復(fù)變函數(shù)第8講學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)(hnsh)第第8講講第一頁(yè)，共30頁(yè)。2重點(diǎn)重點(diǎn)(zhngdin)：難點(diǎn)難點(diǎn)(ndin)：函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)與洛朗級(jí)數(shù)函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)與洛朗級(jí)數(shù)函數(shù)展開成洛朗級(jí)數(shù)函數(shù)展開成洛朗級(jí)數(shù)第1頁(yè)/共29頁(yè)第二頁(yè)，共30頁(yè)。3復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)(fsh)項(xiàng)級(jí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)函數(shù)(hnsh)項(xiàng)級(jí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)充充要要條條件件必必要要條條件件冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)收斂收斂(shulin)(shulin)半徑半徑R R復(fù)復(fù) 變變 函函 數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂運(yùn)算與性質(zhì)運(yùn)算與性質(zhì)解解析析在在0)(zzf為復(fù)常數(shù)為復(fù)常數(shù) 收斂條件收斂條件條條件件收收斂斂復(fù)數(shù)列復(fù)數(shù)列收斂半徑的計(jì)算收斂半徑的計(jì)算泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)洛朗級(jí)數(shù)

2、洛朗級(jí)數(shù))(zfann為函數(shù)為函數(shù)第2頁(yè)/共29頁(yè)第三頁(yè)，共30頁(yè)。4 , 0 數(shù)數(shù)相應(yīng)地都能找到一個(gè)正相應(yīng)地都能找到一個(gè)正如果任意給定如果任意給定 , ),(時(shí)成立時(shí)成立在在使使NnNn 記作記作NoImage , 為為一一確確定定的的復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)又又設(shè)設(shè)iba設(shè)設(shè)an(n=1,2,.)an(n=1,2,.)為一復(fù)數(shù)為一復(fù)數(shù)(fsh)(fsh)列列, ,則則a稱為復(fù)數(shù)稱為復(fù)數(shù)(fsh)列列an當(dāng)當(dāng)n時(shí)的時(shí)的極限極限,此時(shí)也稱復(fù)數(shù)列此時(shí)也稱復(fù)數(shù)列 n收斂收斂于于 .nnlim第3頁(yè)/共29頁(yè)第四頁(yè)，共30頁(yè)。5 nnn 211表達(dá)式表達(dá)式稱為復(fù)數(shù)稱為復(fù)數(shù)(fsh)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù).其最前面其最

3、前面 項(xiàng)的和項(xiàng)的和NoImagenns 21稱為稱為(chn wi)級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和.部分部分(b fen)和和1) 定義定義an=an+ibn(n=1,2,.)為一復(fù)數(shù)列為一復(fù)數(shù)列,第4頁(yè)/共29頁(yè)第五頁(yè)，共30頁(yè)。60lim1 nnnn 收斂收斂都收斂都收斂與與收斂收斂 111nnnnnnba 充要條件充要條件必要條件必要條件 ,1收斂收斂那末級(jí)數(shù)那末級(jí)數(shù) nn 如果部分如果部分(b fen)和數(shù)列和數(shù)列sn收斂收斂,.,.lim,11發(fā)散稱為則級(jí)數(shù)不收斂如果數(shù)列為級(jí)數(shù)的和稱并且極限收斂稱為則級(jí)數(shù)nnnnnnnsss第5頁(yè)/共29頁(yè)第六頁(yè)，共30頁(yè)。73)復(fù)級(jí)數(shù)復(fù)級(jí)數(shù)(j sh)的

4、絕對(duì)收斂與條件收斂的絕對(duì)收斂與條件收斂如果如果 收斂收斂, 那末稱級(jí)數(shù)那末稱級(jí)數(shù) 為為絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂. 1nn 1nn .111絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂與與絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 nnnnnnba 絕對(duì)絕對(duì)(judu)收斂收斂 條件收斂條件收斂第6頁(yè)/共29頁(yè)第七頁(yè)，共30頁(yè)。811)1;2)cosinnneninn第7頁(yè)/共29頁(yè)第八頁(yè)，共30頁(yè)。91111cossin111cos,1sin.lim1,lim011lim1.innnnnnnninnneinnnnabnnnnaben數(shù)列收斂,且有第8頁(yè)/共29頁(yè)第九頁(yè)，共30頁(yè)。10第9頁(yè)/共29頁(yè)第十頁(yè)，共30頁(yè)。1110111)1;(8 )2);!(

