2019學年高一數(shù)學人教B版必修4教案：2.2.1平面向量基本定理

1、學生學情分析：1.平面向量基本定理的學習是在學生系統(tǒng)學習了向量的概念及線性運算的基礎上進行 的， 是對向量加法和數(shù)乘運算的進一步應用.此前，學生已在物理中初步掌握了力、速度、位 移等的分解，為理解平面向量基本定理奠定了一定基礎.2學生對向量加、減法及數(shù)乘等運算的意義與作用認識不夠，容易將向量的運算與數(shù)的 運算混淆。3對于向量的加法、數(shù)乘等運算停留在幾何直觀的理解上，缺乏從代數(shù)運算的角度理解 向量運算特征的感受，容易將平面向量基本定理的作用僅僅理解為形式上的變換。教材分析：1.教材中給出了一個實際例子（火箭升空的某一時刻速度的分解），已經(jīng)讓學生感受到向 量分解的實際背景，但這個背景對于學生來說有

2、些陳舊，且圖片有些偏離實際（火箭與地面形 成了45度的夾角，與實際上火箭發(fā)射方向一般開始時垂直于地面不符）.所以需要設計一個更 具時代氣息的問題，通過類比來激發(fā)學生學習新知的興趣和欲望.2本節(jié)課主要內(nèi)容是平面向量基本定理及其應用,學生在前面已經(jīng)掌握了向量的基本概 念、向量的加減運算法、實數(shù)與向量的積、向量共線充要條件,這些都是學習本節(jié)內(nèi)容的基礎 知識,本節(jié)課內(nèi)容是教材第5章中最重要的內(nèi)容之一.向量具有數(shù)和形的兩種特征,是數(shù)學中解 決幾何問題的工具,可以使復雜問題簡單化、直觀化,使代數(shù)問題幾何化、幾何問題代數(shù)化,解 決起來更加簡捷;而平面向量基本定理是把幾何問題向量化的理論基礎,這一定理說明了同

3、一平面內(nèi)任一向量都可表示為兩個不共線向量的線性組合.定理本身蘊涵著嚴謹、條理的數(shù)學思維方式,通過合理引導,可以培養(yǎng)學生良好的個性心理品質和較高的數(shù)學素養(yǎng).3.本節(jié)課的重點是平面向量基本定理,也是本節(jié)課的難點.突破難點的關鍵是在充分理解 向量加法的平行四邊形法則和向量共線的充要條件的基礎上,多方位、多角度設計相關訓練題從而加深對該定理的理解.4.本課之后要研究向量的坐標表示及運算.本課要從向量的線性運算中得出平面向量基 本定理，為下一課定義向量的坐標提供理論基礎，從而徹底實現(xiàn)“向量運算的代數(shù)化”.所以 本課具有承前啟后的作用.課標分析 向量不僅是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，還是解決很多實際問題的重要工

4、具。從問題中抽象 出向量模型，再通過向量的代數(shù)運算獲得問題的解決方案或結果，是利用向量解決問題的基本特征。（平面向量的概念、向量的運算、平面向量基本定理、平面向量的坐標表示是平面向量的主要內(nèi)容。）平面向量基本定理是向量進行坐標表示，進而將向量的運算（向量的加、減 法，向量的數(shù)乘、向量的數(shù)量積等）轉化為坐標的數(shù)量運算的重要基礎，同時，它還是用基 本要素（基底、元）表達和研究事物（向量空間、具有某種性質的對象的集合）的典型范例， 對于人們掌握認識事物的方法，提升研究事物的水平，有著難以替代的重要作用。把向量放 在三角函數(shù)和三角恒等變換之間，一方面是學習向量需要三角函數(shù)做準備，另一方面是為了 利用向

5、量的數(shù)量積推導兩角差的余弦公式。在具體的課程中要做到1.理解平面向量的基底的意義與作用，利用平面向量的幾何表示，準確地將平面上的向 量用基底表示出來。2通過不同向量用同一基底表示的探究過程，得出并證明平面向量基本定理。3通過平面向量基本定理，認識平面向量的“二維”性，并由此進一步體會“某一方向 上的向量的一維性”，培養(yǎng)“維數(shù)”的基本觀念。4.平面向量基本定理建立了平面上的向量集合與二元有序數(shù)組的集合之間的對應關系（這種對應關系建立了非數(shù)對象與數(shù)（或數(shù)組）之間的一種映射），通過這種對應關系，我們可以將向量的運算轉化為數(shù)的運算，由此達到簡化向量的運算，這是數(shù)學的一種基本方法。5體會用基本要素（元）

