2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)新人教A版必修4教案：3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)

1、3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)教案一、教學(xué)分析1. 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式是在研究了兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究 具有“兩角和差”關(guān)系的正弦、余弦、正切公式的 . 在這些公式的推導(dǎo)中，教科書都把對照、 比較有關(guān)的三角函數(shù)式，認(rèn)清其區(qū)別，尋找其聯(lián)系和聯(lián)系的途徑作為思維的起點(diǎn)，如比較COS(a - 3)與 COS(a + 3),它們都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式從運(yùn)算或換元的角度看都有內(nèi)在聯(lián)系，即a+3=a-(-3)的關(guān)系，從而由公式 C(a-3)推得公式 C(a+3)，又如 比較 Sin(a-3)與 COS(a-3)，它們包含的角相同但函數(shù)名稱不同

2、，這就要求進(jìn)行函數(shù)名的 互化，利用誘導(dǎo)公式(5)( 6)即可推得公式 S(a-3八Sa+3)等2. 通過對“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”的推導(dǎo)，揭示了兩角和、差的三角函數(shù)與這兩角的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，還使學(xué)生加深了數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)、證明方法的理解 因此本節(jié)內(nèi)容也是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力和邏輯思維能力的重要內(nèi)容，對培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力， 發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力都有著十分重要的意義 3. 本節(jié)的幾個(gè)公式是相互聯(lián)系的，其推導(dǎo)過程也充分說明了它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生深刻領(lǐng)會它們的這種聯(lián)系，從而加深對公式的理解和記憶 本節(jié)幾個(gè)例子主要目的是為了訓(xùn)練學(xué) 生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習(xí)慣

3、，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有意識地對學(xué)生的思維習(xí)慣進(jìn) 行引導(dǎo)，例如在面對問題時(shí)，要注意先認(rèn)真分析條件，明確要求，再思考應(yīng)該聯(lián)系什么公式， 使用公式時(shí)要具備什么條件等 .另外，還要重視思維過程的表述，不能只看最后結(jié)果而不顧過 程表述的正確性、簡捷性等，這些都是培養(yǎng)學(xué)生三角恒等變換能力所不能忽視的.二、三維目標(biāo)1知識與技能：在學(xué)習(xí)兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上，通過讓學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)兩角和與差的正弦、余弦、 正切公式 ,了解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，并通過強(qiáng)化題目的訓(xùn)練，加深對公式的理解，培養(yǎng)學(xué)生 的運(yùn)算能力及邏輯推理能力，從而提高解決問題的能力 .2過程與方法：通過兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運(yùn)用，會進(jìn)行簡單的

4、求值、化簡、恒等證明，使 學(xué)生深刻體會聯(lián)系變化的觀點(diǎn)，自覺地利用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)來分析問題，提高學(xué)生分析問題 解決問題的能力 .3情感態(tài)度與價(jià)值觀： 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握尋找數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，提高學(xué)生的觀察分析能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng) 用意識，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì) .三、重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)： 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導(dǎo) .教學(xué)難點(diǎn)： 靈活運(yùn)用所學(xué)公式進(jìn)行求值、化簡、證明 .四、課時(shí)安排2 課時(shí)五、教學(xué)設(shè)想第 1 課時(shí)(一)導(dǎo)入新課思路 1. ( 舊知導(dǎo)入 ) 教師先讓學(xué)生回顧上節(jié)課所推導(dǎo)的兩角差的余弦公式，并把公式默寫 在黑板上或打出幻燈片 ,注意有意識地讓學(xué)生寫整齊 . 然后教師引導(dǎo)學(xué)生

5、觀察 COS(a-3)與 COS(a+3)、 Sin(a-3)的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行由舊知推出新知的轉(zhuǎn)化過程，從而推導(dǎo)出C(a+3)、Sta-3)、Sa+3)本節(jié)課我們共同研究公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用思路 2.(問題導(dǎo)入)教師出示問題，先讓學(xué)生計(jì)算以下幾個(gè)題目，既可以復(fù)習(xí)回顧上節(jié)所學(xué)公式，又為本節(jié)新課作準(zhǔn)備.若 sina二三，a(0,二),cos3(0,二)，求52102cos(a-3),cos(a+3)的值.學(xué)生利用公式C(a一3)很容易求得 COS (a-3),但是如果求 COS (a+3)的值就得想法轉(zhuǎn)化為公式C(a-3)的形式來求，此時(shí)思路受阻，從而引出新課題，并由此展開聯(lián)想探究其他公式.(二)推

