2022年高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)題型歸納(文科)

1、文科導(dǎo)數(shù)題型歸納請(qǐng)同學(xué)們高度重視：首先，關(guān)于二次函數(shù)的不等式恒成立的主要解法：1、分離變量；2變更主元；3根分布；4判別式法5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法：(1)對(duì)稱軸(重視單調(diào)區(qū)間)與定義域的關(guān)系(2)端點(diǎn)處和頂點(diǎn)是最值所在其次，分析每種題型的本質(zhì)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)大部分都在解決“不等式恒成立問題” 以及“充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想”，創(chuàng)建不等關(guān)系求出取值范圍。最后，同學(xué)們?cè)诳蠢}時(shí)，請(qǐng)注意尋找關(guān)鍵的等價(jià)變形和回歸的基礎(chǔ)一、基礎(chǔ)題型：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立；1、此類問題提倡按以下三個(gè)步驟進(jìn)行解決：第一步：令r(x)=o得到兩個(gè)根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中不等式恒成立問題的

2、實(shí)質(zhì)是函數(shù)的最值問題，2、常見處理方法有三種：第一種：分離變量求最值一一用分離變量時(shí)要特別注意是否需分類討論(>0,=0,<0)第二種：變更主元(即關(guān)于某字母的一次函數(shù))-(已知誰的范圍就把誰作為主元)； (請(qǐng)同學(xué)們參看2010省統(tǒng)測(cè)2)例1：設(shè)函數(shù)y = /(x)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為/'(X), f'(x)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為g(x),若在區(qū)間D 上，g(x)<0恒成立，則稱函數(shù)y = /(x)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”，已知實(shí)數(shù)m是常數(shù)，、 x4 nix' 3x2/ (無)=1262(1)若y = /(x)在區(qū)間0,3上為“凸函數(shù)”，求m的取值范圍；(2)

3、若對(duì)滿足同K2的任何一個(gè)實(shí)數(shù)，函數(shù)/(x)在區(qū)間(“力)上都為“凸函數(shù)”，求人-”的最大 值.ho 4丁 皿，、/ nix' 3x2 3. x3 mx2 _解油函數(shù)/(幻=6 得/'(幻=三-3x126232g(x) = x2 rnx 3(1)y = /(x)在區(qū)間0,3上為“凸函數(shù)”，則/. g(x) = x2x-3 <。在區(qū)間0,3上恒成立解法一：從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手：等價(jià)于81皿(元)<()=> /w > 2解法二：分離變量法：.當(dāng) x = 0 時(shí)，g(x) = x2 - mx-3 = -3<0 恒成立，當(dāng)Ovx43時(shí)，g(x) = f

4、一a一3 <0恒成立x2 -33等價(jià)于楊 =工一二的最大值(0vx(3)恒成立， XX3而(幻=不一2(0<x<3)是增函數(shù)，則Jx) = H3) = 2 x/. tn>2?當(dāng)何| W2時(shí)/(x)在區(qū)間(4")上都為“凸函數(shù)”則等價(jià)于當(dāng)帆W 2時(shí)g(x) = / -a - 3 < 0恒成立變更主元法再等價(jià)于(，) =g-/+3>0在2恒成立(視為關(guān)于m的一次函數(shù)最值問題)F(-2) >£)f-2x - x2 + 3 > 0=> <=> => -1 < x < 1I /(2)">

5、;<2%一/+3>0:b a = /22請(qǐng)同學(xué)們參看2010第三次周考：例 2：設(shè)函數(shù) /(x) = -x3 + lax1 - 3。晨 +伙0 <。< 1,8 w R)(I )求函數(shù)/ (x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(II)若對(duì)任意的工£。+ 1,4 + 2,不等式|廣(刈。恒成立，求a的取值范圍.(二次函數(shù)區(qū)間最值的例子)解：（I ） /'（X）= f+4tzx3a“ = （x3a）（x/ 0 < tz < 1令尸(元)<0,得/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8, o)和(3«, +oo),3 q .當(dāng)x=a時(shí)，/(x)極小值= +