5、 1)13)2nnnnnninninin第10頁(yè)/共29頁(yè)第十一頁(yè)，共30頁(yè)。12解解 1) 因因故原級(jí)數(shù)發(fā)散故原級(jí)數(shù)發(fā)散.111nnnan2111nnnbn第11頁(yè)/共29頁(yè)第十二頁(yè)，共30頁(yè)。13因因 , 由由絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂.(8 )8!nninn18!nnn第12頁(yè)/共29頁(yè)第十三頁(yè)，共30頁(yè)。14因因收斂收斂原級(jí)數(shù)原級(jí)數(shù)(j sh)非絕對(duì)收斂非絕對(duì)收斂.1( 1)nnn112nn1( 1)nnn第13頁(yè)/共29頁(yè)第十四頁(yè)，共30頁(yè)。15)()()()(21zfzfzfzsnn 稱為稱為(chn wi)(chn wi)這級(jí)數(shù)的部分和這級(jí)數(shù)的部分和. . 級(jí)數(shù)最前面級(jí)數(shù)最前面項(xiàng)的和項(xiàng)的和

6、n , ), 2 , 1()( 為一復(fù)變函數(shù)序列為一復(fù)變函數(shù)序列設(shè)設(shè) nzfn )()()()(211zfzfzfzfnnn其中其中(qzhng)(qzhng)各項(xiàng)在區(qū)域各項(xiàng)在區(qū)域 D D內(nèi)有定義內(nèi)有定義. .表達(dá)表達(dá)式式稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 記作記作 . )(1 nnzf第14頁(yè)/共29頁(yè)第十五頁(yè)，共30頁(yè)。16 1) 在復(fù)變函數(shù)在復(fù)變函數(shù)(hnsh)項(xiàng)級(jí)數(shù)中項(xiàng)級(jí)數(shù)中, 形如形如.zczczcczcnnnnn 22101的級(jí)數(shù)的級(jí)數(shù)(j sh)稱為冪級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)(j sh).,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a 22100)()()(azcazccazcnnn nnazc)(第15頁(yè)/共29

7、頁(yè)第十六頁(yè)，共30頁(yè)。17-阿貝爾阿貝爾Abel定理定理如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 0nnnzc)0(0 zz0zz 0zz 0zz , z在在收斂收斂, z那末對(duì)那末對(duì)的的級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂, 如果如果在在級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散, 那末對(duì)滿足那末對(duì)滿足的的級(jí)數(shù)必發(fā)散級(jí)數(shù)必發(fā)散.滿足滿足2)收斂定理第16頁(yè)/共29頁(yè)第十七頁(yè)，共30頁(yè)。18(3) 既存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù)既存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù), 也存在使級(jí)數(shù)收也存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù)斂的正實(shí)數(shù).3)3)收斂收斂(shulin)(shulin)圓與收斂圓與收斂(shulin)(shulin)半徑半徑對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù)對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù), 其收斂半徑的情況其

8、收斂半徑的情況(qngkung)有三種有三種:對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都收斂對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都收斂.即級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處即級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處收斂處收斂.(2) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除0 z外都發(fā)散外都發(fā)散.第17頁(yè)/共29頁(yè)第十八頁(yè)，共30頁(yè)。19在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散, 不能作出不能作出一般的結(jié)論一般的結(jié)論, 要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析.注意注意xyo. .R收斂圓收斂圓收斂半徑收斂半徑第18頁(yè)/共29頁(yè)第十九頁(yè)，共30頁(yè)。20nnnzzzz201)1( ,1112zzzzzzsnnn第19頁(yè)/共29頁(yè)第二十頁(yè)，共30頁(yè)。nnnnnnnnnnn

