連續(xù)褶積與相關

1、1、傅里葉積分是分析連續(xù)信號的理論基礎。最簡單的連續(xù)信號是單位脈沖信號單位脈沖信號（Impluse） ，它的表示式為DSP:幾種基本的連續(xù)信號)(t0, 00,)(ttt1)( dtt并且CFT的性質（6）:對偶性質)()(1)(fftx1)(t例1、計算單位信號 )( 1)(ttx的頻譜。因為單位脈沖信號 因此， 是一個實對稱函數：其中 有任意階導數，在一個有限區(qū)間外的取值等于零。滿足上式的函數，我們稱其為單位脈沖信號單位脈沖信號，或或 函數函數。 函數)(t函數的真正表達式是 )0()()()(),(dttttt)0()()()(),(dttttt)(t)()(tt函數于是，可以得到 )(

2、1)()(2fdtetffti按照傅里葉積分變換中的對偶性質，1)()(tt)(2tdfeftidtx)()(例:計算函數記 )(2tdfefti)()()()()(txdtxttx)()()()()()(2222)(2dexfXdfefXdfdexeddfextxfiftififtitfi其中可以得到這是Fourier變換的又一種推導方法。連續(xù)信號的褶積將前面的公式進行推廣（P45）： )()()()(*)(tdtyxtytx稱其為連續(xù)信號x(t)與y(t)的線性褶積線性褶積(Linear Convolution), 簡稱褶積褶積。表明:任何連續(xù)信號等于其與單位脈沖信號的褶積，稱此性質為連續(xù)

3、信號關于線性褶積的脈沖不變性，簡稱線性褶積的脈沖不變性。)()()()()(txdtxttx連續(xù)信號的褶積)()(*)()()()()()()()()()()(ttxtytuduuyutxtdtyttxdtyxtytx褶積是否具有可交換性?)()()()(*)(tdtyxtytx連續(xù)信號的褶積)()(fXtx)()(fYty設)()()()()()()()()()()(222)(2tdfefYfXdfefYdexddfefYxdtyxtytxftiftifitfi則有)()()(*)(fYfXtytxi.e.,這表明：兩個連續(xù)信號的褶積，其頻譜就是兩個對應信號頻譜的乘積；反過來講，兩個頻譜乘積

4、，其信號就是相應的兩個連續(xù)信號的褶積。 連續(xù)信號的褶積顯然，可以用兩種不同的方法證明：顯然，可以用兩種不同的方法證明：褶積運算具有可交換性！褶積運算具有可交換性！連續(xù)信號的褶積)(*)()()()()()()()()(0000)(202020200fYfXdfffXfYdfdtetxfYdtedfefYtxdtetytxtffiftitfifti所以有)(*)()()(fYfXtytx連續(xù)信號的褶積20221)(ttttx2021)(ttty(Continuous_Convolution.m)連續(xù)信號的褶積1、前面講過的前面講過的CFT的線性性質，僅僅涉的線性性質，僅僅涉及兩個信號的簡單加減；

5、注意信號的乘及兩個信號的簡單加減；注意信號的乘積與褶積是完全不同的積與褶積是完全不同的。)()()(*)()(*)()()(fYfXtytxfYfXtytx2、褶積是褶積是Fourier分析中最最重要的性質及分析中最最重要的性質及運算，其含義非常廣泛；濾波只是一種應運算，其含義非常廣泛；濾波只是一種應用，這種應用通常是借助褶積原理來實現用，這種應用通常是借助褶積原理來實現的的。連續(xù)信號的相關 信號x(t)和y(t)的線性相關（線性相關（Linear Correlation，簡稱相關）定義為 （P173：連續(xù)相關內容空缺）：連續(xù)相關內容空缺）)()()()()(tdtyxtytx 特別地，若信號

6、x(t)=y(t),我們稱其為自相關(Auto-Correlation)，否則就是互相關(Cross-Correlation)。 )()()()(ttytxtRxy通常記連續(xù)信號的相關)()()()()()()()()()()(tdytxtuduuytuxtdtyttxdtyx因此有)()()()()()()(tdytxdtyxtytx連續(xù)信號的相關)()(fYty)()(fXtx設)()()()()()()()()()()(222)(2tdfefYfXdfefYdexddfefYxdtyxtytxftiftifitfi)()()()(fYfXtytx則有i.e.，這說明了信號的相關運算不具有

7、不具有可交換性質。 連續(xù)信號的相關20221)(ttttx2021)(ttty(Continuous_Correlation.m)應用：能量計算公式dttxtxdttxE)()()(2dtdfefXtxfti2)()(dffXdtetxfti)()(2dffXfX)()(dffX2)(（P50）連續(xù)信號的褶積與相關 1、有關、有關 函數的計算；函數的計算；2、連續(xù)信號的褶積（可交換性、頻譜表達式）；、連續(xù)信號的褶積（可交換性、頻譜表達式）；連續(xù)信號的褶積與相關分析的重點是：連續(xù)信號的褶積與相關分析的重點是：公式推導公式推導！3、連續(xù)信號的相關（頻譜表達式）；、連續(xù)信號的相關（頻譜表達式）；4、能量表達式。、能量表達式。有關褶積運算的特別申明 無論是連續(xù)信號還是離散信號，褶積運算是無論是連續(xù)信號還是離散信號，褶積運算是它們最最重要的性質；其重要性遠在連續(xù)信號的它們最最重要的性質；其重要性遠在連續(xù)信號的其它八個性質之上。其它八個性質之上。時間域的褶積對應著頻率域的乘積；時間域的褶積對應著頻率域的乘積；時間域的乘積對應著頻率域的褶積。時間域的乘積對應著頻率域的褶積。這是這是Fourier分析方法普遍應用的理論基礎；在此分析方法普遍應用的理論基礎；在此基礎上衍生出許多快速算法?；A上衍生出許多快速算法。 至此，我們已學完連續(xù)信號分析的所有理論至此，我們已學