6、力;當(dāng)x=3a時(shí)，/(%)極大值=b. 4(II)由|尸(x)|Wa,得：對(duì)任意的x£a + l,a + 2,-aWx2-4a¥ + 3a2W4恒成立p (x) < a則等價(jià)于g(x)這個(gè)二次函數(shù)Smag(x) = x2-4ax+3a2的對(duì)稱軸1gmin(x)N-。g(x)這個(gè)二次函數(shù)的最值問題：?jiǎn)握{(diào)增函數(shù)的最值問題。即定義域在對(duì)稱軸的右邊,x = 2a ,.,0<a<, a + l>a + a = 2a (放縮法)g(x) = x2 -4 + 3/在。+ 1,4 + 2上是增函數(shù).g(x)max =g(a + 2) = -2a + l.Wmin =

7、<?(« +0 = -4« +4.于是，對(duì)任意xa + l,a + 2,不等式恒成立，等價(jià)于g(a + 2) =+ 4Wa,解得乜骨.g (。+1) = 2a +1N a54又 0 < < 1,< 1.點(diǎn)評(píng)：重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法：對(duì)稱軸(重視單調(diào)區(qū)間)與定義域的關(guān)系第三種：構(gòu)造函數(shù)求最值題型特征：/3>g(x)恒成立0。) = /(幻-8(幻>0恒成立；從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型例3；已知函數(shù)f(x) = x3+ax2圖象上一點(diǎn)P(l,h)處的切線斜率為-3,t O Cg(x) = %3+x-Q + l)x+3(? > 0)(I

8、)求a,)的值;(II)當(dāng)xw-l,4時(shí),求/(x)的值域；(m)當(dāng)xe1,4時(shí)，不等式/(x)Wg(x)恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。解：(I) f'(x) = 3x1+2ax：.J, 解得b = + ab = -2(II)由(I)知，/(x)在上單調(diào)遞增，在0,2上單調(diào)遞減，在2,4上單調(diào)遞減又 /(-I) = -4,/(0) = 0,/(2) = -4,/(4) = 16:.f(x)的值域是-46)令心)=/5-(幻=-了+"1)>3 面,4思路1：要使/(x)Wg(x)恒成立，只需(x)W0,即r，2元)22%-6分離變量思路2：二次函數(shù)區(qū)間最值二、題型一：已知函

9、數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍解法1：轉(zhuǎn)化為/(x) NO或<(x) WO在給定區(qū)間上恒成立，回歸基礎(chǔ)題型解法2:利用子區(qū)間(即子集思想)；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓 所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集；做題時(shí)一定要看清楚“在(m,n)上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(a,b)”，要弄清楚 兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集例 4：已知 awR,函數(shù)/(%)='/+苫1/+(4。+ 1".(I )如果函數(shù)g(x) = /'(X)是偶函數(shù)，求/(X)的極大值和極小值；(H)如果函數(shù)/(元)是(-8, +8)上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.1 解：f (x)

10、= x + (a + l)x + (4 +1).41 1 °(I) ；/'(x)是偶函數(shù)，, a = -1.此時(shí)/(x) = x3 - 3x, fx) = x2 -3 ,124令r(x) = 0,解得：x = ±2百.列表如下:X(00,-2a/3 )-2a/3(2 y/3 ,2 V3 )2后(2 y/3 ,+qo)f'M+00+/(x)遞增極大值遞減極小值遞增可知：/(%)的極大值為了(2后)=4a/3 , /(X)的極小值為/(2百)=-473 .(II) .函數(shù))(x)是(-8, +8)上的單調(diào)函數(shù)，/. fx) = -x2 + (« + l

