(整理)逐步回歸分析計算法

1、精品文檔前面我們介紹了通過回歸的基本思想是將變量逐一引入回歸方程，先建立與 y y 相關(guān)最密切的一元線性回歸方程，然后再找出第二個變量，建立二元線性回歸方程，。在每一步中都要對引入變量的顯著性作檢驗，僅當(dāng)其顯著時才引入，而每引入一個新變量后，對前面已引進的變量又要逐一檢驗，一旦發(fā)現(xiàn)某變量變得不顯著了，就要將它剔除。這些步驟反復(fù)進行，直到引入的變量都是顯著的而沒有引入的變量都是不顯著的時，就結(jié)束挑選變量的工作，利用所選變量建立多元線性回歸方程。為實現(xiàn)上述思想，我們必須在解方程組的同時，求出其系數(shù)矩陣的逆矩陣。為節(jié)約內(nèi)存，計算過程中在消去 x xk時用了如下變換公式求解求k逆緊湊變換。一、求解求逆

2、緊湊變換求解求逆緊湊變換記作 L Lk，其基本變換關(guān)系式為：k依次作 L2,，L“變換后，所得矩陣的前 m-1m-1 列，便是系數(shù)矩12m-1陣的逆矩陣，最后一列便是(2-3-27)(2-3-27)的解，即C1151C22HLYn%?IIIIIIfnt-Ll(2-3-31)當(dāng)對(2-3-27)(2-3-27)的增廣矩陣精品文檔CM-UCM-1,2求解求逆緊湊變換具有以下性質(zhì)：(1)(1)若對舅作了 L Lki，L Lk2,L LkL變換，則得如下子方程組Y上1甩色股十尸俎忠如2+十了幀嘰=yklm彳尸盟和錶 1 1 十F陰臨鳥朋十十y也少&=丫呱(2332)了頃 0 儀+丫跟縱 w+丫

3、a加=廠伽的解及相應(yīng)的系數(shù)矩陣的逆矩陣，其中 k ki,k,k2,k,kl互不相同，若記紀(jì)L LkiLk2Lki4b，則y-1尸佻2曲J弘葩rSfciY盤心囁:(2-3-33)F翻畑J尸甌(2)L(2)L.L總二 L L.L丘，即求解求逆緊湊變換結(jié)果與變換順序無關(guān)。|jJ|LkLk左二喪(4)(4)若冷=葉，口=1,2,m-1,記劉=砂叫1匚5 5 砂則克打中的元素具有以下性質(zhì):式中上行為對豆作了變換Li，Lj或兩個變換均未作過；下行為對總精品文檔作過變換L和 L.之一。ij二、逐步回歸的計算過程逐步回歸計算過程就是反復(fù)對增廣矩陣豆作 L Lk變換，并利用變換性質(zhì)將選變量與作檢驗等步驟結(jié)合起來

4、。為了檢驗方便，對左再增加一行，使其變成對稱方陣，并記作 R R(o), ,即1 1選第一個變量選第一個變量就是從 m-1m-1 個一兀線性回歸方程氏二即 Z(i=12,m-1)(2-3-35)中找一個回歸平方和最大的方程。這里為了符號明確起見，以卅記作回歸系數(shù)，上標(biāo)(1)(1)表示第一步計算。由變換性質(zhì) 1 1 可知，對 R R(0作了 L L.變換后，有i(2-3-36)(2-3-37)因此 Z Z.的偏回歸平方和為i51比1712Y-1仏1IIIIF-1,1111y盤-n,爲(wèi)1T7ffljw-L(2-3-34)選變量具體步驟如下：Yu精品文檔精品文檔由第二章偏回歸平方和的意義可知， 此一

5、元線性回歸方程對應(yīng)的剩余平方和為(2-3-39)只要找出齊叫 i=1,2,i=1,2, ,m-1m-1 的最大值即可。則只需對VK1(1)計算Fki，對給定的 a a,當(dāng)Fki(1) Fa(1，n n-2)時，引入變量Zk1。引入第一個變量的步驟可總結(jié)如下R(1)=Lk1R(0)=C(1b1) 對 i=1,2,.,m-1i=1,2,.,m-1，計算由于 F F 是叭的單調(diào)遞增函數(shù)，故要找耳比 i=1,2,i=1,2, ,m-1m-1 的最大值,從而對 Z ZI的系數(shù)作顯著性檢驗的 F F 比是令2 2)精品文檔2 2選第二個變量這一步相當(dāng)于從 m-2m-2 個方程i=i2，m-1,iMj(2-

