度系數(shù)為k的水平彈簧相連；不計Vt輪A,繩及彈簧的質(zhì)量，系統(tǒng)自彈簧原長位置靜止釋放。試采用能量法求系統(tǒng)的固有頻率。解：

3、系統(tǒng)可以簡化成單自由度振動系統(tǒng)，以重物B的位移x作為系統(tǒng)的廣義坐標，在靜平衡位置時x=0,此時系統(tǒng)的勢能為零。12物體B動能：T1=一m2x21.1.輪子與地面接觸點為速度瞬心，則輪心速度為vc=_x,角速度為0=x,轉(zhuǎn)過的角度22R、，.1為g=x。輪子動能：2R121211211212132T2=一mVcJ'二m1(x)一(一m1R)(2x)=(mx)2224224R228系統(tǒng)勢能：12121V=kx：=k(uR)2=k(2222R2k2xR)=x8在理想約束的情況下，系統(tǒng)的主動力為有勢力，則系統(tǒng)的機械能守恒，有:_13ml2TV(1m2)x228上式求導得系統(tǒng)的運動微分方程：2k

4、xx=03ml8m2-x2=E8固有頻率為：第二題（20分）1、在圖示振動系統(tǒng)中,彈簧的剛度系數(shù)均為2k3ml8m2重物質(zhì)量為m,外殼質(zhì)量為ko設(shè)外殼只能沿鉛垂方向運動。2m,每個采用影響系數(shù)方法：（1）以2和x2為廣義坐標，建立系統(tǒng)的微分方程;（2）求系統(tǒng)的固有頻率。解：系統(tǒng)為二自由度系統(tǒng)。Ttt有:有:當xi=1,x2=0時,當x2=1,x2=1時,因此系統(tǒng)剛度矩陣為：k11=2k,k21=2kk22=4k,k12=2k.-:k-2k14k系統(tǒng)質(zhì)量矩陣為:m,002m系統(tǒng)動力學方程為:2k-2kxi-0102mx2_12k4k1x2Q頻率方程為:22k-m-2k2-2k4k-2m2解出系統(tǒng)

5、2個固有頻率:co1=(2-2),co2=(2+*,12)mm2、在圖示振動系統(tǒng)中，物體A、B的質(zhì)量均為m,彈簧的剛度系數(shù)均為k,剛桿AD的質(zhì)量忽略不計，桿水平時為系統(tǒng)的平衡位置。采用影響系數(shù)方法，試求：（1）以Xi和X2為廣義坐標，求系統(tǒng)作微振動的微分方程；（2）系統(tǒng)的固有頻率方程。解：系統(tǒng)可以簡化為二自由度振動系統(tǒng)，以物體A和B在鉛垂方向的位移Xi和X2為系統(tǒng)的廣義坐標。當x1=1,x2=0時，AD轉(zhuǎn)角為日=1/3L,兩個彈簧處的彈性力分別為kQL和2k8L。對D點取14.力矩平衡，有：k11=kL；另外有k21=kL。9同理，當x2=1,x2=1時，可求得：Dk22kL，k12=kL因此

6、，系統(tǒng)剛度矩陣為：14kL9kL-kLkL系統(tǒng)質(zhì)量矩陣為:01系統(tǒng)動力學方程為:14IkL9-kL-kLkL頻率方程為:即:第三題（20分）1K114kL2一m9kL-"kL2kL-m_24_222_9m-23kmL5kL=0在圖示振動系統(tǒng)中，已知：物體的質(zhì)量m1、采用影響系數(shù)方法建立系統(tǒng)的振動微分方程；（2）若k1=k3=k4=k°,又k2=2k°,求系統(tǒng)固有頻率；（3）取k0=1,m1=8/9,m2=1,系統(tǒng)初始位移條件為x（0）=9和x2（0）=0,初始速度都為零，采用模態(tài)疊加法求系統(tǒng)響應。解：（1）系統(tǒng)可以簡化為二自由度振動系統(tǒng)。當x1=1,x2=0時，有

7、：k11=k1+k2+k4,k21=k2m2及彈簧的剛度系數(shù)為k1、k2、k3、k4。（1）vwwx1x2當x2=1,x2=1時，有：k22=k2+k3,k12=k2。因此，系統(tǒng)剛度矩陣為:kik2k4_-k2-k2k2k3系統(tǒng)質(zhì)量矩陣為:系統(tǒng)動力學方程為:（2）當ki=k3=k4=%,k2=2ko時，運動微分方程用矩陣表示為:"mi0p+4k。-2k°/1=-0|，0m2J>2J'-2ko3koJ>2J-i0J頻率方程為：(4k0-m12)(3k0-m22)4k；=0422m1m2'-(3m14m2)k0，：)-8k0=0求得：；=0(3mi4

8、m2-9m-8m)m216m；)2mlm22.2k02mlm2(3m14m2-9m12-8mlm216m2)(3)當=1,m1=8/9,m2=1時，系統(tǒng)質(zhì)量陣:一8M=9.0系統(tǒng)剛度陣:固有頻率為:主模態(tài)矩陣為:主質(zhì)量陣:主剛度陣:一3_3=42J1一一3hT,hMn=M=2p9-T-Kp=K=4一018模態(tài)空間初始條件:%2（0）1%2（0）1-45二x1（0）=°_q2（0）X2（0）_0模態(tài)響應:,22q1+81q=0,q2+82q2=0即：q（t）=4cos«1t,q2（t）=-4cos«2t因此有:3cos1t+6cos®2t；4cos61t4