11、)x+(46/ +1) >0 ,在給定區(qū)間R上恒成立判別式法 40 1 、則 = (a +1) -4 (4。+1) = cr - 2。«0,解得：0<a < 2.4綜上，a的取值范圍是40WaW2.例 5、已知函數(shù) /(x) =|x3+|(2-a)x2 +(1- a)x(a > 0).(I)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；(II)若f(x)在0, 1上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。子集思想(1) fx) = x2 +(2-a)x+ i-a = (x+ l)(x +1 - a).1、當(dāng)a = OB寸J'(x) = (x + 1)2 NO恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x = l時(shí)取“

12、=”號(hào)，/(X)在(一00,+00)單調(diào)遞增。2、當(dāng)a >00寸，由/'(x) = 0,得玉=-1,七=4一1,且 < x2,單調(diào)增區(qū)間：(fo,-l),(a - l,+8)單調(diào)增區(qū)間：(一1,。一1)(II)當(dāng)f(x)在0,1上單調(diào)遞增,則0,1是上述增區(qū)間的子集:1、a = 0時(shí)，/(無)在單調(diào)遞增 符合題意2 0,lc(tz-l,+co) , /.a-1<0 .,.«<1 綜上，a的取值范圍是0, 1。三、題型二：根的個(gè)數(shù)問題題1函數(shù)f(x)與g(x)(或與X軸)的交點(diǎn)=即方程根的個(gè)數(shù)問題解題步驟第一步：畫出兩個(gè)圖像即“穿線圖”(即解導(dǎo)數(shù)不等式)

13、和“趨勢(shì)圖”即三次函數(shù)的大致趨勢(shì)”是先增后減再增”還是“先減后增再減”；第二步：由趨勢(shì)圖結(jié)合交點(diǎn)個(gè)數(shù)或根的個(gè)數(shù)寫不等式(組)；主要看極大值和極、值與0的關(guān)系；第三步：解不等式(組)即可；例6、已知函數(shù)/(x) = g*3, g(x) = ；-攵無，且/(X)在區(qū)間(2,+8)上為增函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)攵的取值范圍；(2)若函數(shù)/(x)與g(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)左的取值范圍.解：(1)由題意:(幻=(女+ 1)尤/(X)在區(qū)間(2,+00)上為增函數(shù)，/. f'(x) = x2 一(Z + 1)尤>0在區(qū)間(2,+oo)上恒成立(分離變量法)即Z + l<x恒成立

14、，Xx>2, ：.k + <2,故ZW1 .k的取值范圍為左(2)設(shè)(x) = f(x) - g(x) = -好/ + kx-,/?'(%) = x2 -伏 + l)x + Z = (x - k)(x - 1)令/2'(x) = 0得x = Z或x = l 由(1)知kWl,當(dāng)Z = 1時(shí)，/iV) = (x-l)2>0, (x)在R上遞增，顯然不合題意當(dāng)攵<1時(shí)，/i(x), 一(X)隨x的變化情況如下表:X(一 OO,Z)k31)1(1,+OD)h'(x)十00+h(x)7極大值_e_ 6 T-3極小值 k-27k -1由于一廠<0,欲

15、使/(x)與g(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程") = 0有三個(gè)不同的實(shí)根,*3 L2 1故需一 J + L 上0,即伏一1)(二-2k-2)<0：.< 623綜上，所求攵的取值范圍為L<1-百k<l,，解得k<l-6k2 -2k-2>0根的個(gè)數(shù)知道，部分根可求或已知。例 7、已知函數(shù)/(x) = or3+_Lx2-2x+c2(1)若x = -l是/(X)的極值點(diǎn)且.f(x)的圖像過原點(diǎn)，求/(X)的極值；(2)若g(x) = g/z? -x + d,在(D的條件下，是否存在實(shí)數(shù)匕，使得函數(shù)g(x)的圖像與函數(shù)/(x)的 圖像恒有含=-1的三個(gè)