9、zzzzzznzzzzzszzzzzzzzs212111, 1|.,1|,11,1|,11lim, 0lim,1|) 1( ,111并有在此范圍內(nèi)絕對(duì)收斂收斂范圍為級(jí)數(shù)發(fā)散不趨于零時(shí)由于時(shí)當(dāng)和函數(shù)為收斂時(shí)級(jí)數(shù)即從而有由于時(shí)當(dāng)?shù)?0頁(yè)/共29頁(yè)第二十一頁(yè)，共30頁(yè)。22方法方法(fngf)1: (fngf)1: 比值法比值法方法方法(fngf)2: 根值法根值法NoImage那末收斂半徑那末收斂半徑NoImage ., 0; 0,;0,1 R即即, 0lim nnnc如果如果那末收斂半徑那末收斂半徑.1 R第21頁(yè)/共29頁(yè)第二十二頁(yè)，共30頁(yè)。231) 31nnzn(并討論在收斂圓周上的情形)

10、; 2) 1(1)nnzn(并討論 z=0,2 時(shí)的情形); 3) 0(cos)nnin z 第22頁(yè)/共29頁(yè)第二十三頁(yè)，共30頁(yè)。24解 1) 因?yàn)?1limlim12nnnncncn, 或 3311lim |limlim1nnnnnnncnn 所以收斂半徑 R=1, 也就是原級(jí)數(shù)在圓|z|=1內(nèi)收斂, 在圓周外發(fā)散. 在圓周|z|=1 上, 級(jí)數(shù)33111nnnznn是收斂的, 因?yàn)檫@是一個(gè) p級(jí)數(shù), p=31, 所以原級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收斂的. 第23頁(yè)/共29頁(yè)第二十四頁(yè)，共30頁(yè)。252) 1limlim11nnnncncn, 即 R=1. 在收斂圓|z1|=1 上, 當(dāng) z=0

11、 時(shí), 原級(jí)數(shù)成為11( 1)nnn, 級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng) z=2 時(shí), 原級(jí)數(shù)成為11nn, 發(fā)散. 這個(gè)例子表明, 在收斂圓周上即有級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn),也有級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn). 第24頁(yè)/共29頁(yè)第二十五頁(yè)，共30頁(yè)。263) 因?yàn)?cosch()2nnncinnee, 所以 111limlimnnnnnnnnceeecee 故收斂半徑1Re 第25頁(yè)/共29頁(yè)第二十六頁(yè)，共30頁(yè)。27.,)(,)()1(2010rRzbzgrRzazfnnnnnn 設(shè)設(shè),)()()(000nnnnnnnnnnzbazbzazgzf ),()()()(00 nnnnnnzbzazgzf 00110,)(nnnnnzbab

12、abaRz ),min(21rrR 第26頁(yè)/共29頁(yè)第二十七頁(yè)，共30頁(yè)。28如果當(dāng)如果當(dāng)rz 時(shí)時(shí),)(0 nnnzazf又設(shè)在又設(shè)在Rz 內(nèi)內(nèi))(zg解析且滿足解析且滿足,)(rzg 那末當(dāng)那末當(dāng)Rz 時(shí)時(shí), 0.)()(nnnzgazgf復(fù)變冪級(jí)數(shù)在收斂復(fù)變冪級(jí)數(shù)在收斂(shulin)(shulin)圓內(nèi)的解析性圓內(nèi)的解析性 00)(nnnzzc（定理（定理(dngl)四）設(shè)冪四）設(shè)冪級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的收斂半徑的收斂半徑為為,R那末那末是收斂圓是收斂圓Raz 內(nèi)的解析函數(shù)內(nèi)的解析函數(shù) .它的和函數(shù)它的和函數(shù) 00)()(nnnzzczf, )(zf即即(1)第27頁(yè)/共29頁(yè)第二十八頁(yè)，共30頁(yè)。29(2)(zf在收斂圓在收斂圓Raz 內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到, 即即.)()(110 nnnzznczf(3)(zf在收斂圓內(nèi)可以在收斂圓內(nèi)可以(ky)逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分, 即即 0.,d)(d )(ncnncRazczazczzf或或NoImage第28頁(yè)/共29頁(yè)