Kalman濾波在溫度測量中的應用

1、數(shù)字信號處理課程報告題目：Kalman濾波在溫度測量中的應用院系：xxxxxxxxxxxxx學院專業(yè)：xxxxxxxxxxxxxx學生姓名：xxxxxxxx學號：xxxxxxxxx在許多工程實踐中，往往不能直接得到所需要的狀態(tài)量的真實值例。例如，平時用溫度計測量房間溫度時，可直接用溫度計測得當前的溫度，但是在測溫過程中會受到各方面因素的影響，使溫度會小幅度地波動。假設測量溫度時，外界的天氣是多云，陽光照射時有時無，同時房間不是100流封的，可能有微小的與外界空氣的交換，導致在測得的溫度中往往夾雜有隨機噪聲。Kalman濾波器就是這種能有效降低噪聲影響的利器。在線性系統(tǒng)中，Kalman濾波是最優(yōu)

2、濾波器。隨著計算機技術的發(fā)展，Kalman濾波的計算要求與復雜性已不再成為其應用的障礙，它越來越受到人們的青睞。目前Kalman濾波理論已經廣泛應用在國防、軍事、跟蹤、制導等許多高科技領域。關鍵詞：Kalman濾波；濾波器；隨機噪聲；測量；溫度ABSTRACTInmanyengineeringpractice,therealvalueoftherequiredamountofstatecannotbeobtaineddirectly.Forexample,whentheroomtemperatureismeasuredbyathermometer,thetemperaturecanbemeas

3、ureddirectlywiththethermometer,butthetemperaturewillbeaffectedbyvariousfactors.Ifthemeasurementtemperature,theoutsideweatheriscloudy,sometimeswhenthesunexposure,whiletheroomisnot100%sealed,theremaybeasmallexchangewiththeoutsideair,resultinginthemeasuredtemperatureisoftenmixedwithrandomnoise.Kalmanfi

4、lterisatoolwhichcaneffectivelyreducetheimpactofnoise.Inthelinearsystem,theKalmanfilteristheoptimalfilter.Withthedevelopmentofcomputertechnology,thecomputationalrequirementsandcomplexityofKalmanfilteringarenolongerabarriertoitsapplication.Atpresent,thetheoryofKalmanfilterhasbeenwidelyusedinmanyhighte

5、chnologyfields,suchasdefense,military,tracking,guidanceandsoon.Keywords:Kalmanfilter;filter;randomnoise;measurement;temperature第一章緒論1.1.1 Kalman濾波的產生.1.1.2 Kalman濾波原理2.1.3 Kalman濾波的特點及其應用4.第二章Kalman濾波在溫度測量中的應用5.第三章實驗仿真7.3.1 MATLAB仿真程序1.3.2 仿真結果8.結束語.11.第一章緒論1.1 Kalman濾波的產生什么是濾波？濾波是指利用一定的手段抑制無用信號，增強有

6、用信號的數(shù)字信號處理過程。無用信號，也叫噪聲，是指觀測數(shù)據對系統(tǒng)沒有貢獻或者起干擾作用的信號。在工程應用中，如雷達測距、聲吶測距、圖像采集、聲音錄制等，只要是傳感器采集和測量的數(shù)據，都攜帶噪聲干擾。這種影響有的很微小，有的則會使信號變形、失真，有的嚴重導致數(shù)據不可用。那么濾波也不是萬能的，濾波只能最大限度降低噪聲的干擾，即有的濾波是不能完全消除噪聲，有的則可能完全消除。濾波理論就是在對系統(tǒng)可觀測信號進行測量的基礎上，根據一定的濾波準則，采用某種統(tǒng)計量最優(yōu)方法，對系統(tǒng)的狀態(tài)進行估計的理論和方法。所謂最優(yōu)濾波或最優(yōu)估計是指在最小方差意義下的最優(yōu)濾波或估計，即要求信號或狀態(tài)的最優(yōu)估值應與相應的真實值

