小學(xué)奧數(shù)-幾何五大模型

1、任意四邊形、梯形與相似模型模型三蝴蝶模型（任意四邊形模型）任意四邊形中的比例關(guān)系（“蝴蝶定理”廣Si：S2$4：0或者818382s4AO:OCSS2：S4S3蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑。通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系?！纠?】（小數(shù)報競賽活動試題）如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCD被對角線ACBD分成四個部分，AOB1積為1平方千米，BOO積為2平方千米，4COD勺面積為3平方千米，公園由陸地面積是6.92平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米【分析】根據(jù)蝴

2、蝶定理求得SAaod3121.5平方千米，公園四邊形ABCD的面積是1231.57.5平方千米，所以人工湖的面積是7.56.920.58平方千米【鞏固】如圖，四邊形被兩條對角線分成4個三角形，其中三個三角形的面積已知，求：三角形BGC的面積；AG:GC【解析】根據(jù)蝴蝶定理，SVBGC123,那么SVBGC6;根據(jù)蝴蝶定理，AG:GC12:361:3.（）【例2】四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)0（如圖所示）。如果三角形ABD的面積等于三角形BCD的1面積的1,且A02,DO3,那么CO的長度是DO的長度的倍。3【解析】在本題中，四邊形ABCD為任意四邊形，對于這種"不良四邊形”

3、，無外乎兩種處理方法：利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；通過畫輔助線來改造不良四邊形?？吹筋}目中給出條件SVABkSVBCD1:3,這可以向模型一蝴蝶定理靠攏，于是得出一種解法。又觀察題目中給出的已DCLJ知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個中介來改造這個"不良四邊形”，于是可以作AH垂直BD于H,CG垂直BD于G,面積比轉(zhuǎn)化為高之比。再應(yīng)用結(jié)論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結(jié)果。請老師注意比較兩種解法，使學(xué)生體會到蝴蝶定理的優(yōu)勢，從而主觀上愿意掌握并使用蝴蝶定理解決問題。解法一：:AO:0CSABD:SBDC1:3,

4、OC236,OC:OD6:32:1.解法二：作AHBD于H,CGBD于G.eleSABDSBCD,31 AH-CG,31一sAOD一SDOC,31 AO-CO,3 OC236, OC:OD6:32:1.【例3】如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于O點(diǎn)，4CEF、AOEF>AODF>ABOE的面積依次是2、4、4和6。求：求OCF的面積；求4GCE的面積?！窘馕觥扛鶕?jù)題意可知，ABCD的面積為244所以O(shè)CF的面積為844;由于ABCO的面積為8,ABOE的面積為616,那么ABCO和CDO的面積都是1628,根據(jù)蝴蝶定理，EG:FGs11那幺sGCESCEF123COE:SCOF2

5、:42.36,所以4OCE的面積為1:2,所以SGCE:Sgcf862,EG:FG1:2,【例4】圖中的四邊形土地的總面積是面積分別是6公頃和7公頃。52公頃，兩條對角線把它分成了4個小三角形，其中2個小三角形的那么最大的一個三角形的面積是多少公頃【解析】在VABE,VCDE中有AEBCED,所以VABE,VCDE的面積比為（AEEB）:（CEDE）。同理有VADE,VBCE的面積比為（AEDE）:（BEEC）。所以有SVAbe說在所有凸四邊形中，連接頂點(diǎn)得到2條對角線，有圖形分成上、下、卜部分的面積之積等于左右部分的面積之積。即SMBE6=SVADEXSVCDE=SVADEXSVBCE,也就

6、是左、右4個部分，有：上、,所以有VABE與VADE的面積比為7:6,SVAbe=-3967顯然，最大的三角形的面積為21公頃，SVAde=63918公頃。6721公頃?！纠?】（2008年清華附中入學(xué)測試題）如圖相鄰兩個格點(diǎn)間的距離是1,則圖中陰影三角形的面積連接AD、CD、BC。則可根據(jù)格點(diǎn)面積公式,可以得到ABC的面積為：12,ACD的面積為:ABD的面積為：2所以BO:ODSABC:SACD2:3.54:7,所以SaboSABD4_111211如圖，每個小方格的邊長都是1,求三角形ABC的面積。因為BD:CE2:5,且BD/CE,所以DA:AC2:5,SABCSDBC107【例6】（2