6、進(jìn)新課、新知探究、提出問題1還記得兩角差的余弦公式嗎？請一位同學(xué)到黑板上默寫出來2在公式 Ca-3)中，角3是任意角，請學(xué)生思考角a-3中3換成角-3是否可以？此時(shí)觀察角a+3與a-(-3)之間的聯(lián)系，如何利用公式Ga-3)來推導(dǎo) COs(a+3)=?3分析觀察 Ca+3)的結(jié)構(gòu)有何特征？4在公式 Ca-3八Ga+3)的基礎(chǔ)上能否推導(dǎo)sin(a+3)=?si n(a-3)=?5公式 S(a-3八S(a+3)的結(jié)構(gòu)特征如何？6對比分析公式Ca-3)、Ca+3)、Sa-3)、S(a+3)，能否推導(dǎo)出 tan(a-3) = ?tan(a+3 )=？7分析觀察公式 T(a-3)、T(a+3)的結(jié)構(gòu)特征

7、如何？8思考如何靈活運(yùn)用公式解題？活動(dòng)：對問題，學(xué)生默寫完后，教師打出課件，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察兩角差的余弦公式， 點(diǎn)撥學(xué)生思考公式中的a,3既然可以是任意角，是怎樣任意的？你會有些什么樣的奇妙想法 呢？鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，引導(dǎo)學(xué)生比較cos(a-3)與 cos(a+3)中角的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生有的會發(fā)現(xiàn)a-3中的角3可以變?yōu)榻?3，所以a-(-3)=a+3也有的會根據(jù)加減運(yùn)算關(guān)系直 接把和角a+3化成差角a-(-3)的形式.這時(shí)教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)移到公式Ga-3)上來,這樣就很自然地得到cos(a+3)=cosa-(-3)=cosacos(-3)+sinasin(-3)=cosacos3-sinasi

8、n3.所以有如下公式：cos(a+3)=cosaCOS3-sinasin3我們稱以上等式為兩角和的余弦公式，記作Ca+3).對問題，教師引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察公式Ca+3)的結(jié)構(gòu)特征，可知“兩角和的余弦，等于這兩角的余弦積減去這兩角的正弦積”，同時(shí)讓學(xué)生對比公式Ca-3)進(jìn)行記憶，并填空：cos75 =cos(_)=_=_ .對問題，上面學(xué)生推得了兩角和與差的余弦公式，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，怎樣才能得到 兩角和與差的正弦公式呢？我們利用什么公式來實(shí)現(xiàn)正、余弦的互化呢？學(xué)生可能有的想到 利用誘導(dǎo)公式來化余弦為正弦(也有的想到利用同角的平方和關(guān)系式sin2a+cos2a=1 來互化， 此法讓學(xué)生 課下進(jìn)

9、行),因此有JIsin(x+3)=cos-(a+3)】=cos(-a)-3】22nJI=cos(-a)cos3+si n(-a)sin322=sinacos3+cosasin3.在上述公式中，B用-3代之，則sin(a - 3)=si na+(-3)=si nacos(-3)+cosasi n(-3)=sinacos3-cosasin3.因此我們得到兩角和與差的正弦公式，分別簡記為S(a+3八Sa-3).sin(a+3)=sinacos3+cosasin3，sin(a-3)=sinacos3-cosasin3對問題，教師恰時(shí)恰點(diǎn)地引導(dǎo)學(xué)生觀察公式的結(jié)構(gòu)特征并結(jié)合推導(dǎo)過程進(jìn)行記憶，同時(shí)進(jìn)一步體會

10、本節(jié)公式的探究過程及公式變化特點(diǎn)，體驗(yàn)三角公式的這種簡潔美、對稱美為強(qiáng)化記憶，教師可讓學(xué)生填空，如 sin(0+ $ )=_ ,2兀5兀2兀5nsin cos + cos sin =_.7777對問題，教師引導(dǎo)學(xué)生思考，在我們推出了公式Ga -3)、Ca+3)、Sa+3八 S(a-3)后，自然想到兩角和與差的正切公式， 怎么樣來推導(dǎo)出 tan(a-3)=?,tan(a+3)=?呢？學(xué)生很容易想 到利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，化弦為切得到在學(xué)生探究推導(dǎo)時(shí)很可能想不到討論，這時(shí)教師不要直接提醒，讓學(xué)生自己悟出來.+3)=sin(a)二sincoicos sincos(a +P)cosacosPsi n

11、asi nP由此推得兩角和、差的正切公式，簡記為T(a-3八T(a+3)tan(a+3)=-1 - tana tan Ptan(a-3)=喻：-喻1 1 + tana tan P對問題，讓學(xué)生自己聯(lián)想思考，兩角和與差的正切公式中導(dǎo)學(xué)生分析公式結(jié)構(gòu)特征，加深公式記憶對問題，教師與學(xué)生一起歸類總結(jié)，我們把前面六個(gè)公式分類比較可得Ca+3八 S(a+3)、T(a+3)叫和角公式；Sa-3)、8 -3)、T(a-3)叫差角公式并由學(xué)生歸納總結(jié)以上六個(gè)公式的推 導(dǎo)過程，從而得出以下邏輯聯(lián)系圖可讓學(xué)生自己畫出這六個(gè)框圖通過邏輯聯(lián)系圖，深刻理解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，借以理解并靈活運(yùn)用這些公式同時(shí)教師應(yīng)提醒學(xué)生