6、3-41)中去選一個方程出來，使加入的 Z Z.具有最大的偏回歸平方和。由變i換性質(zhì) 1 1 可知，這時需對 R R(0作 Lki變換，故不論選那個方程，均需對 R(0)R(0)作 Lki變換，因而引入 Z Zki后就已作好這一變換。與選第一個變量相似，這一步的計算可如下進行：(1(1)對 i=1,2,i=1,2, ,m-1,2m-1,2 比計算L Lk2RdRd)；如果 FXFagn-3)FXFagn-3)，則選變量工作結(jié)束，這時只能建立元線性回歸方程。3 3.當(dāng)引入第二個變量 Z Zk2后,需對原已引入的變量 Z Zki的顯著性重新作k2k1檢驗。由于已對 R R(0作了變換 L Lk1，

7、L Lk2,故從 R R(2可直接寫出二元線性回歸方2)令3)計算(4(4)當(dāng)Fi(2) Fa(1，n n-3)，引進變量Zk2，并對R(1作變換Lk2，且記R(2)= =精品文檔程：精品文檔2誰=盤吃咼+止:憶也=+廠空比？(2-3-44)此時 Z Zk1的偏回歸平方和為瞥)=同少(2-3-45)此二元線性回歸方程的剩余平方和為因而對 Z Zki作檢驗的 F F 比為耳嚴(yán)=務(wù)仗一可(2-3-47)了曲酬若 F F2(2)F(1,m-3)F(1,m-3),則保留，可進一步考慮選入新變量;若F2(2)VF(1,(1,n-3)n-3)則應(yīng)剔除 Z Zki,即只需要建立含 Z Zk2的回歸方程。根據(jù)

8、變換性質(zhì) 2 2 和 3 3 可k1k2知，為此只要對 R R(2作 Lki變換即可。綜上所述，這一步的步驟是：若 F2(2)F(1,n-3)，貝烤慮引入第三個變量；若 F2(2)VF(1,n-3)，貝V對 R(2作變換22k14 4.一般地，假設(shè)經(jīng)過l步變換后引人了變量 Z ZkiZ Zk2ZZkl，緊接著又引入了Z Zkl+1，其中 k k1k k2kki+i互不相同，而 R R(o)經(jīng)過 L Lki，L Lki，L Lk/+1后變成3)(2)計算呼)=務(wù)仗-可精品文檔接下去我們需對原已引入的變量 z zki,z zk2，z zkl重新檢驗，看有無需剔除的，步驟如下：其他變量要剔除；若片嚴(yán)

9、兔（1,7-21,7-2），貝振下去考慮能否引入新變量。引入新變量步驟如下：工見局，虬 1（2-3-50）(2)（3）計算 F 嚴(yán)）=曲；吋認(rèn)-_2）（2-3-51）（4）若F嚴(yán)）瞪（1 1 用7-3），則對 R R（l+1l+1作變換Lk，再考慮舊變量是否要剔除；若用7-刁則結(jié)束選變量的工作。如果選上 Z Zki，Z Zk2，Z Zkl變量后，沒有變量可剔除，也沒有變量(1)（i+i）滬1,2，.(2-3-48)(1)(2)(4)呼咱；若月尸叫兀（1 1 衛(wèi)- -；-2-2），則對 R R（l+1l+1作變換 L Lk k，重新考慮還有無令即精品文檔可引入，且 R R(o)經(jīng)過變換 L Lk

10、i,L Lk2，L Lkl后變成 R(l)=R(l)=(尸) )，貝【J此時可求出 y y 關(guān)于 x xki,x xk2，x xk|的回歸方程。按(2-3-24(2-3-24) )式：從而得回歸方程=o 十給心1 1十十如1%1%此方程對應(yīng)的忌=此彳務(wù)=鵝(2-3-53)復(fù)相關(guān)系數(shù):R=J】-心(2-3-54)三、舉例例2-3-2-3-1 1表是某種水泥凝固時放出熱量( (卡/ /克) )與水泥四種成分: :3Ca3CaO OAIAI2O O3(X(X) )、3CaO3CaOSiOSiO2(x(x2) )、4CaOAl4CaOAl2O O3FeOFeO3(x(x3) )、2CaO2CaOSiO

