《空間向量的夾角和距離公式》教案及說明

1、空間向量的夾角和距離公式三維目標(biāo)：知識(shí)與技能：1使學(xué)生知道如何建立空間直角坐標(biāo)系，掌握向量的長(zhǎng)度公式、夾角公式、兩點(diǎn)間距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并會(huì)用這起公式解決有關(guān)問題；2.使學(xué)生經(jīng)歷對(duì)從生活中如何抽象出數(shù)學(xué)模型的過程，從而提高分析問題、解決問題的能力.過程與方法：通過采用啟發(fā)探究、講練結(jié)合、分組討論等教學(xué)方法使學(xué)生在積極活躍的思維過程中，從“懂”到“會(huì)”到“悟”情感、態(tài)度和價(jià)值觀：1通過自主探究與合作交流的教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)置，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和求知欲，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位；2.通過數(shù)形結(jié)合的思想和方法的應(yīng)用，讓學(xué)生感受和體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力，培養(yǎng)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的習(xí)慣和熱情.教學(xué)重點(diǎn)：夾角公式、距離

2、公式.教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)學(xué)模型的建立.關(guān)鍵：將生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，正確寫出空間向量的坐標(biāo).教具準(zhǔn)備：多媒體投影，實(shí)物投影儀.教學(xué)過程：（一）創(chuàng)設(shè)情境，新課導(dǎo)入2008年5月16日，南昌可以說是萬(wàn)人空巷，大家都把自己的愛國(guó)熱情聚集在圣火的傳遞上，讓我們值得驕傲的是火炬?zhèn)鬟f中的一站就是我們的南昌大學(xué)，其中途經(jīng)我市雄偉而壯觀的生米大橋，為記錄傳遞過程，我校派了小記者在船上進(jìn)行全景拍攝，出現(xiàn)了這么一個(gè)問題.引例:在離江面高30米的大橋上，火炬手由東向西以2m/s的速度前進(jìn)，小船以lm/s的速度由南向北勻速行駛，現(xiàn)在火炬手在橋上D】點(diǎn)以東30米的q點(diǎn)處，小船在水平D點(diǎn)以南方向

3、30米的A處（其中DD丄水面）求（1）6s后火炬手與小船的距離？（2）此時(shí)的視線與開始時(shí)的視線所成角的余弦值?（不考慮火炬手與小船本身的大小）.今天我們從另一個(gè)角度來分析這個(gè)問題.分析:建立數(shù)學(xué)模型ci問題（1）轉(zhuǎn)化為:如何求空間中兩點(diǎn)間的距離？問題（2）轉(zhuǎn)化為：如何求空間中兩條直線所成角的余弦值?1、空間兩點(diǎn)間的距離公式己知:憨,殆，則AB=(x2-,y2-y1,z3-z1)|AB|=J忑防=J(x?齊+&一yj?+(%-紓gB=J(馮逅)2+(y?-)'+色一殆22、夾角公式設(shè)a=(jq,y1,z1),b=(x2,y2,z2),-廠a-bcos<a,b>=abJ

4、彳+W+器Jxj+yp+z則a=OAb=OB（二）例題示范，形成技能例1：在離江面高30米的大橋上，火炬手由東向西以2m/s的速度前進(jìn)，小船以lm/s的速度由南向北勻速行駛，現(xiàn)在火炬手在橋上D】點(diǎn)以東30米的q點(diǎn)處，小船在水平D點(diǎn)以南方向30米的A處（其中DD丄水面）求（1）6s后火炬手與小船的距離？（2）此時(shí)的視線與開始時(shí)的視線所成角的余弦值？（不考慮火炬手與小船本身的大?。?解：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則A(30,0,0),q(0,30,30)M(0,l8,30),N(24,0,0)；(1) |昴卜(24,+(18)2+(-30F=30111(2) 莎=(24,18,30),疋=(30,3