7、的誤差的方差最小。經典最優(yōu)濾波理論包括Wiener（維納）濾波理論和Kalman（卡爾曼）濾波理論。前者采用頻域方法，后者采用時域狀態(tài)空間方法。由于濾波器（維納）是非遞推的，計算量和存儲量大，難以在工程上實現(xiàn)，不便于實時應用，它僅適用于單通道平穩(wěn)隨機信號。人們試圖將Wiener濾波推廣到非平穩(wěn)和多維的情況，都因無法突破計算機的困難而難以推廣和應用。因此人們逐漸轉向尋求在時域內直接設計最優(yōu)濾波器的方法。Kalman在20世紀60年代初提出了Kalman濾波方法。Kalman濾波方法是一種時域方法。它把狀態(tài)空間的概念引入隨機估計理論中，把信號過程視為白噪聲作用下的一個線性系統(tǒng)的輸出，用狀態(tài)方程來描

8、述這種輸入-輸出關系，估計過程中利用系統(tǒng)狀態(tài)方程、觀測方程和白噪聲激勵，及系統(tǒng)過程噪聲和觀測噪聲，它們的統(tǒng)計特性形成濾波算法。由于所用的信息都是時域內的量，所以Kalman濾波不但可以對平穩(wěn)的一維隨機過程進行估計，也可以對非平穩(wěn)的、多維隨機過程進行估計。為實現(xiàn)對動態(tài)系統(tǒng)的控制，首先需要了解被控對象的實時狀態(tài)。對于復雜動態(tài)系統(tǒng)應用，通常無法測量每一個需要控制的變量，而Kalman濾波能夠利用這些有限的、不直接的、包含噪聲的測量信息去估計那些缺失的信息。同時Kalman濾波算法是遞推的，便于在計算機上實現(xiàn)實時應用，克服了經典Wiener濾波方法的缺點和局限性。1.2 Kalman濾波原理假設某系統(tǒng)

9、k時刻的狀態(tài)變量為4,狀態(tài)方程和量測方程（也稱為輸出方程）表示為xkdi=AkXk+wk（1.2.1）yk=CkXk+Vk（1.2.2）其中，k表示時間，這里指第k步迭代時，相應信號的取值；輸入信號Wk是一白噪聲，輸出信號的觀測噪聲Vk也是一個白噪聲，輸入信號到狀態(tài)變量的支路增益等于1,即B=1；A表示狀態(tài)變量之間的增益矩陣，可以隨時間發(fā)生變化，用A表示第k步迭代時，增益矩陣A的取值；C表示狀態(tài)變量與輸出信號之間的增益矩陣，可以隨時間變化，第k步迭代時，取值用Ck表示，其信號模型如圖1.2.1所示。(1.2.3)(1.2.4)將狀態(tài)方程中時間變量k用k-1代替，得到的狀態(tài)方程和測量方程如下所示

10、:Xk=A兇4Wk4yk=CkXkVk其中，xk是狀態(tài)變量；wk1表示輸入信號是白噪聲;Vk是觀測噪聲；yk是觀測數(shù)據。為了后面的推導簡單起見，假設狀態(tài)變量的增益矩陣A不隨時間發(fā)生變化，wk,Vk都是均值為零的正態(tài)白噪聲，方差分別是Qk和Rk,并且初始狀態(tài)與Wk,Vk都不相關。Kalman濾波是采用遞推的算法實現(xiàn)的，具基本思想是先不考慮輸入信號wk和觀測噪聲Vk的影響，得到狀態(tài)變量和輸出信號(即觀測數(shù)據)的估計值，再用輸出信號的估計誤差加權后校正狀態(tài)變量的估計值，使狀態(tài)變量估計誤差的均方值最小。因此，Kalman濾波的關鍵是計算出加權矩陣的最佳值。當不考慮觀測噪聲和輸入信號時，狀態(tài)方程和量測方

11、程為X'=A?k(1.2.5)?k=CkX；=CkA5C(1.2.6)顯然，由于不考慮觀測噪聲的影響，輸出信號的估計值與實際值是有誤差的，用yk表示yk=yk-?k(1.2.7)為了提高狀態(tài)估計的質量，用輸出信號的估計誤差1k來校正狀態(tài)變量?二人冗Hk(yk-7k)=AXk+Hk(yk-CkAXk)(1.2.8)其中，Hk為增益矩陣，實質是一加權矩陣。經過校正后的狀態(tài)變量的估計誤差及其均方值分別用Xk和R表示，把未經校正的狀態(tài)變量的估計誤差的均方值用P表示£=Xk-見(1.2.9)R=E(Xk雙)(Xk幾)(1.2.10)P=E(Xk-?')(Xk-X；)T(1.2.