7、007年人大附中考題）如圖，邊長為1的正方形的面積.ABCD中，BECFFD,求三角形AEG11)SwABCD-SwabCD212【解析】連接EF.1因為BE2EC,CFFD,所以Sdef(12因為SaedBCD，根據(jù)蝴蝶定理.GF112:12所以Sagd6SGDF6ssADF7-SwABCD4SwabCD,14所以SageSaedSagdSwabcd2SWABCD14Swabcd7【例7】例8例9即三角形AEG的面積是27如圖，長方形ABCD中,方形ABCD的面積.因為BE:EC2:3,DF因為SvAED2%方形ABCD,BE:ECDF:FC1:2,三角形DFG的面積為2平方厘米，求長:FC

8、1:2,所以11AG:GF-:2101萬厘米.因為Svafd-So形ABCD，6SvDEF111二二）S長方形ABCD二二S長方形ABCD-32105:1,所以Svagd5Svgdf10平方厘米，所以Svafd所以長方形ABCD的面積是72平方厘米.12平如圖，已知正方形ABCD的邊長為10厘米,形BDG的面積.設(shè)BD與CE的交點(diǎn)為O,連接BE、DF.E為AD中點(diǎn),F為CE中點(diǎn)，G為BF中點(diǎn)，求三角I11口VBED.VBCD)而Svbed所以EO:OCSvbed:Svbcd由于F為CE中點(diǎn)，所以EF由蝴蝶7E理可知SVBFD:SVBED1那ASvBGD-SvBFD2如圖，在ABC中，BON的面

9、積分別是1，,一EC,故EO:EF2FO:EO1:2,所以Swabcd16已知M、110106.25161SwABCD，4SvBFDSvBCDFO:EO1Svbed2（平方厘米）.1Smbcd，21Smbcd，8N分別在邊AC、BC上，BM與AN相交于O,若AOM、ABO和3、2、1,則MNC的面積是這道題給出的條件較少,根據(jù)蝴蝶定理得smon運(yùn)用共邊定理和蝴蝶定理來求解.AOMSBONSAOB設(shè)Smonx,根據(jù)共邊定理我們可以得SanmSMNCSABMSmbcx22.5.【例10】（2009年迎春杯初賽六年級）正六邊形AA2A3A44A6的面積是2009平方厘米，B1B2B3B4B5B6分別

10、是正六邊形各邊的中點(diǎn)；那么圖中陰影六邊形的面積是平方厘米.【解析】如圖，設(shè)B6A2與的交點(diǎn)為O,則圖中空白部分由6個與A20A3一樣大小的三角形組成，只要求出了A20A3的面積，就可以求出空白部分面積，進(jìn)而求出陰影部分面積.連接4A3、BeB、B6A3.設(shè)A1BiB6的面積為”1“，則B1A2B6面積為"1“，AA2B6面積為"2“，那么A6A3B6面積為AAzR的2倍，為"4"，梯形AiA2A3A6的面積為224212,A2B6A3的面積為”6“，B1A2A3的面積為2.根據(jù)蝴蝶定理，BOA3OSB1A2B6：SA3A2B61:6,故SAOA3，SbA