6、表示事物，或將事物分解成基本要素（元），由此達到將對事物的研究轉化為對基本要素（元）的研究，通過對基本要素的內(nèi)在聯(lián)系的研究達到理解并把 握事物的思想方法（例如全等）。平面向量基本定理導學案編寫人： 劉興波 審核人： 張建良班級： 小組：姓名：小組評價：教師評價：學習目標：掌握平面向量的基本定理，能用兩個不共線向量表示一個向量； 或一個向量分解為兩個向量重難點：平面向量的基本定理及應用。教學過程自主預習問題1.平面內(nèi)向量共線的條件及向量運算的三角形、平行四邊形法則是怎樣的？教學設計問題2.現(xiàn)實生活與學習中相關向量（矢量）合成的事例有哪些？問題3:平面向量基本定理與前面所學的平行向量基本定理，在內(nèi)

7、容和表述形式上有什么區(qū)別和聯(lián)系？（預習課本P96-P98）完成教材，理解平面向量基本定理及其相關應用。預習疑惑：設計 本環(huán)節(jié)意 在鍛煉生自主學習、 合作探究 的能力。通 過自主預習，發(fā)現(xiàn)學 習中的困 惑，使聽講 更有針對性，學習效 果會更好。課內(nèi)探究探究一平面向量基本定理及其證明思考1.一組平面向量的基底有多少對？2.若基底選取不冋，則表示冋一向量的實數(shù)是否相冋？3.如何運用該定理解決具體問題。補充深化I例1平行四邊形ABCD的兩條對角線交于點示MA,MB,MC,MD。思考：1.解題要點：2.要注意的問題： 變式 在厶ABC中,=a,=b，點G是厶ABC的重心，試用a,b表示 .例2已知代B是

8、直線I上任意兩點，0是I外一點，求證：對于直線I上任意一點P，存有M，且AB = a, AD = b,試用基底ab，表唯一的實數(shù)t,使OP關于基底OA,OB的分解式為0P = (1 - t)OA tOB。并且滿足式的 點P一定在l上。思考：1.證明要點：2.要記住哪些結論，在具體問題中應當如何應用?課堂小結當堂檢測1.設8（2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量，不能作為基底的是A.e +e2和e-02B.3-2e2和4e2-6eiC.+2q和e2+2eiD.e2和e + e22.設el、e2是同一平面內(nèi)的兩個向量，則有（）A.el、e2一定平行B.e1、e2的模相等C.同一平面內(nèi)的任一

9、向量a都有a =入e1+卩e2（入、卩R）D.若el、e2不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量a都有a =入e1+ue2（入、uR）3.已知入10,入20,el、e2是一組基底，且a =入1e1+入2e2，則a與el_,a與e2_ （填共線或不共線）.4已知如圖所示，在ABC中，點D為BC的中點，E,F為BC三等分點，若AB=aAC = b，用a,b表示AD,AE,AF。學生總結效果分析：1.按照新課程的理念，從以學生發(fā)展為本出發(fā)，在教學中應對教材進行二次開發(fā)。對教 材中的內(nèi)容領會和把握的同時，對內(nèi)容進行創(chuàng)造性的，個性化的運用。以生成豐富多樣的教 學內(nèi)容。將課程，教材，教學內(nèi)容，典型例題等從不同的層

10、面貫通聯(lián)系起來，尋求最佳教學 效果。2.從實際授課的情況看，多數(shù)學生對知識的理解基本到位，但在運用的熟練水準上還有 所欠缺，對一些細節(jié)問題，如向量的表示中箭頭的問題，向量符號的問題等等還需增強，解 題的規(guī)范性需要進一步提升。3.在小組合作環(huán)節(jié)，個別學生投入水準不夠，過分依賴小組內(nèi)的其它成員，自己不主動 思考，回答問題不夠積極，學習動力不足，導致整體學習氛圍不濃。該部分同學對應的評測 練習出現(xiàn)問題較多。課后反思：1.本節(jié)課一開始，通過火箭助推器分離，結合物理學中力和位移的分解提出問題，試圖 快速集中學生的注意力，引起學生的有效思考.課堂結尾可以幫助學生理清脈絡，抓住重點， 鞏固知識，激發(fā)探求新知的興趣.小結通過三個問題，引導學生反思回顧本節(jié)課的內(nèi)容平 面向量基本定理，感受知識間的關系，體會平面內(nèi)一個向量和兩個不共線向量間的相互轉化.2.分層次教學是為了滿足不同學生的需要，本課開始的問題情境，研究速度可以分 解成豎直向上和水平向前的兩個分速度，類似的，平面內(nèi)任一向量是否可以用兩個不共線的 向量來表示呢?這一問題可以把不同層次的學生引人課堂.讓學生作圖是一種學生自主嘗試.在例1前的一個小問題觀察下圖的平行四邊形，試從中找出一組基底，使得例1的求解變得輕而易舉.“建構知識”部分，在學生得到了平面內(nèi)任一向量都可以用兩個不共線的向量 來表示