數(shù)值分析楊大地_答案（第八章)

1、數(shù)值分析第8章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 8.1 填空題（1）n+1個(gè)點(diǎn)的插值型數(shù)值積分公式abf(x)dxj=0nAjf(xj)的代數(shù)精度至少是 n ，最高不超過(guò) 2n+1 。【注：第1空，見(jiàn)定理8.1】（2）梯形公式有 1 次代數(shù)精度，Simpson公司有 3 次代數(shù)精度?！咀ⅲ悍謩e見(jiàn)定理8.1,8.3】（3）求積公式0hf(x)dxh2f0+fh+ah2f'0-f'(h)中的參數(shù)a= 1/12 時(shí)，才能保證該求積公式的代數(shù)精度達(dá)到最高，最高代數(shù)精度為 3 。解：令f(x)=1,x,x2帶入有，h21+1+ah20-0=hh20+h+ah21-1=12h2h20+h2+ah20-

2、2h=13h3/注：x的導(dǎo)數(shù)=1解之得，a=1/12，此時(shí)求積公式至少具有2次代數(shù)精度。積分公式為：0hf(x)dxh2f0+fh+h212f'0-f'(h)令f(x)= x3帶入求積公式有：h20+h3+h2120-3h2=14h4，與f(x)= x4的定積分計(jì)算值14h4相等，所以，此求積公式至少具有3次代數(shù)精度。令f(x)= x4帶入求積公式有，h20+h4+h2120-4h3=16h5，與f(x)= x5的定積分計(jì)算值15h5不相等，所以，此求積公式的最高代數(shù)精度為3次代數(shù)精度。8.2 確定下列求積公式的求積系數(shù)和求積節(jié)點(diǎn)，使其代數(shù)精度盡量高，并指出其最高代數(shù)精度。解題

3、思路：按照P149 中8.3式進(jìn)行求解，根據(jù)求積公式中未知量n的數(shù)量決定代入多少f(x)，當(dāng)積分公式代入求積節(jié)點(diǎn)xn的計(jì)算結(jié)果與定積分的計(jì)算結(jié)果一致，繼續(xù)代入求積節(jié)點(diǎn)Xn+1,，若計(jì)算結(jié)果與對(duì)應(yīng)的定積分計(jì)算結(jié)果不一致時(shí)，求積公式擁有最高n次的代數(shù)精度。（1）02hf(x)dxA0f0+A1fh+A2f(2h)解：令f(x)=1,x,x2代入有,【注：本例中需求解A0、A1、A2共3個(gè)未知量，故需3個(gè)相異求積節(jié)點(diǎn)f(x)】A0+A1+A2=2hA1h+A22h=122h2A1h2+A22h2=132h3求解得A0=13h，A1=43h，A2=13h，求積公式為：02hf(x)dx13hf0+43

4、hfh+13hf(2h)該求積公式對(duì)3個(gè)相異節(jié)點(diǎn)1,x,x2均有余項(xiàng)Ef=0， /注：參見(jiàn)P149定理8.1該求積公式至少具有2次代數(shù)精度。令f(x)= x3，代入求積公式有：43hh3+13h2h3=4h4 函數(shù)f(x) = x3的定積分結(jié)果為：02hx3dx=142h4=4h4 ，與求積公式計(jì)算值相等，該求積公式具有3次代數(shù)精度。令f(x)= x4，代入求積公式有：43hh4+13h2h4=203h5函數(shù)f(x) = x4的定積分結(jié)果為02hx4dx=152h5-05=325h5，與求積公式計(jì)算值不相等，該求積公式的最高代數(shù)精度為3次代數(shù)精度。（2）-11f(x)dxAf-1+2fx1+3

5、f(x2)解：令f(x)=1,x,x2代入有,【注：本例中需求解A、X1、X2共3個(gè)未知量，故需3個(gè)相異求積節(jié)點(diǎn)f(x)】A1+2+3=2A-1+2x1+3x2=0A-12+2x12+3x22=1313-13=23求解得A=13，x1=0.6899，x2=-0.1260，或A=13，x1=-0.2899，x2=0.5266求積公式為：求積公式1：-11fxdx13f-1+2f0.6899+3f-0.1260求積公式1：-11f(x)dx13f-1+2f-0.2899+3f0.5266該求積公式對(duì)3個(gè)相異節(jié)點(diǎn)1,x,x2均有余項(xiàng)Ef=0，/注：參見(jiàn)P149定理8.1該求積公式至少具有2次代數(shù)精度

