高中數學復數教學案例

1、案例分析尉氏縣第三高級中學姚翠玲一、案例背景1、教材分析本節(jié)課是復數代數形式的四則運算的第二課時，是四則運算的重點，也是本章的重點.復數的乘法法則是規(guī)定的，其合理性表現在：這種規(guī)定與實數乘法的法則是一致的，而且實數乘法的有關運算律在這里仍然成立.由除法是乘法的逆運算的這種規(guī)定，可以得到復數除法的運算法則.教材在內容編排上使用問題探究式的方法，引導學生能夠自己探究新知，發(fā)現新知，理解新知學生不僅學到了知識，而且培養(yǎng)了學習興趣，提高了學習積極性.2、學情分析高二的學生3、教學目標設計：知識與技能：理解并掌握復數的代數形式的乘法與除法運算法則，深刻理解它是乘法運算的逆運算+過程與方法：理解并掌握復數

2、的除法運算實質是分母實數化類問題情感、態(tài)度與價值觀：復數的幾何意義單純地講解或介紹會顯得較為枯燥無味，學生不易接受，教學時，我們采用講解或體驗已學過的數集的擴充的，讓學生體會到這是生產實踐的需要從而讓學生積極主動地建構知識體系。教材內容及重點、難點分析教學重點：復數代數形式的除法運算。教學難點：對復數除法法則的運用。教學設想：如果兩個復數的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數相等即：如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+dia=c，b=d，只有當兩個復數不全是實數時才不能比較大小4、教學思路本節(jié)課的教學以建構主義學習理論為指導，以學生為中心，以問題為出發(fā)點，使課堂教學過程成為學生自主地

3、進行信息加工、知識意義構建、創(chuàng)新能力發(fā)展的。教師在教學過程中則適時介入，引導、啟發(fā)、組織、幫助、促進。設計創(chuàng)造性思維問題。所謂創(chuàng)造性思維問題即是指利于學生創(chuàng)造性思維發(fā)展的問題。創(chuàng)造性思維問題的設計應遵循這樣幾個原則：題型具有開放性、解題富有挑戰(zhàn)性。5、教學手段互動法：老師提出問題，由學生回答，并從知識中獲得啟迪，從而解決問題。任務驅動教學法：將所要學習的新知識隱含在一個或向個問題之中，學生通過對所提的任務進行分析、討論，并在老師的指導、幫助下找出解決問題的方法，最后通過任務的完成而實現對所學知識的意義建構。二、案例描述1、新課導入提出問題：試計算5(2i)活動設計：先由學生獨立思考，然后交流看

4、法學情預測：學生可能類比單項式與多項式的乘法來計算活動成果：(板書)5(2+i)=(2+i)+(2+i)+(2+i)+(2+i)+(2+i)=10+5i.2、講解新課設計意圖通過比較分別運用實數集中乘法的意義和復數的加法法則計算所得的結果，得到結論：m(a+bi)=ma+mbi，其中m，a，bR.引出新課.兩個復數相乘又該如何計算探究新知提出問題：如何計算(2+i)(3+2i)活動設計：先讓學生獨立思考，然后小組交流，教師巡視指導，并注意與學生交流.學情預測：學生可能類比兩個多項式的乘法來計算.活動成果：(板書)(1) 規(guī)定，復數的乘法法則：設乙=a+bi,Z2=c+di是任意兩個復數，那么它

5、們的積：(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(acbd)+(ad+bc)i.(2) (2+i)(3+2i)=6+3i+4i+2i2=4+7i.設計意圖遇到問題就得解決問題，但是復數又是一個全新的知識，它是實數集的擴充，所以在不違背原有知識的基礎上規(guī)定了復數的乘法法則，使學生體會知識的創(chuàng)新與發(fā)展的過程理解新知提出問題1：怎樣理解復數的乘法法則它可能滿足哪些運算律活動設計：學生獨立思考，然后同學間交流學情預測：學生可以獨立理解復數的乘法法則，并寫出它滿足的運算律活動成果：(1) 可以看出，兩個復數相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得的結果中把i2換成-1，并且把實部與虛部分

6、別合并即可.兩個復數的積是一個確定的復數(2) 實數集上的乘法滿足的運算律，可以直接推廣到復數集上的乘法運算中：對于任意Z1，Z2，Z3C,有Z1Z2=Z2Z1,(Z1Z2)Z3=Z1(Z2Z3),Z1(Z2+Z3)=Z1Z2+Z1Z3.設計意圖準確地把握法則及其滿足的運算律，為正確熟練地運用打下良好的基礎提出問題2：計算i5,i6,i7,i8的值，你能推測in(nN*)的值有什么規(guī)律嗎活動設計：學生獨立思考，然后同學間交流結果，教師巡視指導學情預測：學生能夠計算出四個值,并說出周期性活動成果：i5=i,i6=1,i7=i,i8=1,推測i4n+1=i,i4n+2=1,i4n+3=i,i4n+