16、不同交點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；否則說明理由。解：(1)f(x)的圖像過原點(diǎn)，則 f(O) = O = c = O/'。) = 3奴2+一2 ,又.=一1 是y(x)的極值點(diǎn)，則/(-1) = 3。-1-2 = 0=>。= -1：.f'(x) = 3x2 +x-2 = (3x-2)(x+1) = 0/極大值(x) = /(-1)= 小值(X)=(2)設(shè)函數(shù)g(x)的圖像與函數(shù)/(x)的圖像恒存在含x = -l的三個(gè)不同交點(diǎn)，等價(jià)于 x) = g(x)有含x = T 的三個(gè)根，即：/(l) = g(-l) = d = -Ls l) 2x3 +-x2-2x = -bx2

17、整理得：222即：V,s1)/-x+,S-1) = 0恒有含=一1的三個(gè)不等實(shí)根22(計(jì)算難點(diǎn)來了：)(x) = d,(/7一1)%2一+_1(/7-1)= 0有含彳=一1的根,則從x)必可分解為(x+1)(二次式)=0 ,故用添項(xiàng)配湊法因式分解，V +%2 x (/? l)x- x+ (/? - 1) = 02121"1x(x+l)- S + lM+x 0-1) = 0_22_x2U+1)-1(/? + 1)x2 + 2x-(Z?-1) = 0十字相乘法分解：x2(x+l)-1(/?+l)x-(/?-l)(x+l) = 0(x+1) x2，(b + l)x + gs-1) =0.x

18、3-(/?-l)x2 _x + gs l) = 0恒有含x = -l的三個(gè)不等實(shí)根等價(jià)于x2-(Z? + l)x+1(Z?-l) = 0有兩個(gè)不等于-1的不等實(shí)根。f 121 = -(b + l)2-4x-S -1)>0=><42=> b e (-oo, -1) kJ (-1,3) u (3, +oo)(-l)2+-(/? + l) + -(fe-l)*0I 22題2：切線的條數(shù)問題=以切點(diǎn)與為未知數(shù)的方程的根的個(gè)數(shù)例7、已知函數(shù)/(幻=如3+法2 + 5在點(diǎn)與處取得極小值-4,使其導(dǎo)數(shù)尸(x)>0的x的取值范圍 為(1,3),求：(1) f(x)的解析式；(2)

19、若過點(diǎn)口-1,加)可作曲線y = /(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)z的取 值范圍.(1)由題意得：fx)=3ax2 + 2bx + c = 3a(x-l)(x-3),(a<0).在(-oo,l)上/(x)<0；在(1,3)上/(x)>0；在(3,+00)上/(刀)<。因此f(x)在% = 1處取得極小值-4.a+b + c = T，f) = 3a + 2b + c = O®, f'(3) = 27a + 6力+ c = 0d 1由(D聯(lián)立得：，力=6 , fx = -x3 + 6x2 -9xc = -9(2)設(shè)切點(diǎn)QQJ(r), = fy = (一3 r +

20、- 9)(x-t) + (/ + 6 產(chǎn)-9?)=(-3產(chǎn) + 2t-9)x + t(3t2 -l2t+9)-t(t2-6r+9)=(-3/ +12f-9)x+t(2t2 -6t)過(-1,ni)m = (- 3f 2 +- 9)(-1) + 2/一 6 產(chǎn)g(t) = 2ti-2r-nt + 9-m = 0令g= 66f-12 = 6(r t-2) = 0,求得：t = -l,t = 2,方程g(f) = 0有三個(gè)根。_ 幅(一1)>012-3 + 12+9-機(jī)>0m<6g(2)v016-12-24+9 mvO/n>-l 1故：一ll<mvl6；因此所求實(shí)數(shù)7的