6、。令f(x)= x3代入求積公式1有：13-13+20.68993+3-0.12603=-0.2245令f(x)= x3代入求積公式2有：13-13+2-0.28993+30.52663=-0.2928函數(shù)f(x) = x3的定積分結(jié)果為：-11x3dx=1414-14=0 ，與求積公式計(jì)算值均不相等，該求積公式的最高代數(shù)精度為2次代數(shù)精度。（3）-11f(x)dxA1f-1+A2f-13+A3f(13)解：令f(x)=1,x,x2代入有,【注：本例中需求解A1、A2、A3共3個(gè)未知量，故需3個(gè)相異求積節(jié)點(diǎn)f(x)】A1+A2+A3=1-1=2A1-1+A2-13+A313=1212-12=0

7、A1-12+A2-132+A3132=1313-13=23求解得A1=12，A2=0，A3=32，求積公式為： -11f(x)dx12f-1+32f(13) 該求積公式對(duì)3個(gè)相異節(jié)點(diǎn)1,x,x2均有余項(xiàng)Ef=0，/注：參見(jiàn)P149定理8.1 該求積公式至少具有2次代數(shù)精度。令f(x)= x3，代入求積公式有：12-13+32133=-0.4444 函數(shù)f(x) = x3的定積分結(jié)果為：-11x3dx=1414-14=0，與求積公式計(jì)算值不相等， 該求積公式的最高代數(shù)精度為2次代數(shù)精度。（4）-11f(x)dxA1fx1+A2f0+A3f(1)解：令f(x)=1,x,x2,x3代入有,【注：本例

8、中需求解A1、A2、A3、X1共4個(gè)未知量，故需4個(gè)相異求積節(jié)點(diǎn)f(x)】A1+A2+A3=2A1x1+0+A3=0A1x12+0+A312=23A1x13+0+A313=0 求解得A1=13，A2=43，A3=13，x1=-1求積公式為： -11f(x)dx13f-1+43f0+13f(1)該求積公式對(duì)4個(gè)相異節(jié)點(diǎn)1,x,x2,x3均有余項(xiàng)Ef=0，/注：參見(jiàn)P149定理8.1該求積公式至少具有3次代數(shù)精度。令f(x)= x4，代入求積公式有：13-14+0+1314=23 函數(shù)f(x) = x4的定積分結(jié)果為：-11x4dx=1515-15=25，與求積公式計(jì)算值不相等， 該求積公式的最高

9、代數(shù)精度為3次代數(shù)精度。（5）02f(x)dxfx1+fx2解：令f(x)=1,x,x2代入有, 1+1=2x1+x2=2x12+x22=83 求解得x1=1-33x2=1+33 或x1=1+33x2=1-33求積公式為： 02f(x)dxf1-33+f1+33該求積公式對(duì)3個(gè)相異節(jié)點(diǎn)1,x,x2均有余項(xiàng)Ef=0，/注：參見(jiàn)P149定理8.1該求積公式至少具有2次代數(shù)精度。令f(x)= x3，代入求積公式有：1-333+1+333=142404=4 函數(shù)f(x) = x4的積分結(jié)果為：02x3dx=142404=4 ，與求積公式計(jì)算值相等，該求積公式具有3次代數(shù)精度。令f(x)= x4，代入求

10、積公式有：1-334+1+334=6.2222函數(shù)f(x) = x4的積分結(jié)果為：02x4dx=152505=6.4 ，與求積公式的計(jì)算結(jié)果不相等，該求積公式的最高代數(shù)精度為3次代數(shù)精度。8.3 分別用復(fù)化梯形公式，復(fù)化Simpson公式，復(fù)化Cotes公式計(jì)算下列積分：解題要點(diǎn)：復(fù)化梯形公式【Tn，Un】-P154P155，復(fù)化Simpson公式【Sn】-P155P156，復(fù)化Cotes公式【Cn】-P156。若在積分范圍內(nèi)劃分的小區(qū)間數(shù)n=2k,則直接用對(duì)應(yīng)的公式從T1、U1開(kāi)始計(jì)算，然后按照T2n、T4n的公式利用前面計(jì)算的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，若n2k，在直接利用梯形求積公式8.7直接計(jì)算Tn

11、和Un，再利用Tn、Un求解Sn、Cn。（1）01x4+x2dx， n=8解：由題，設(shè)f(x)=x4+x21）用復(fù)化梯形公式求解有 /因?yàn)閚=8=23，本題從T1、U1開(kāi)始計(jì)算，然后按照T2n、T4n的公式利用前面計(jì)算的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算得到T10 T1=12f0+f(1)=0.1 ， /見(jiàn)P154 公式8.7，n=1 U1=f12=0.11764706 /見(jiàn)P154 Un的計(jì)算公式，n=1T2=12T1+U1=0.10882353 /見(jiàn)P155 公式8.8 U2=12f14+f(34)=0.11296096T4=12T2+U2=0.11089224 U4=14f18+f(38)+f(58)+f(7