7、4=1(nN*).設計意圖了解i的幕的周期性，培養(yǎng)學生的觀察和歸納能力.運用新知例1計算：(1) (1i)2;(2)(12i)(3+4i)(1+2i).思路分析：第題可以用復數的乘法法則計算，也可以用實數系中的乘法公式計算；第(2)題可以按從左到右的運算順序計算，也可以結合運算律來計算.解：(1)解法一：(1i)2=(1i)(1i)=1i-i+i2=2i；解法二：(1i)2=12i+i2=2i.(2) 解法一:(12i)(3+4i)(1+2i)=(3+4i6i8i2)(1+2i)=(112i)(1+2i)=(11+4)+(222)i=15+20i;解法二：(12i)(3+4i)(1+2i)=(

8、12i)(1+2i)(3+4i)=5(3+4i)=15+20i.點評：此題主要是鞏固復數乘法法則及運算律，以及乘法公式的推廣應用.特別要提醒其中(一2i)4i=8,而不是一8.探究新知提出問題1:在例1中12i與1+2i的積恰好是一個實數，觀察這兩個復數之間有何聯系活動設計：學生獨立思考，然后交流.學情預測：在教師的引導下，學生能夠得出兩個復數的異同.活動成果：一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數.虛部為0的兩個共軛復數也叫共軛虛數.注意：z的共軛復數常用z表示.即：若z=a+bi，貝Uz=abi.設計意圖例1(2)為引出共軛復數的概念提供了實例支持，從而

9、得出共軛復數的定義，使學生對知識的接受變得自然.提出問題2:類比實數的除法，聯系復數減法法則的引入過程，探求復數除法的法則.活動設計：引導學生運用乘法法則以及復數相等的概念來得到除法法則.活動成果：(1)規(guī)定復數的除法是乘法的逆運算，即把滿足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di豐0)復數x+yi,叫做復數a+bi除以c+di的商.(2)經計算可得(exdy)+(dx+cy)i=a+bi.根據復數相等的定義，有exdy=a,dx+cy=b.由此得x=ac+bdc2+d2，bcady=.ac+bdbcad于是得到復數除法的法則是:(a+bi)十(+di)二c2+d2+c2+d2i.由此可見

10、，兩個復數相除(除數不為0),所得的商是一個確定的復數.理解新知提出問題1：若Z1,Z2是共軛復數，那么在復平面內，它們所對應的點有怎樣的位置關系(2) zi是一個怎樣的數(3) 若zi是實數，則它的共軛復數是怎樣的數活動設計：學生獨立探究，然后再小組交流.教師巡視指導.學情預測：學生通過獨立思考，然后與同學交流看法，最后能夠得出正確的結論.活動成果：(1)兩個共軛復數的對應點關于實軸對稱；(2) Z1Z2=|Zl|2=|Z2|2；(即zz=|z|2=|z|2)(3) Z1的共軛復數仍是Z1,即實數的共軛復數是它本身.設計意圖使學生加深對共軛復數概念的了解.提出問題2:在實際進行復數運算時，每

11、次都按照乘法逆運算的辦法來求商，這是十分麻煩的.如何簡化求商的過程這種簡化的求商過程與實數系中作何種運算的過程相類似活動設計：起初學生會無從下手，可以提示他們觀察商的實部和虛部的分母與除數的關系，從而得解.學情預測：學生在教師的指導下，基本上能發(fā)現規(guī)律.活動結果：(1)在進行復數除法運算時，通常先把(a+bi)十(cdi)寫成齊&的形式，再把分子與分母都乘以分母的共軛復數c-di，化簡整理后即可.(2)這種求商過程與作根式除法時的處理是很類似的在作根式除法時，分子、分母都乘以分母的有理化因式”從而使分母有理化”這里分子和分母都乘以分母的實數化因式”共軛復數)，從而使分母實數化”設計意圖

12、簡化求解過程，有利于熟練運用法則.運用新知例2計算(1+2i)十-4i).1 +2i思路分析：先把(1+2i)十(34i)寫成廠才的形式，然后分子、分母都乘以3+4i,計算整理即可.解:(1+2i)寧(34i)1+2i3-4i3+4i3+4i38+6i+4i_5+10i_12.32+42_25_-5+5i點評：例2是復數除法的計算題，目的是讓學生熟練操作上述作除法的簡便過程.鞏固練習計算:(1)3+?(2)(''3+-；2i)(-：3+,：2i);1+i2+ii解:7+i3+4i34i3-4i2525i252i+2i+i23+i(2)(：'3+*2i)(.-'3