21、范圍為：(-11,16)題3：已知/(x)在給定區(qū)間上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)貝!|有導(dǎo)函數(shù)=0的根的個(gè)數(shù)解法：根分布或判別式法例8、已知函數(shù)/(*):+' -/(m +3)y + (m +6)x,«eli (m 為常數(shù)).(I )當(dāng)m=4時(shí),求函數(shù)以外的單調(diào)區(qū)間;(U)若函數(shù)y=f(%)在區(qū)間(1, +8)上有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.17解：函數(shù)的定義域?yàn)镽 ( I )當(dāng)m=4時(shí)，f(x)= 齊+lOx,fx) =x2-7x+10,令廣(x)>0 ,解得x5,或x<2.令/'(x)<0 ,解得2<x<5可知函數(shù)_/U)的單調(diào)遞增區(qū)間為(f0

22、,2)和(5, +),單調(diào)遞減區(qū)間為(2,5).(II ) fx) =x2(m+3)x+tn+6,解得/n>3ZJI例9、已知函數(shù)/(幻=?/+要使函數(shù)y=f (x)在(1, +°°)有兩個(gè)極值點(diǎn),=> /x) =x2-(m+3)x一, a 0) (D 求/(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)令g(x)= x+f 4(x) (xGR)有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.解：(1) f (x) = ax2 4- x = xax-1)當(dāng) a>0 時(shí)，令 f(x)>()解得 1<一!或c>0,令 / (x)<0 解得一，<x<0,所以/(

23、X)的遞增區(qū)間為(-8,-，)U(0,+8),遞減區(qū)間為(一工,0).當(dāng)。<0時(shí)，同理可得/(X)的遞增區(qū)間為(0,L),遞減區(qū)間為(8,0)U(,+8).(2) 有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)=g'(x) =丁+.+x = x,+內(nèi) + )=0有 3個(gè)根，貝(jx = 0或 Y+ox + l = 0 , a<-2方程/+辦+ 1=0有兩個(gè)非零實(shí)根，所以A = "-4>0,.a v 2 或。> 2而當(dāng)a<-2或a > 2時(shí)可證函數(shù)y = g(x)有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)其它例題：1、(最值問題與主元變更法的例子).已知定義在/?上的函數(shù)/(x) = *-2/

24、+力(。>0)在 區(qū)間上的最大值是5,最小值是一 11.(I)求函數(shù)/(x)的解析式；(II)若，時(shí)，/'(x) + fxWO恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解：(I )/(尤)=ax'- 262/'(X)= 3以2-4以=ax(3x-4)4 r r令/ (x)=0,得X =0,/=- -2,1因?yàn)椤?gt;0,所以可得下表：X-2,0)0(0f(x)+0-f(x)/極大因此一(0)必為最大值，,./() = 5因此6 = 5, ，7(-2) = -16a+5J(l) = -fl+5,.-./(l)>/(-2), 即 f(2)=-16a + 5 = -ll, /

25、. a = 1, f(x) = x3 -2x2 +5.(II ) V f'(x) = 3x2 -4x,二/'(x) + fxWO 等價(jià)于 3x?-4x + /xW0,令g= xf + 3尤2-4x,則問題就是g(f) WO在/上恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)K的取值范圍,為此只需f(-D<og w。31 -5x40x2 - x < 0解得OWxWl,所以所求實(shí)數(shù)、的取值范圍是0, 1.2、(根分布與線性規(guī)劃例子)(1)已知函數(shù)/(幻=-x3 +ax2 +bx+c 3(I)若函數(shù)/(x)在x = l時(shí)有極值且在函數(shù)圖象上的點(diǎn)(0, 1)處的切線與直線3x+y = 0平行，求/(x)

26、的解析式；(II)當(dāng)/(x)在xe(0, 1)取得極大值且在xe(l, 2)取得極小值時(shí)，設(shè)點(diǎn)MS-2, 。+ 1)所在平面區(qū)域?yàn)镾,經(jīng)過原點(diǎn)的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分，求直線L的方程.解：(I).由/'。) = 2/ + 2辦+8,函數(shù)/(x)在x=l時(shí)有極值，:.2a+b+2 = 0又/(X)在(0, 1)處的切線與直線3x + y = 0平行,:.尸(0) = b = 3 故 6/=2 、 、:.f(x) =x3 +x- -3x + l32(II)解法一：由尸(x) = 2/+ 2數(shù)+ 2及/(%)在尤6(0, 1)取得極大值且在xe(l, 2)取得極小值,770)