12、8)=0.11191244T8=12T4+U4=0.111402352）用復(fù)化Simpson公式求解有：Sn=4T2n-Tn3/見(jiàn)P155 公式8.12S8=4T16-T83/由此可知，要求出S8，必須先求出T16，進(jìn)而得先求出U8 U8=18i=17f(xi+1/2)=18f116+f(316)+f(516)+f(716)+f(916)+f(1116)+f(1316)+f(1516)=0.11165540T16=12T8+U8=0.11152888S8=4T16-T83=0.111571063）用復(fù)化Cotes公式求解有： Cn=16S2n-Sn15/見(jiàn)P156 公式8.14 C8=16S1

13、6-S815/由此可知需先求出S16，由復(fù)化Simpson公式可知需先求出T32，進(jìn)而得知需先求U16。 U16=116i=115f(xi+1/2)=116f132+f(332)+f(532)+f(732)+f(932)+f(1132)+f(1332)+f(1532)+f(1732)+f(1932)+f(2132)+f(2332)+f(2532)+f(2732)+f(2932)+f(3132)=0.11159294T32=12T16+U16=0.11156091S16=4T32-T163=0.11157159C8=16S16-S815=0.11157163（3）01e-x2dx， n=10解：

14、由題，設(shè)f(x)=e-x21）用復(fù)化梯形公式求解有 /因?yàn)閚=102n，故本題直接用復(fù)化梯形公式直接計(jì)算得到T10Tn=h2fa+fb+2i=1n-1f(xi) ， h=b-an=110 T10=120f0+f1+2i=19f(xi)，其中xi=a+ih=0.1iT10=120f0+f1+2f0.1+f0.2+f0.3+f0.4+f0.5+f0.6+f0.7+f0.8+f0.9=0.746210802）用復(fù)化Simpson公式求解有：Sn=4T2n-Tn3/見(jiàn)P155 公式8.12S10=4T20-T103/由此可知，要求出S10，必須先求出T20，進(jìn)而得先求出U10 U10=110i=17f

15、(xi+1/2)=110f0.05+f(0.15)+f(0.25)+f(0.35)+f(0.45)+f(0.55)+f(0.65)+f(0.75)+f(0.85)+f(0.95)=0.74713088T20=12T10+U10=0.74667084S10=4T20-T103=0.746824193）用復(fù)化Cotes公式求解有： Cn=16S2n-Sn15/見(jiàn)P156 公式8.14 C10=16S20-S1015/由此可知需先求出S20，由復(fù)化Simpson公式可知需先求出T40，進(jìn)而得知需先求U20。 U20=120i=119f(xi+1/2)=120f0.025+f(0.075)+f(0.1

16、25)+f(0.175)+f(0.225)+f(0.275)+f(0.325)+f(0.375)+f(0.425)+f(0.475)+f(0.525)+f(0.575)+f(0.625)+f(0.675)+f(0.725)+f(0.775)+f(0.825)+f(0.875)+f(0.925)+f(0.975)=0.74690079T40=12T20+U20=0.74678581S20=4T40-T203=0.74682414C8=16S20-S1015=0.746824138.4 利用Romberg公式計(jì)算以下積分：解題要點(diǎn)：其主要內(nèi)容仍為復(fù)化梯形公式，復(fù)化Simpson公式，復(fù)化Cotes

17、公式3個(gè)公式，利用前一步驟的計(jì)算數(shù)據(jù)進(jìn)行遞推計(jì)算，具體參見(jiàn)P159 公式8.1。注意：例如計(jì)算出T03后，就直接用Simpson公式計(jì)算出T12，然后用復(fù)化Cotes公式計(jì)算出T21、T30，若滿(mǎn)足要求則停止計(jì)算，不用事先花時(shí)間去計(jì)算無(wú)用的T04。（1）201e-x2dx ,精度要求=10-5解：由題，設(shè)f(x)=2e-x2按照Romberg積分法求解：在a,b上，由梯形公式計(jì)算有T00=b-a2fa+f(b)=12f0+f(1)=0.77174333U00=b-af(a+b2)=f(12)=0.87878258 T01=12T00+U00=0.82526296T10=4T01-T004-1=

18、0.84310283T10-T00=0.07135950> ，不滿(mǎn)足停止條件，需繼續(xù)計(jì)算；按公式U0，i-1=b-a2i-1j=12i-1fa+2j-1b-a2i、T0i=12T0，i-1+U0,i-1 和Tmk=4mTm-1,k+1-Tm-1,k4m-1,m=1,2,i,k=i-m 進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)Ti0-Ti-1，0<時(shí)停止計(jì)算，則有：U01=12f14+f(34)=0.85147260T02=12T01+U01=0.83836778T11=4T02-T014-1=0.84273605T20=42T11-T1042-1=0.84271160 T20-T10=0.00039123> ，不滿(mǎn)足停止條件，繼續(xù)計(jì)算：U02=14f18+f(38)+f(58)+f(78)=0.84487067T03=12T02+U02=0.8416192