12、注意：不僅要掌當(dāng) cos(a+3)豐0 時(shí)，tan(a如果 cosacos3工 0,即 cosa豐0 且 cos3豐0 時(shí)，分子、分母同除以 cosacos3得tan(tan：亠a+3)=1一tan：tan(J，據(jù)角a、3的3用-3代之，則tan(tan：tan(-：)a-3)=.1 - tanot tan(-P)tan：-tan：的嗎？學(xué)生回顧自己的公式探究過程可知,a3都不能等于JI-+kn(k Z)，并引23的取值是任意握這些公式的正用，還要注意它們的逆用及變形用如兩角和與差的正切公式的變形式(三)應(yīng)用示例思路 13HHH土亠例1已知 sina=,a是第四象限角，求 sin( a),co

13、s( +a),tan( a)的值.5444活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中角的關(guān)系，在面對問題時(shí)要注意認(rèn)真分析條件，明確要 求.再思考應(yīng)該聯(lián)系什么公式，使用公式時(shí)要有什么準(zhǔn)備，準(zhǔn)備工作怎么進(jìn)行等.例如本題中,要先求出 cosa,tana的值，才能利用公式得解，本題是直接應(yīng)用公式解題，目的是為了讓學(xué) 生初步熟悉公式的應(yīng)用，教師可以完全讓學(xué)生自己獨(dú)立完成二a)=S in Lcosa-cousina =2 4一二444252510點(diǎn)評：本例是運(yùn)用和差角公式的基礎(chǔ)題，安排這個(gè)例題的目的是為了訓(xùn)練學(xué)生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習(xí)慣3解:由 sina =5,a是第四象限角，得cosa=1 - sin

14、2a =.i5)2si n a3-tana=cos a44 4 5 5tana+tan3=tan(a+3)(1-tanatan3),tana-tan3=tan(a - 3)(1+tanatan3),在化簡求值中就經(jīng)常應(yīng)用到，使解題過程大大簡化，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美.對于兩角和與差的正切公式，當(dāng) tana, tan3或 tan (a3)的值不存在時(shí)，不能使用T(a3)處理某些有關(guān)問題，但可改用誘導(dǎo)公式或其他方法，例如：化簡tan(二-3)，因?yàn)?tan 二的值不存在,2 2所以改用誘導(dǎo)公式tan(二-3)=叫一叱來處理等.2cos)sin：于是有 sin(JIHcos( +a)=cos cosa

15、-sin44JIsin4(-3)257 210Jitan(a-)=JItan a tan4亠14_1 ta nata n1 tan a1 (-？)44tan a -1變式訓(xùn)練1.不查表求 cos75 ,tan 105 的值.解: cos75 =cos(45 +30 )=cos45 cos30 -sin45 sin302.設(shè)a (0,),若 sina=3,則 2sin(a+一 )等于()254717A.B.C.-D.4552答案：A例 2 已知 sina :2:-,a ( ,n),cosB 323,B (n,43:土).求 sin(a-B),cos(a+2B),tan(a+B).活動(dòng)：教師可先讓

16、學(xué)生自己探究解決，對探究困難的學(xué)生教師給以適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥，指導(dǎo)學(xué) 生認(rèn)真分析題目中已知條件和所求值的內(nèi)在聯(lián)系.根據(jù)公式 S(a-B八Ga+B)、T(a+B)應(yīng)先求出 COSa、sinB、tana、tanB的值，然后利用公式求值，但要注意解題中三角函數(shù)值的符號 解：由 Sina=2,a (上，n)，得3213TT又由cos3 = ,B (n ,-).32sinB =_訥_cos2P= _1 (_3)2=44a-B)=sinacosB-cosasinB cos(a+B)=cosacosB-sinasinB=( -二)X(-3)-23433 52.712點(diǎn)評：本題仍是直接利用公式計(jì)算求值的基礎(chǔ)題，其目的

17、還是讓學(xué)生熟練掌握公式的應(yīng) 用，訓(xùn)練學(xué)=3x (W(12tan105 =tan(60+45)=tan 60tan451一tan60 tan45=-(2+ .3).cosa = -sin2a=-2.55tan(a+B)=-675+5/7二-325 + 27巧15 2 3517sin(生的運(yùn)算能力變式訓(xùn)練引導(dǎo)學(xué)生看章頭圖，利用本節(jié)所學(xué)公式解答課本章頭題，加強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識30解：設(shè)電視發(fā)射塔高 CD=x 米，/ CAB=x，貝Usina=一 ,67在 Rt ABD中, tan(45 +a)=X二30tana.30于是 x=30tan(452)_30,tana1+1tan (45+a)=1中怕n吧_