27、> 0 /(1)<0 廣>0b>02。+ Z? + 2 < 04a + + 8 > 0令 M(x, y), 則 <x = h-2 y =。+1x + 2 > 02y + x+2Vo 故點(diǎn)M所在平面區(qū)域S為如圖ABC, 4y+ x + 6 > 03易得A(2, 0), 5(-2, -1), C(2, -2), 0(0, -1), E(0,SMBC = 2同時(shí)DE為AABC的中位線，SEC= -S四邊形.田所求一條直線L的方程為：x = o另一種情況設(shè)不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為1:3的兩部分，設(shè)直線L方程為y =履，它與AC,BC分

28、別交于F、G,貝ij Z 0, S四邊形degf = 1v = kx72y + x + 2 =。得點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為:X”一而1y = kx/得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為: =-4y + x + 6 = 04A + 1D(0-1)EC(2, -2),o_ o _ o _ 1361 »四邊形 DEGF - »AOGE NOFD =TXTX 7 12 2 4k+ 1 2x2Z + 1=1 即 16k2 + 2左一5 = 0解得：k = L 或 k=-(舍去)故這時(shí)直線方程為:y =1x 282綜上，所求直線方程為:=0或丫 =,彳12分(II)解法二：由/'(無)=2/ + 2以+6及

29、/。)在_¥(0, 1)取得極大值且在尤(1, 2)取得極小值,r(o)>o八2)>o僅>0即 2a +人+ 2<0 14a + 6 + 80x = b2 y = a + a = y- b = x + 2x + 2 > 02y + x + 2<0故點(diǎn)M所在平面區(qū)域S為如圖AABC,4y+ x + 6 > 03易得A(-2, 0), 3(-2, -1), C(2, -2), D(0, -1), £(0,5MBC = 2同時(shí)DE為4ABC的中位線，SgEc =§S四邊形med二所求一條直線L的方程為：x = 0另一種情況由于直

30、線BO方程為:y = -x,設(shè)直線BO與AC交于H , 21V = x由，'2得直線L與AC交點(diǎn)為:(一 1, 一一)2y + x+2 = 0SgBc = 2, SgEc =txtx2 = , S4ABM = MB。 5moh:,所求直線方程為:x = 0或丫 =力23、(根的個(gè)數(shù)問題)已知函數(shù)f(x) = ax、bx2 + (c-3a-2b)x + d (a>0)的圖象如圖所示。(I )求c、d的值；y,(II)若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程為3x + y-ll = 0,求函數(shù)f(x)的解析式；3 '''(ID)若x0 = 5,方程f

31、(x) = 8a有三個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：由題知：fr(x) = 3ax2 + 2bx+c-3a-2b j、1 X° X ( I )由圖可知函數(shù)/(x)的圖像過點(diǎn)(0,3),且廣=0fd = 3(d = 3得4川3a + 2b + c-3a-2b = 0c = 0 (H)依題意:=-3且“2) = 51 ,* = -6解得。=12。+ 4b - 3。- 2/? = -38。+ 4/? 6。 4b + 3 = 5所以 f (x) = x3 - 6/ + % + 3(III)依題意 f (x) = ax + bx2-( 3a + 2b )x + 3 (a>0 ) fr(x)= 3ax2 + 2bx 3a -2b 由 /r(5)= 0=>b = - 9a若方程/( x) = Ha有三個(gè)不同的根，當(dāng)且僅當(dāng)滿足/( 5 )<8a</( 1 )由®®得-25a + 3<8a<7o+ 3z=> &