11、SiO2(x(x4) )含量(%)(%)測定結(jié)果，現(xiàn)在我們用逐步回歸法建立其關(guān)系式。表 2-3-1 某種水泥凝固時放出熱量(卡/克)與四種成分關(guān)系精品文檔式計算偏差平方和的算術(shù)根 q(i=1,2,3,4,5)q(i=1,2,3,4,5),結(jié)果列于下表:由(2-3-26)(2-3-26)式計算出相關(guān)系數(shù)矩陣：R R(o)= =10.2286-0.8241-0.24540.73070.22861-0.1392-0.97300.S163-0.8241-0.139210.0295-0.5347-0.2454-0.97300.02951-0.82130.73070.S163-0.5347-0.S2131

12、下面進行選變量與作檢驗：第一步：上 0 0(這里 l l 表示開始時計算方程中所含變量的個數(shù))首先用( (2-3-38)2-3-38)式計算四個變量的偏回歸平方和爐)，i=1,2,3,4i=1,2,3,4得：=0.53992=0.66634=0.28590=0.28590叩=0.67453精品文檔即殲盛何叫=0.仍為對其作 F F 檢驗。由(2-3-40)(2-3-40)式2)=22.797FOIO(1,11)=3.231.0641-0.0109-0.86930.26120.56310.01090.0532-0.11940.97560.02290.8693-0.H940.2S910.1838-

13、0.05050.2612-0.9756-0.1E3E1.0641-0.6331-0.5613-0.56130.0229-0.0505-0.05050.68310.0275第三步：l=2=2故可引入 X X4，對 R R(0作 L L4變換,由(2-3-30)(2-3-30)式，得 R R(1)= =0.9389-0.0102-0.81690.5291-0.01020.0534-0.1105-0.11050.0172-0.8169-0.11050.9991-0.51040.24540.9730-0.0295O.E2130.529110.01720.0172-0.51040.3254第二步：1=1

14、=1i=1,2,3 計算眄，由(2-3-42)式得fC2)=0.2979=0.0055,磚)0.2607即=max(2)=0.2979對其作 F F 檢驗，由(2-3-43)(2-3-43)由(2-3-30)(2-3-30)式得R R(2)= =故可引入 X X1，對 R R作L1變換,精品文檔由于引入新變量，需先對 x x4重新作檢驗，由(2-3-45(2-3-45) )式得故保留 x x4，繼續(xù)引入新變量對 i=2,3i=2,3 計算葉)，由(2-3-50)(2-3-50)式得冬=0.00936=0.00852叩=mamax x憶叫Q=2,Q=2,R R對其作F F檢驗， 由(2-3-51

15、)(2-3-51)式1.06630.2044-0.89370.46060.56770.204418.78018.7803 3-2.242318.32260.43040.89372.24230.02132.37140.00090.460&18.3226-2.371418.9401-0.2632-0.5677-0.43040.00090.26320.0177第四步：1=31=3由于引入了 x x2，故需對 x xi，x x4重作檢驗，首先由(2-3-48)(2-3-48)式對 i=1,i=1,4 4計算卩嚴(yán)=0.4385(-0.6S31)31.0641對其作 F F 檢驗， 由(2-3-4

16、7(2-3-47) )式得故引入 x x2，對 R R(2作 L L2變換:精品文檔咱二普棉叫(j=1,4)故對丁嚴(yán)作 F 檢驗，由式(2-3-49)得皆曙()=巴竺注記？0.0177F3(3)0.10(1.10)=3.28故無變量剔除。注意，在這一步的剔除檢驗中所用I實際為1-1-1。羅)=Q6S5=0.444721.0551其中叭卩)最小，故對它作 F F 檢驗。由(2-3-49)(2-3-49)式0-5741=0.312371.0551精品文檔再考慮能否引入新變量，計算羅）（i=3,4i=3,4）由（2-3-502-3-50）得=（OOW=0.00361030.3133C2）=（-oW=00365940