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文檔簡介
1、 2.3 2.3數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法(1)(1)對于某類事物,由它的一些特殊事對于某類事物,由它的一些特殊事例或其全部可能情況,歸納出一般例或其全部可能情況,歸納出一般結(jié)論的推理方法,叫歸納法。結(jié)論的推理方法,叫歸納法。歸納法歸納法 完全歸納法完全歸納法不完全歸納法不完全歸納法由特殊由特殊 一般一般 特點特點:a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3dan=a1+(n-1)d如何證明如何證明:1+3+5+(2n-1)=n2 (nN*)二、數(shù)學(xué)歸納法的概念:二、數(shù)學(xué)歸納法的概念:證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)題證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)題, ,可用下列方法可用下列方法來證明它們的正確性來證明它們
2、的正確性: :(1)(1)驗證驗證當(dāng)當(dāng)n n取第一個值取第一個值n n0 0( (例如例如n n0 0=1)=1)時命題成立時命題成立, ,(2)(2)假設(shè)假設(shè)當(dāng)當(dāng)n=k(kn=k(k N N* * ,k k n n0 0 ) )時命題成立時命題成立, , 證明當(dāng)證明當(dāng)n=k+1n=k+1時命題也成立時命題也成立完成這兩步,就可以斷定這個命題對從完成這兩步,就可以斷定這個命題對從n n0 0開始的所開始的所有正整數(shù)有正整數(shù)n n都成立。這種證明方法叫做都成立。這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法。驗證驗證n=nn=n0 0時命時命題成立題成立若若當(dāng)當(dāng)n=k(n=k(k k n n0 0 )
3、)時命題成立時命題成立, , 證明當(dāng)證明當(dāng)n=k+1n=k+1時命題也成立時命題也成立命題對從命題對從n n0 0開始的所開始的所有正整數(shù)有正整數(shù)n n都成立。都成立。111111證明:證明:1)當(dāng)n =1式,a = a +(1-1)d = a ,結(jié)論成立1)當(dāng)n =1式,a = a +(1-1)d = a ,結(jié)論成立1nk由由 k1k1k+1kk+1kk+11k+111111n1n12)假2)假n = k成n = k成立立,即即a = a +(k-1)da = a +(k-1)d a= a +d a= a +d a= a +(k-1)d+da= a +(k-1)d+d = a +kd = a
4、 +(k+1)-1d = a +kd = a +(k+1)-1d 1) 1)、2)2)知知a = a +(n-1)d成a = a +(n-1)d成立立. .所以所以n=k+1時結(jié)論也成立時結(jié)論也成立那么當(dāng)那么當(dāng) 時時nn1例:已知數(shù)列a 為等差,公差為d, :通項公式為a = a +(n-1)d求證求證nn-1n1已知數(shù)列a 為等為q,求證:通項:公式為a = a qnn-1nn-1練習(xí)練習(xí)比數(shù)列,比數(shù)列,公比公比(提示:a = qa)(提示:a = qa)注意注意 1 1. . 用數(shù)學(xué)歸納法進行證明時用數(shù)學(xué)歸納法進行證明時, ,要分兩個要分兩個步驟步驟, ,兩個步驟缺一不可兩個步驟缺一不可.
5、 .2 (1)(1)(歸納奠基歸納奠基) )是遞推的基礎(chǔ)是遞推的基礎(chǔ). . 找準(zhǔn)找準(zhǔn)n n0 0(2)(2)(歸納遞推歸納遞推) )是遞推的依據(jù)是遞推的依據(jù)n nk k時時命題成立作為必用的條件運用,而命題成立作為必用的條件運用,而n nk+1k+1時情況則有待時情況則有待利用假設(shè)利用假設(shè)及已知的定義、公式、及已知的定義、公式、定理等加以證明定理等加以證明證明:證明:當(dāng)當(dāng)n=1n=1時,左邊時,左邊=1=1,右邊,右邊=1=1,等式成立。,等式成立。 假設(shè)假設(shè)n=k(kN ,k1)n=k(kN ,k1)時等式成立時等式成立, ,即:即: 1+3+5+1+3+5+(2k-1)=k+(2k-1)=
6、k2 2, 當(dāng)當(dāng)n=k+1n=k+1時:時: 1+3+5+1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1=k+(2k-1)+2(k+1)-1=k2 2+2k+1=(k+1)+2k+1=(k+1)2 2, 所以當(dāng)所以當(dāng)n=k+1n=k+1時等式也成立。時等式也成立。 由由和和可知,對可知,對nN nN ,原等式都成立。,原等式都成立。例、用數(shù)學(xué)歸納法證明例、用數(shù)學(xué)歸納法證明1+3+5+1+3+5+(2n-1)=n+(2n-1)=n2 2 (nN nN ). . 請問:請問:第第步中步中“當(dāng)當(dāng)n=k+1n=k+1時時”的證明可否改換為:的證明可否改換為:1+3+5+1+3+5+(2k-1)+2(k+1
7、)-1= 1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+(2k-1)+(2k+1)+(2k-1)+(2k+1)= = (k+1)= = (k+1)2 2 ? ?為什么?為什么?(k+1)1+(2k+1)2例例:用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明2 22 22 22 2n n( (n n+ +1 1) )( (2 2n n+ +1 1) )1 1 + +2 2 + +3 3 + + +n n = =6 6根據(jù)計算結(jié)果,猜想根據(jù)計算結(jié)果,猜想SnSn的表達式,并用數(shù)的表達式,并用數(shù)學(xué)歸納法進行證明。學(xué)歸納法進行證明。12341111,4 73231,nnS SS S已知數(shù)列, ,1 47
8、 10()()計算練習(xí):練習(xí):已知數(shù)列已知數(shù)列 11123:2,3(2)(1),;31(2)2nnnnnnaaaana aa滿足求證明例、求證例、求證: :( (n+1)(n+2)n+1)(n+2)(n+n)=2(n+n)=2n n 1 1 3 3 (2n-1)(2n-1)證明:證明: n=1 n=1時:左邊時:左邊=1+1=2=1+1=2,右邊,右邊=2=21 11=21=2,左邊,左邊= =右邊,等右邊,等 式成立。式成立。 假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k(kN n=k(kN )時有:)時有: (k+1)(k+2)(k+1)(k+2)(k+k)=2(k+k)=2k k 1 1 3 3 (2n-1), (2n-1), 當(dāng)當(dāng)n=k+1n=k+1時:時: 左邊左邊=(k+2)(k+3)=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)(k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)(k+k) = 2 = 2k k 1 1 3 3(2k-1)(2k+1)(2k-1)(2k+1)2 2 = 2 =
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