11、A,弓161371AAAbA面積的-，故為7K邊形7136所以陰影部分面積為14712:S弟形AA2A3A67：12：1：7,即A20A3的面積為梯形AA2A3A4A5A5面積的工，那么空白部分的面積為正六邊形面積的143200911148（平萬厘米）.7板塊二梯形模型的應(yīng)用梯形中比例關(guān)系（“梯形蝴蝶定理”）:2,2,a:b:ab:ab;2ab. S1:Sa2:b2 Si:S3:S2:S4S的對應(yīng)份數(shù)為梯形蝴蝶定理給我們提供了解決梯形面積與上、下底之間關(guān)系互相轉(zhuǎn)換的渠道，通過構(gòu)造模型，直接應(yīng)用結(jié)論，往往在題目中有事半功倍的效果.（具體的推理過程我們可以用將在第九講所要講的相似模型進(jìn)行說明）【例

12、11如圖，S22,S34,求梯形的面積.【解析】設(shè)G為a2份，G為b2份，根據(jù)梯形蝴蝶定理，S34b2,所以b2；又因為S22ab,所以2a1;那么Sa1,S4ab2,所以梯形面積SSiS2s3s412429,或者根22據(jù)梯形蝴蝶定理，Sab129.【鞏固】（2006年南京智力數(shù)學(xué)冬令營）如下圖，梯形ABCD的AB平行于CD,對角線AC,BD交于O,已知AOB與BOC的面積分別為25平方厘米與35平方厘米，那么梯形ABCD的面積是平方厘米.【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，Svaob：Svboca2:ab25:35,可得a:b5:7,再根據(jù)梯形蝴蝶定理，Svaob：SVDOCa2:b252:7225:

13、49,所以Svdoc49（平方厘米）.那么梯形ABCD的面積為25353549144（平方厘米）.【例12】梯形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O,已知梯形上底為2,且三角形ABO的面積等于三角2形BOC面積的-,求二角形AOD與二角形BOC的面積之比.3【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，Saob'b0cab:b22:3,可以求出a:b2:3,V/-oVoc再根據(jù)梯形蝴蝶定理，Svaod:Svboca2:b222:324:9.辛萬苦進(jìn)行構(gòu)造假設(shè),【例13（第十屆華杯賽三角形ABD的面積三角形CBD的面積通過利用已有幾何模型，我們輕松解決了這個問題，而沒有像以前一樣，為了某個條件的缺乏而千所以，

14、請同學(xué)們一定要牢記幾何模型的結(jié)論.）如下圖，四邊形ABCD中，對角線AC和BD交于O點(diǎn)，已知AO1,并且【解析】根據(jù)蝴蝶定理,三角形ABD的面積三角形CBD的面積3 ,那么OC的長是多少5AOAO3,所以-，又AO1,所以COCOCO5【例14】梯形的下底是上底的1.5倍,2二角形OBC的面積是9cm,問三角形AOD的面積是多少2:3,SAOD:SBOC2,222a:b2:34:9,【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，a:b1:1.5所以SAOD4cm2.【鞏固】如圖，梯形ABCD中，AOB、COD的面積分別為1.2和2.7,求梯形ABCD的面積.【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理,Svaob:Svacoda:b

15、4:9,所以a:b2:3,2SVAODSVCOB1.21.8，SVAOD：SVAOBab：ab：a3：2，S弟形ABCD1.21.81.82.77.5.【例15】如下圖，一個長方形被一些直線分成了若干個小塊，已知三角形ADG的面積是11,三角形BCH的面積是23,求四邊形EGFH的面積.【解析】如圖，連結(jié)EF,顯然四邊形ADE群口四邊形BCEFFTB是梯形，于是我們可以得到三角形EFG勺面積等于三角形ADG的面積；三角形BCH的面積等于三角形EFH的面積，所以四邊形EGFH的面積是112334.【鞏固】(人大附中入學(xué)測試題)如圖，長方形中，若三角形1的面積與三角形3的面積比為4比5,四邊形2的