5、0,30).cos莎，疋=24x(-30)+(-18)x30+(-30)x30_2汞o,-Z2cosEE,DF=7BE】DFxt+30x3015/715/7l21517請(qǐng)?jiān)谏厦胬}的基礎(chǔ)上，各編一個(gè)關(guān)于求夾角和距離的題目.拓展提高:我們知道平面上到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是一條直線,那么猜想空間上到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)平面，我們能不能把它表示出來呢？例3:求到M,N兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)P（x,y.z）的坐標(biāo)x、y、z滿足的條件.解：點(diǎn)Pgz）到M,N兩點(diǎn)距離相等,貝ij|pm=Ip*(x-0)2+(y-18)2+(z-30)2=J(x_24)2+(y_0+(z_0)2化簡(jiǎn)，得4x-3y-5z

6、+54=即到到M,N兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)（y,z）滿足的條件是4x-3y-5z+54=（四）概括提煉，總結(jié)升華求空間兩條直線的夾角求空間兩點(diǎn)間的距離（五）布置作業(yè)，探究延續(xù)1. 課本P42習(xí)題9.67.&9.2. 請(qǐng)同學(xué)們各編寫一道關(guān)于求夾角和距離的題目，并解答.3思考題：引例:何時(shí)小船與火炬手之間的距離最短?（六）板書設(shè)計(jì)：§9.6空間向量的夾角和距離公式1兩點(diǎn)間的距離公式例題作業(yè)2.向量的夾角公式小結(jié)3.中點(diǎn)公式10教案說明一、授課內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)與教學(xué)目標(biāo)定位本節(jié)課是人教版第九章第六節(jié)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算之夾角和距離公式的第一課時(shí)，它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了空間向量的坐標(biāo)表示，空

7、間向量的數(shù)量積的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容，溝通了代數(shù)與幾何的關(guān)系，體現(xiàn)了向量的工具性、應(yīng)用性，滲透了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想同時(shí)它也是數(shù)學(xué)建模中很典型的一堂課，是數(shù)學(xué)研究過程的一個(gè)縮影.這節(jié)課希望達(dá)到以下教學(xué)目標(biāo)：三維目標(biāo)：知識(shí)與技能：1使學(xué)生知道如何建立空間直角坐標(biāo)系，掌握向量的長(zhǎng)度公式、夾角公式、兩點(diǎn)間距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并會(huì)用這些公式解決有關(guān)問題；2.使學(xué)生經(jīng)歷對(duì)從生活中如何抽象出數(shù)學(xué)模型的過程，從而提高分析問題、解決問題的能力.過程與方法：通過采用啟發(fā)探究、講練結(jié)合、分組討論等教學(xué)方法使學(xué)生在積極活躍的思維過程中，從“懂”到“會(huì)”到“悟”情感.態(tài)度和價(jià)值觀：1通過自主探究與合作交

8、流的教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)置，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和求知欲，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位；2通過數(shù)形結(jié)合的思想和方法的應(yīng)用，讓學(xué)生感受和體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力，培養(yǎng)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的習(xí)慣和熱情.二、學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ)以及今后有何用處在人們生活的空間中存在著大量的圖形，夾角和距離在現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見，同時(shí)它們又是立體幾何中的重要問題，由于高二的學(xué)生已具備一定的空間想象，但對(duì)把空間的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的問題的能力有所欠缺，而本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生經(jīng)歷對(duì)從生活中如何抽象出數(shù)學(xué)模型的過程，從而有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.本節(jié)課是在已完成了“平面向量的數(shù)量積公式、夾角公式，空間向量的坐標(biāo)表示，空間向量的數(shù)量積”等內(nèi)容的教學(xué)以后進(jìn)行

9、的，它研究的是空間中夾角和距離公式，是空間向量在立體幾何中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，是后面學(xué)習(xí)夾角和距離的基礎(chǔ)，同時(shí)也肩負(fù)著學(xué)生用向量法處理立體幾何問題，把對(duì)空間圖形的研究從“定性推理”轉(zhuǎn)化為“定量計(jì)算”的任務(wù)，因此本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容起著承前啟后的作用這節(jié)課的教學(xué)，為向量在數(shù)學(xué)和物理上的綜合運(yùn)用奠定了基礎(chǔ).三、教學(xué)診斷分析(1) 由于高二的學(xué)生已具備一定的空間想象，但對(duì)把空間的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的問題的能力有所欠缺，因此在創(chuàng)設(shè)情境中安排了實(shí)際背景材料一一奧運(yùn)火炬在南昌的傳遞，對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國(guó)主義教育，通過動(dòng)畫演示來引出新知，使學(xué)生直觀的體驗(yàn)空間中兩點(diǎn)間的距離和空間兩條直線所成的角，目的有以下幾點(diǎn)：通過學(xué)生身邊的實(shí)例