12、11)Kalman濾波要求狀態(tài)變量的估計誤差的均方值R為最小，因此Kalman濾波的關鍵就是要得到R與Hk的關系式，即通過選擇合適的Hk,使Pk取得最小值。經過遞推，最終得到一組Kalman遞推公式：Xk=A凡+Hk(ykCkA歌)(1.2.12)Hk=PCkT(CkPk'CkT十R)(1.2.13)P=AkPkJAkT+Qj(1.2.14)Pk=(I-HkCk)R'(1.2.15)假設初始條件已知，其中A,Ck,Qk,Rk,yk,兄，Pj已知，其中晶=Exo,B=varx01.3Kalman濾波的特點及其應用Kalman濾波是用狀態(tài)空間法描述系統(tǒng)的，由狀態(tài)方程和量測方程所組成

13、。Kalman濾波用前一個狀態(tài)的估計值和最近一個觀測數(shù)據來估計狀態(tài)變量的當前值，并以狀態(tài)變量的估計值的形式給出。Kalman濾波具有以下的特點：(1)算法是遞推的，且狀態(tài)空間法采用在時域內設計濾波器的方法，因而適用于多維隨機過程的估計；離散型Kalman算法適用于計算機處理。(2)用遞推法計算，不需要知道全部過去的值，用狀態(tài)方程描述狀態(tài)變量的動態(tài)變化規(guī)律，因此信號可以是平穩(wěn)的,也可以是非平穩(wěn)的，即Kalman濾波適用于非平穩(wěn)過程。(3)Kalmanl采取的誤差準則仍為估計誤差的均方值最小。在實際應用中，Kalman濾波是統(tǒng)計估計理論的里程碑式的進展，同時也是20世紀最偉大的發(fā)現(xiàn)之一。一般地，只

14、要跟時間序列和高斯白噪聲有關或者能建立類似的模型的系統(tǒng)，都可以利用Kalman濾波來處理噪聲問題，都可以用其來預測、濾波。Kalman濾波主要應用領域有以下幾個方面。(1)導航制導、目標定位和跟蹤領域。(2)通信與信號處理、數(shù)字圖像處理、語音信號處理。(3)天氣預報、地震預報。(4)地質勘探、礦物開采。(5)故障診斷、檢測。(6)證券股票市場預測。隨著科技的不斷發(fā)展進步，Kalman濾波理論也將不斷完善，應用領域將更加廣泛。第二章Kalman濾波在溫度測量中的應用下面我將研究Kalman濾波在溫度測量中的應用。根據經驗判斷，舒適的房間的溫度大概在26c左右，可能受空氣流通、陽光等因素影響，房間

15、內溫度會小幅度地波動。我們以分鐘為單位，定時測量房間溫度，這里的1分鐘，可以理解為采樣時間。假設測量溫度時，外界的天氣是多云，陽光照射時有時無，同時房間不是100啾封的，可能有微小的與外界空氣的交換，即引入過程噪聲wk,其方差為Q,大小假定為Qk=0.01(假如不考慮過程噪聲的影響，即真實溫度是恒定的，那么這時候Qk=0)。對照式(1.2.1)和式(1.2.2),相應地，Ak=1,Qk=0.01,狀態(tài)xk是在第k分鐘時的房間溫度，是一維的。那么該系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以寫為xk=xkwk現(xiàn)在用溫度計開始測量房間的溫度，假設溫度計的測量誤差為±0.5C,從出廠說明書上我們得知該溫度計的方差為