16、面積為36,則三角形1的面積為.【解析】做輔助線如下：利用梯形模型，這樣發(fā)現(xiàn)四邊形2分成左右兩邊，其面積正好等于三角形1和三角形3,所以1的面積就是36工16,3的面積就是36-20.4 545【例16如圖，正方形ABCD面積為3平方厘米，M是AD邊上的中點(diǎn).求圖中陰影部分的面積.【解析】因為M是AD邊上的中點(diǎn)，所以AM:BC1:2,根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道SAAMG:SAABG:SAMCG:SABCG1:(12):(12)：21:2:2:4,設(shè)SAAGM1份，則SAMCD123份，所以正方形的面積為1224312份，晶影224份，所以“影：S正方形1:3,所以“影1平方厘米.【鞏固】在下圖的

17、正方形ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，AE與BD相交于F點(diǎn)，三角形BEF的面積為1平方厘米，那么正方形ABCD面積是平方厘米.【解析】連接DE,根據(jù)題意可知BE:AD1:2,根據(jù)蝴蝶定理得S梯形(12)29(平方厘米)，Saecd3(平方厘米)，那么Swabcd12(平方厘米).【例17如圖面積為12平方厘米的正方形ABCD中，E,F是DC邊上的三等分點(diǎn)，求陰影部分的面積.【解析】因為E,F是DC邊上的三等分點(diǎn)，所以EF:AB1:3,設(shè)SAoef1份，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道SaaoeSaofb3份,Saaob9份,SaadeSabcf(13)份，因此正方形的面積為44(13)24份，時影6,所

18、以S陰影：S正方形6:241:4,所以時影3平方厘米.【例18如圖，在長方形ABCD中，AB6厘米，AD2厘米，AEEFFB,求陰影部分的面積.【解析】方法一：如圖，連接DE,DE將陰影部分的面積分為兩個部分，其中三角形AED的面積為26322平方厘米.由于EF:DC1:3,根據(jù)梯形蝴蝶定理，SVDEO:SVEFO3:1,所以SVDEO-SVDEF，而SvDEFSvADE24平方厘米，所以SVDEO-215平方厘米，陰影部分的面積為21.53.5平方厘米.4方法二：如圖，連接DE,FC,由于EF:DC1:3,設(shè)SOEF1份，根據(jù)梯形蝴蝶定理，SAOED3份，S梯形efcd(13)216份，Sa

19、adeSabcf134份，因此1方形abcd416424份，務(wù)影437份，而七方形ABCD6212平方厘米，所以&O3.5平方厘米【例19】（2008年“奧數(shù)網(wǎng)杯”六年級試題）已知ABCD是平行四邊形，BC:CE3:2,三角形ODE的面積為6平方厘米.則陰影部分的面積是平方厘米.【解析】連接AC.由于ABCD是平行四邊形，BC:CE3:2,所以CE:AD2:3,根據(jù)梯形蝴蝶定理，Svcoe:Svaoc:Svdoe:Svaod22:23:23:324:6:6:9,所以8VA0c6（平方厘米），Svaod9（平方厘米），又SvabcSvacd6915（平方厘米），陰影部分面積為61521（

20、平方厘米）.【鞏固】右圖中ABCD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單位：平方厘米），陰影部分的面積是平方厘米.【分析】連接AE.由于AD與BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么8OCD8OAE.OCDOAE根據(jù)蝴蝶定理，8OCD8OAESoce8oad4936,故Socd'36,所以8OCD6（平方厘米）.【鞏固】（2008年三帆中學(xué)考題）右圖中ABCD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單位：平方厘米），陰影部分的面積是平方厘米.【解析】連接AE.由于AD與BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么8ocd8oae.根據(jù)蝴蝶定理，8OCD8OA

21、E8OCE8OAD2816,故8OCD16,所以8OCD4（平方厘米）.1 1另解：在平行四邊形ABED中，8ADE18yABED116812（平萬厘米），2 2所以8AOE8ADE8AOD1284（平方厘米），根據(jù)蝴蝶定理，陰影部分的面積為8244（平方厘米）.【例20如圖所示，BD、CF將長方形ABCD分成4塊，DEF的面積是5平方厘米，CED的面積是10平方厘米.問：四邊形ABEF的面積是多少平方厘米【分析】連接BF,根據(jù)梯形模型，可知三角形BEF的面積和三角形DEC的面積相等，即其面積也是10平方厘米，再根據(jù)蝴蝶定理，三角形BCE的面積為1010520（平方厘米），所以長方形的面積為2