13、+.；2i)_(:'2i)2(,''3)2_2i23_23_5;3+ii._13i.i變練演編1.已知：-_1+2i，則橫線上可以填的條件是什么(可以多寫幾種）2 計算：口；并自己編制一道類似的題目.答案：+2i,3-4i或5,1-2i等等.（先寫出被除數或除數中的一個，然后求另一個）3 +4i3+4i4+3i25i2解法一:=i；4-3i4-3i4+3i25'；解法3+4i_3+4ii_3+4ii4-3i_4-3ii_3+4i編制的題目：35+5i，（編制的原則設分子是zi_a+bi，則分母為Z2_b-ai,即分母與i的乘積就是分子，可直接約分，從而達到分母實

14、數化）.設計意圖第一個題目的設計不僅是為了訓練學生靈活處理問題，熟練運用知識的能力，而且可以培養(yǎng)學生發(fā)散思維與集中思維的能力，還可以考查學生對知識、問題理解的深刻性和思維的深刻性、全面性題型的新穎性、開放性更是不言而喻第二個題的目的是使學生更深刻理解復數的除法就是分母的實數化.3、拓展延伸1復數a+bi與c+di的積是實數的充要條件是（）A.ad+be_0B.ae+bd_0+i.C.ae_bdD.ad_be23+i1+2,3i20102.已知(1+2i)z_4+3i，求z.計算解析：1.若(a+bi)(e+di)_(acbd)+(ad+be)i是實數，則只需虛部ad+be_0.故答案為A.2.

15、由已知可得；_帛_-J%冒_10-5i_2-i，所以z_2+010=i1+S3i+1+23ip21005=i+1005=i+i1005=i+i4x25+1=i+i=2i.4、高考連線復數在高考中占有很重要的地位。高考中多以選擇題形式出現，屬易得分題型，要求學生必須掌握。5、課堂小結對給定的三個復數Z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i，你能研究些什么用什么樣的方法來研究（數系的擴充,當復數的虛部為0時，復數也就是特殊的實數；復數的分類；復數相等的概念;復數的幾何意義；復數的模；復數的運算;復數的運算律；任一個復數的共軛復數及性質等本章所學的所有知識用類比、轉化、數形結合、化

16、虛為實等思想方法來研究.）6布置作業(yè)習題A組4、5題.7、補充練習基礎練習復數(15+&)(12i)的值為已知復數zi=3+4i,72=t+i，且zi2是實數,則實數t等于（）4C.3D.復數z=：+2：在復平面上對應的點不可能位于A.第一象限B.第二象限C第三象限D.第四象限z1若Z1=a+2i，z2=34i且為純虛數，則實數，z2111已知乙=5+10i，Z2=34i，一=一+一，求z.，zZ1z2a的值為答案：38i5.2i.拓展練習已知2i3是關于x的方程2x2+px+q=0的一個根，求實數p,q的值.思路分析：2i-3是方程的根，代入方程后根據復數相等的定義，化虛為實，即可求

17、得.解：由已知得：2(2i3)bb2b2cb2b24acb2:x2+2x2a+(2a)2(2a)2a，(x+2a)2，(x+2a)2+p(2i3)+q=0,103p+q0,從而(10-3p+q)+(2p24)i0.于是，有解得p12,q2p240，26.點評：解決復數問題的關鍵就是轉化為實數問題來處理，復數相等就是實現這一轉化的很好的工具.三、案例反思本節(jié)課是本章的重點內容，同時復數乘、除法的法則的理解更是難點.故在本節(jié)課的設計上多次采取類比的方法，使知識在不失其本質的情況下，更易于理解.同時這種處理方法可以使新知識與所學知識建立聯系性，有利于知識的網絡化和系統(tǒng)化.在整個設計上突出了問題驅動式

18、的教學方法，以問題為主線，以學生為主體，隨著問題的提出與解決，教學內容也被隨之很好地學習與理解.在例題和習題的設計環(huán)節(jié)上，力求突出本節(jié)課的重點：熟練掌握復數的乘除法運算以及數學思維方式與技能形成的培養(yǎng).例題的選題目的有三：一是鞏固所學法則及運算律；二是通過一題多解培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力；三是培養(yǎng)計算能力，以形成技能.變練演編的第1題考查學生靈活運用知識、發(fā)散思維及逆向思維的能力；第2題則是使學生更加深刻地體會復數除法的實質就是分母實數化”，培養(yǎng)學生問題理解的深刻性、全面性.為了進一步鞏固所學，又設計了鞏固練習、達標檢測和補充練習等環(huán)節(jié).在補充練習中為學有余力的同學安排了拓展練習，增加思維量的同時也開闊了視野.我們知道，對于實系數一元二次方程ax2+bx+c0，如果b24ac<0,那么它在實數集R內沒有實根.現在把實數集R擴充為復數集C，再來考察這一問bc題.經過變形，原方程可以化為x2+X-，aab24ac由于b24ac2a2是正實數，我們可以得到±-b24ac"2a.所以當b24ac<0時，實系數一元二次方程ax2+bx+c=0在復數集C內有b±/b24aci且只有兩個根x="b24ac<0.2a