10、，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，變枯燥的數(shù)學(xué)為有趣的數(shù)學(xué)；使學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)就在身邊，提高“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)；使學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出數(shù)學(xué)“模型”過程，培養(yǎng)“建?！币庾R(shí).(2) 由于本節(jié)課的重點(diǎn)是夾角和距離公式，而關(guān)鍵在于如何找坐標(biāo)，學(xué)生容易了解，因此在例題的講解上，充分的發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，盡可能的由他們說出點(diǎn)或向量的坐標(biāo)，激發(fā)學(xué)生參與的熱情.(3) 由于高二的學(xué)生具備一定的學(xué)習(xí)能力，但在探究問題的內(nèi)部聯(lián)系和內(nèi)在發(fā)展上還有所欠缺，為此在例1的基礎(chǔ)上設(shè)置變式訓(xùn)練，首先將課本中的中點(diǎn)坐標(biāo)以及求夾角的例題設(shè)計(jì)到變式訓(xùn)練中給學(xué)生以示范，再安排學(xué)生在以上的基礎(chǔ)上自己編題，目的:始終以例1為主線，貫穿下來起到培

11、養(yǎng)學(xué)生的合作精神以及對(duì)掌握知識(shí)的相互補(bǔ)充作用，同時(shí)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生真正參與進(jìn)來，真正的自主的學(xué)習(xí)并通過投影儀充分展示學(xué)生的成果，在師生雙邊活動(dòng)的過程中養(yǎng)成反思意識(shí)和提高有條理的表達(dá)能力，促進(jìn)學(xué)生全面和諧地發(fā)展.將課本中求空間上到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡問題設(shè)計(jì)到拓展提高當(dāng)中，引發(fā)學(xué)生的興趣,將整堂課推向高潮.(4) 利用程序框圖幫助總結(jié)求空間兩點(diǎn)間的距離與兩條直線所成角的步驟.(5) 為適應(yīng)不同水平的學(xué)生，作業(yè)層次有所不同，給例1設(shè)計(jì)了一問留給學(xué)生思考，使得整堂課一根紅線貫穿始終.四、本節(jié)課的教法特點(diǎn)以及預(yù)期效果分析1. 教學(xué)方法為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體意識(shí)，面向全體學(xué)生，使學(xué)生在獲取

12、知識(shí)的同時(shí)，各方面的能力得到進(jìn)一步的培養(yǎng).根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容特點(diǎn)，本節(jié)課采用啟發(fā)探究、講練結(jié)合，分組討論等教學(xué)方法，著重于培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力以及良好的學(xué)習(xí)品質(zhì).2. 教學(xué)中的預(yù)期效果分析本節(jié)課我采用現(xiàn)代化的教學(xué)手段進(jìn)行教學(xué)，運(yùn)用已有的知識(shí)體系，創(chuàng)造性的使用教材，一根紅線貫穿始終，使學(xué)生在自主學(xué)習(xí)與教師引導(dǎo)相結(jié)合的教學(xué)實(shí)踐中，從“懂”到“會(huì)”到“悟”，體會(huì)鉆研的意識(shí)，品嘗成功的喜悅，從而使學(xué)生在積極活躍的思維過程中，數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提高.30>/2xJ(-30)*12*+302+3025此題所求的是空間兩條直線所成角的余弦值，而不是兩個(gè)空間向量夾角的余弦值，兩者有什么區(qū)別？我們乂如何轉(zhuǎn)化為本題的結(jié)論?（三）學(xué)生互動(dòng)鞏固提高變式訓(xùn)練：實(shí)際上，我們剛剛就是在一個(gè)正方體中討論兩點(diǎn)間的距離，兩條直線所成的角，而在正方體中還有許多的點(diǎn)與線，例2：（1）若G為MN的中點(diǎn)，