22、010260（平方厘米）.四邊形ABEF的面積為605102025（平方厘米）.【鞏固】如圖所示，BD、CF將長方形ABCD分成4塊，DEF的面積是4平方厘米，CED的面積是6平方厘米.問：四邊形ABEF的面積是多少平方厘米【解析】（法1）連接BF,根據(jù)面積比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形BEF的面積和三角形DEC的面積相等，即其面積也是6平方厘米，再根據(jù)蝴蝶定理，三角形BCE的面積為6649（平方厘米），所以長方形的面積為96230（平方厘米）.四邊形ABEF的面積為3046911（平方厘米）.（法2）由題意可知，EF42,根據(jù)相似三角形性質(zhì)，空空2,所以三角形BCE的面積為：EC63EB

23、EC32一、一，一一一一，一、一，、一一一，一、一，一6-9（平萬厘米）.則三角形CBD面積為15平萬厘米，長萬形面積為15230（平萬厘米）.四3邊形ABEF的面積為3046911（平方厘米）.【鞏固】（98迎春杯初賽）如圖，ABCD長方形中，陰影部分是直角三角形且面積為54,0D的長是16,0B的長是9.那么四邊形OECD的面積是多少【解析】因為連接ED知道ABO和AEDO的面積相等即為54,又因為0D：0B=16：9,所以4AOD的面積為5491696,根據(jù)四邊形的對角線性質(zhì)知道：BEO的面積為：54549630.375,所以四邊形OECD的面積為：549630.375119.625（平

24、方厘米）.【例21】（2007年“迎春杯”高年級初賽）如圖，長方形ABCD被CE、DF分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形OFBC的面積為平方厘米.【解析】連接DE、CF.四邊形EDCF為梯形，所以SeodS/foc,又根據(jù)蝴蝶定理，SeodAFBSDFCSAFDSBFC,而SAFBSDFC（等積變換），所以可得FOCSEOFSCOD,所以SEODSFOCSEOFSCOD2816,所以SEOD4（平方厘米），Secd4812（平方厘米）.那么長方形ABCD的面積為12224平方厘米，四邊形OFBC的面積為245289（平方厘米）.【例22】（98迎春杯初賽）如

25、圖，長方形ABCD中，AOB是直角三角形且面積為54,OD的長是16,OB1-9AO54,所以AO12，2的長是9.那么四邊形OECD的面積是.【解析】解法一：連接DE,依題意SVAOB-BOAO211則Svaod-DOAO-1612962213又因為SvaobSvdoe5416OE,所以O(shè)E6一,241133信Svboe-BOEO9630,2248所以SOECDSVBDCSVBOES/ABDSVBOE35549630-119-88解法二：由于Svaod£aobOD：OB16:9,所以Svaod5496,而S/DOE9SVAOB54,根據(jù)蝴蝶7E理,SVBOESVAODSVAOBSV

26、DOE，所以S/BOE54549630-,8所以SOECDSvBDCSvboeS/abdSvboe35549630-119一88【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，可以得到SAFDSAFBSCDF99c3,27SBFC并且SaefSADFSAED31.8所以陰影AEC的面積是：Saec1.2,而SAFB:SBFCAF：FCSaef41.244.8.【例23如圖，ABC是等腰直角三角形,DEFG是正方形，線段AB與CD相交于K點(diǎn).已知正方形DEFG的面積48,AK:KB1:3,則BKD的面積是多少【解析】由于DEFG是正方形，所以DA與BC平行，那么四邊形ADBC是梯形.在梯形ADBC中，BDK和11AC