9、cos«2t第四題（20分）一勻質(zhì)桿質(zhì)量為m,長度為L,兩端用彈簧支承，彈簧的剛度系數(shù)為燈和k2。桿質(zhì)心C上沿x方向作用有簡諧外部激勵sin6t。圖示水平位置為靜平衡位置。（1）以x和8為廣義坐標，采用影響系數(shù)方法建立系統(tǒng)的振動微分方程；（2）取參數(shù)值為m=12,L=1,ki=1,k2=3,求出系統(tǒng)固有頻率；（2）系統(tǒng)參數(shù)仍取前值，試問當外部激勵的頻率8為多少時,能夠使得桿件只有6方向的角振動，而無x方向的振動？解：（1）系統(tǒng)可以簡化為二自由度振動系統(tǒng)，選剛桿的角位移，如圖示。當x=1、日=0時：x、6為廣義坐標，x為質(zhì)心的縱向位移，日為當x=0、日=1時:kn=k1+k2,k21=

10、（k2k1）L2LL2"=出-k1）一，k22=（k1k2）2421k11kn*k21k2因此，剛度矩陣為:k1rL2質(zhì)量矩陣為:系統(tǒng)動力學方程:"m01mL212(2)當m=12,頻率方程為:即:求得:k1k2-m0kik2(k2(k2-k1)2(k1+k2)二4101.2mL12萬(k1L=,k1=1,k2=3時，系統(tǒng)動力學方程為：；20；0+；41F1=：sin8tl：01M：11JPJJ0.11-o12o-1623=0x、一sin8t，代入上述動力學方程，有:?J一4-12©2LX由第二行方程，解得UX，代入第一行的方程，有:1.2x=2,(4-122)-

11、12二-(4-12.)-1要使得桿件只有e方向的角振動，而無x方向的振動，則需x=0,因此6=1。第五題(20分)如圖所示等截面懸臂梁，梁長度為L,彈性模量為E,橫截面對中性軸的慣性矩為I,梁材料密度為P。在梁的a位置作用有集中載荷F(t)。已知梁的初始條件為：y(x,0)=f1(x),y(x,0)=f2(x)。(1)推導梁的正交性條件；(2)寫出求解梁的響應y(x,t)的詳細過程。(假定已知第i階固有頻率為叫，相應的模態(tài)函數(shù)為提示：梁的動力學方程為：EI2,、y(x,t)-2+PS-y=f(x,t),Ft2f(x,t)=F(t)6(x-a),5為3函數(shù)。解：(1)梁的彎曲振動的動力學方程為：

12、2£舊2二y(x,t)2二y(x,t)ft2y(x,t)可寫為:y(x,t)代入梁的動力學方程，有：=(x)q(t)=(x)asin(t二)(EI)=2：S設(shè)與明、畫對應有小、，有:(EIj)=，"Sj式(1)兩邊乘以r并沿梁長對x積分，有：上但給曾=叫2在$的乂利用分部積分，上式左邊可寫為：4(EI幻"dx=*(EI幻'(EI%0十(EI蟬;dx(4)由于在梁的簡單邊界上，總有撓度或剪力中的一個與轉(zhuǎn)角或彎矩中的一個同時為零，所以，上式右邊第一、第二項等于零，成為：ll0j(EI：)dx=0EIijdx將上式代入(3)中，有：jEIt£dx=%2

13、jPS4仲jdx(5)式(2)乘9并沿梁長對x積分，同樣可得到：l2l°EIJjdxh；°：S；jdx由式(5)、(6)得:22162)(PS*i*jdx=0如果i¥j時，為手色,則有：l產(chǎn)觸dx=0當i¥j上式即梁的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性。再由(3)及(6)可得：lTEMaj"dx=0當i#jloj(EIi)dx=0當i=j上兩式即梁的主振型關(guān)于剛度的正交性。l2當i=j時，式(7)總能成立，令：PSjdx=MpjMpj、Kpj即為第j階主質(zhì)量和第j階主剛度。由式(6)知有：.2="jMpj如果主振型%(x)中的常數(shù)按下列歸一化條件

14、來確定：i9JS-2dx=Mpj=1則所得的主振型稱為正則振型，這時相應的第j階主剛度K3為82。pjjl式(9)與(8)可合并寫為：ocs,dxn、,飛由式(6)知有：，Eg窖dx：叫",0j(EI的“dx：%2"(2)懸臂梁的運動微分方程為：-4-2二y-yEI4ST=f(x,t):x二t其中：(6)(7)(8)(9)(1)f(x,t)=F(t)6(x-a)(2)令：y(x,t)=工?(x)q)(3)i=1代入運動微分方程，有：Q0盟oOz(EI。/qi+PS£蟲q；=f(x,t)(4)i1id上式兩邊乘P(x),并沿梁長度對x進行積分，有:二L二LL工qi10(Eia)為dx+£q；J0PS6*jdx=J°f(x,t仲jdx(5)i4i4利用正交性條件，可得：，一2qj(t)+6jqj(t)=Qj(t)(6)其中廣義力為：LLQj(t)=。f(t)ejdx=j0F(t)6(x-a)*jdx=F(t)*j(a)(7)初始條件可寫為：尸oQy(x,0)=f1(x)=S+i(x)q(0)號(8)y(x,0)=f2(x)-«內(nèi)(0)上式乘以與巧(x),并沿梁長度對x積分，由正交性條件可得：(9)qj(0)=；DSf1(x)j(x)dxL