16、0.25。也就是說，溫度計第k次測量的數(shù)據不是100%®確的,它是有測量噪聲Vk的，并且其方差Rk=0.25,因此測量方程為yk=%+Vk。我們也很容易想到該系統(tǒng)的狀態(tài)和觀測方程為Xk二人冬Wkyk=Ckxkvk式中，xk是一維變量溫度；A=1;Ck=1;Wk和Vk的方差為Qk和R。模型建好以后，就可以利用Kalman濾波了。假如要估算第k時刻的實際溫度值，首先要根據第k-1時刻的溫度值來預測k時刻的溫度。(1) 假定第k-1時刻的溫度值測量值為24.9C,房間真實溫度為25C,該測量值的偏差是0.1C,即協(xié)方差P(k-1)=0.12。(2) 在第k時刻，房間的真實溫度是25.1C,

17、溫度計在該時刻測量的值為25.5C,偏差為0.4C。我們用于估算第k時刻的溫度有兩個溫度值，分別是k-1時刻24.9C和k時刻的25.5C,如何融合這兩組數(shù)據，得到最逼近真實值的估計呢？首先，利用k-1時刻溫度值預測第k時刻的溫度，其預計偏差Pj=P(k-1)+Qk=0.02,計算Kalman增益Hk=P/(R'+R)=0.0741,那么這時候利用k時刻的觀測值，得到溫度的估計值為幾=24.9+0.0741*(25.1-24.9)=24.915Co可見，與24.9C和25.5C相比較，Kalman估計值24.915C更接近真實值25.1C。此時更新k時刻的偏差Pk=(I-HkCJR&#

18、39;=0.0186.最后由*=24.915C和Pk=0.0186,可以繼續(xù)對下一時刻觀測數(shù)據yk+進行更新和處理。(3)這樣，Kalman濾波器就不斷地把方差遞歸，從而估算出最優(yōu)的溫度值。當然,我們需要確定Kalman濾波器兩個初始值，分別是和R。第三章實驗仿真MATLAB一款主要用于數(shù)值計算和圖像處理的工具軟件。由于它采用了矩陣的形式存貯數(shù)據，因此在數(shù)據處理領域能夠發(fā)揮速度快，效率高的優(yōu)點。它包含了許多功能強大的工具箱，借助于這些工具箱，用戶可以非常方便地進行數(shù)據分析和處理工作。止匕外，和其它軟件比較，由于MATLAB于數(shù)據處理的針對性，它還具有代碼簡潔的優(yōu)勢。正是基于上述情況，本文采用了

19、MATLAB實現(xiàn)仿真，通過實驗結果仿真圖可以直觀的看出，Kalman波的效果還是不錯的，使估計的值更逼近真實值。3.1MATLAB仿真程序下面是實驗仿真的一段簡短程序，假設采樣頻率N為200,兩個初始值為26.1C和0.0103 %4 functionmain5 %6 N=200;7 CON=26;8 Xexpect=CON*ones(1,N);9X=zeros(1,N);10Xkf=zeros(1,N);11y=zeros(1,N);12P=zeros(1,N);13X(1)=26.1;14P(1)=0.01;15y(1)=25.9;16Xkf(1)=y(1);17Q=0.01;18R=0.

20、25;19W=sqrt(Q)*randn(1,N);20V=sqrt(R)*randn(1,N);21A=1;22C=1;23I=eye(1);24%25fork=2:N26X(k尸A*X(k-1)+W(k-1);27y(k尸C*X(k)+V(k);28X_pre=A*Xkf(k-1);P_pre=A*P(k-1)*A'+Q;H=P_pre*inv(C*P_pre*C'+R);e=y(k)-C*X_pre;Xkf(k)=X_pre+H*e;P(k)=(I-H*C)*P_pre;end%Err_Messure=zeros(1,N);Err_Kalman=zeros(1,N);fo

21、rk=1:NErr_Messure(k)=abs(y(k)-X(k);Err_Kalman(k)=abs(Xkf(k)-X(k);endt=1:N;figure('Name','KalmanFilterSimulation','NumberTitle','off');plot(t,Xexpect,'-b',t,X,'-r',t,y,'-k',t,Xkf,'-g');legend('expected','real','measur

22、e','kalmanextimate');xlabel('sampletime');ylabel('temperature');title('KalmanFilterSimulation');figure('Name','ErrorAnalysis','NumberTitle','off');plot(t,Err_Messure,'-b',t,Err_Kalman,'-k');legend('messureerror','kalmanerror');xlabel('sampletime'