27、K的面積是相等的.而AK:KB1:3,所以ACK的面積是ABC面積的，那么BDK134的面積也是ABC面積的-.4由于ABC是等腰直角三角形，如果過A作BC的垂線，M為垂足，那么M是BC的中點(diǎn)，而且AMDE,可見ABM和ACM的面積都等于正方形DEFG面積的一半，所以ABC的面積與正方形DEFG的面積相等，為48.那么BDK的面積為48112.4【例24如圖所示，ABCD是梯形，ADE面積是1.8,ABF的面積是9,BCF的面積是27.那么陰影AEC面積是多少【解析】【例26【解析】【例27【解析】比為12:13:13:321:3:3:9，所以每個梯形中的空白三角形占該梯形面積的_916陰影部

28、分的面積占該梯形面積的7-,所以陰影部分的總面積是四個梯形面積之和的16L,那么陰影部分的面積為1616(6【例25如圖，正六邊形面積為6,那么陰影部分面積為多少連接陰影圖形的長對角線，此時六邊形被平分為兩半，根據(jù)六邊形的特殊性質(zhì)，和梯形蝴蝶定理把六邊形分為十八份，陰影部分占了其中八份，所以陰影部分的面積-86183如圖，已知D是BC中點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn).三角形ABC由這6部分組成，其中比多6平方厘米.那么三角形ABC的面積是多少平方厘米因為E是DC中點(diǎn)，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，有AD2FE且平行于AD,則四邊形ADEF為梯形.在梯形22ADEF中有=，X=*，：二人口：FE=4,又已知

29、-=6,所以=6(41)2,二48,所以X=*=16,而=,所以=4,梯形ADEF的面積為、四塊圖形的面積和，為844218.有VCEF與VADC的面積比為CE平方與CD平方的比，444即為1:4.所以VADC面積為梯形ADEF面積的=4,即為18-24,因為D是BC中點(diǎn)，所4-133以VABD與VADC的面積相等，而VABC的面積為VABD、VADC的面積和，即為242448平方厘米.三角形ABC的面積為48平方厘米.如圖，在一個邊長為6的正方形中，放入一個邊長為2的正方形，保持與原正方形的邊平行,現(xiàn)在分別連接大正方形的一個頂點(diǎn)與小正方形的兩個頂點(diǎn)，形成了圖中的陰影圖形，那么陰影部分的面積為

30、.本題中小正方形的位置不確定，所以可以通過取特殊值的方法來快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定理來解決一般情況.解法一：取特殊值，使得兩個正方形的中心相重合，如右圖所示，圖中四個空白三角形的高均為1.5,因此空白處的總面積為61.5242222,陰影部分的面積為662214.解法二：連接兩個正方形的對應(yīng)頂點(diǎn)，可以得到四個梯形，這四個梯形的上底都為2,下底都為6,上底、下底之比為2:61:3,根據(jù)梯形蝴蝶定理，這四個梯形每個梯形中的四個小三角形的面積之【例28【解析】22222BD3318.因為EFBD818SAGEF:S/xGBDSADGF:SnBGE22EF2:BD2:EF144122,所以EFB

31、D12.由梯形蝴蝶定理，得BD:EFBD8:18:12:124:9:6:6,如圖，在正方形ABCD中，E、F分別在BC與CD上，且CE2BE,CF2DF,連接BF、DE,相交于點(diǎn)G,過G作MN、PQ得到兩個正方形MGQA和PCNG,設(shè)正方形MGQA的面積為S1,正方形PCNG的面積為S2,則S：$.2,BEDF1,所以，EF222228,連接BD、EF.設(shè)正方形ABCD邊長為3,則CECF所以，SaBGE所以6弟形BDFE5,所以，SABGE65322525SW形BDFESW形BDFE,口為$BCD3496625SABCDSACEF932,SACEF2222,2ND由于BGE底邊BE上的高即為正方形PCNG的邊長，所以CN所以AM:CNDN:CN3:2,則6:$AM2:CN29:4.【例29如下圖，在梯形ABCD中，AB與CD平行，且CD2AB,點(diǎn)E、F分別是AD和B