18、2=3,1 -ta no1 1_2. x=303-30=150(米).1例 3 在厶 ABC 中，si nA一3(0 A45 ),cosB一5(45 B90 )，求 si nC 與 cosC 的值.513活動(dòng)：本題是解三角形問題，在必修5 中還作專門的探究，這里用到的僅是與三角函數(shù)誘導(dǎo)公式與和差公式有關(guān)的問題，難度不大，但應(yīng)是學(xué)生必須熟練掌握的同時(shí)也能加強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力教師可讓學(xué)生自己閱讀、探究、討論解決，對有困難的學(xué)生教師引導(dǎo)學(xué)生分析題意和找清三角形各角之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而找出解決問 題的路子教師要提醒學(xué)生注意角的范圍這一暗含條件解：在 ABC 中,A+B+

19、C=180 , C=180 -(A+B).34又Tsi nA 一一且 0 A45 , cosA一一.55512又TcosB=5且 45 B 1,則厶 ABC 是 ()A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.等腰非直角三角形又Tsin_30a一,67JI60 x1a(0,),cosa ,tana 26722答：這座電視發(fā)射塔的高度約為150 米.思路 2例 1 若 si n（ +a）= ,cos（ 工-3）=,且 0atB ,求 COS（a + 3）的值.4134544活動(dòng)：本題是一個(gè)典型的變角問題，也是一道經(jīng)典例題，對訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算能力以及邏 輯思維能力很有價(jià)值盡管學(xué)生思考時(shí)有點(diǎn)難度

20、，但教師仍可放手讓學(xué)生探究討論，教師不可 直接給出解答對于探究不出的學(xué)生，教師可恰當(dāng)點(diǎn)撥引導(dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生解決問題的關(guān)鍵是尋找 所求角與已知角的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生理清所求的角與已知角的關(guān)系，觀察選擇應(yīng)該選用哪 個(gè)公式進(jìn)行求解，同時(shí)也要特別提醒學(xué)生注意：在求有關(guān)角的三角函數(shù)值時(shí)，要特別注意確 定準(zhǔn)角的范圍，準(zhǔn)確判斷好三角函數(shù)符號，這是解決這類問題的關(guān)鍵學(xué)生完全理清思路后,教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生的規(guī)范書寫，并熟練掌握它對于程度比較好的學(xué)生可讓其擴(kuò)展本題，或變化條件，或變換所求的結(jié)論等如教師可變換a,3角的范圍，進(jìn)行一題多變訓(xùn)練，提高學(xué)生靈活應(yīng)用公式的能力，因此教師要充分利用好這個(gè)例題的訓(xùn)練價(jià)值=5x3-(_1

21、2)x(一4)=一33.13513565本題是典型的變角問題，即把所求角利用已知角來表示，實(shí)際上就是化歸思想變式訓(xùn)練3 :兀JI3 :Va+32n,V3-V-22444n5cos(a+3)=,cos(3-):_5413JI兀cos(a+ )=cos(a+3)-(3-)】44JI=cos(a+3)cos(3-)+si n(a+3)sin(3-)444、/ /531256=x(-)+(-)x- = 51351365答案：C解： /0aJI3二3二3二3VV an4444又已知3 -53sin(+a)=,cos(-3)：_141345 cos(3二+a)=-12JI)=-4,si n( -34134

22、5:+(a+3):=sin2：(34+a)-(=sin(+a)COs(兀-3)-cos(4+a)sin(.這需要巧妙地引導(dǎo)，充分讓學(xué)生自己動(dòng)手進(jìn)行角的變換,培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力已知a,3(,n),sin(43二(,n),sin(4、3a+3)=一,sin(53a+3)=_ ,sin(3- _)= _3-工)=12,求 COs(a+巴)的值.4134:、12413Tt JT-30,24 cos(a+3)=sin例 2 化簡Sn (a-B)+sin (P-日)+si n(8-a). sin a sisin P sin日sinTsina活動(dòng)：本題是直接利用公式把兩角的和、差化為兩單角的三角函數(shù)的形式，教師可以先 讓學(xué)生自己獨(dú)立地探究，然后進(jìn)行講評3 :JI/ si n(a+B)=-cos(+a+B)=-cos(一 +B)-(-a門2443二JI3兀兀=-cos(+B)cos(-a)-sin(+B)sin(a)4444/ 1235456()x-x(-)=:-13513565解: 原式=sin acos ?cosasin :sin asin :sin : cos：- cos：sinvsin 0 sinlsinv cosacos：sinasin v sinasi