專題4函數(shù)的概念及其表示方法解析版

1、專題4函數(shù)的概念及其表示方法專題知識梳理1 .函數(shù)的概念設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法則f,對于集合A中的任何一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做從A至UB的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x),xCA.2 .函數(shù)的定義域與值域在函數(shù)y=f(x),xCA中，x叫做自變量，集合A叫做函數(shù)的定義域；與x的值對應(yīng)的輸出值y叫做函數(shù)值；函數(shù)值的集合y|y=f(x),xCA叫做函數(shù)的值域.3 .函數(shù)的三要素函數(shù)的構(gòu)成要素為定義域、對應(yīng)法則、值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)法則決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)法則完全一致,我們稱這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù).4 .函數(shù)的表示表示

2、函數(shù)的常用方法有列表法、解析法和圖象法.5 .分段函數(shù)在定義域內(nèi)不同部分上，有不同的解析表達(dá)式，這樣的函數(shù),通常叫做分段函數(shù).分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集,其值域等于各段函數(shù)的值域的并集,分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).考點(diǎn)探究考向1函數(shù)的概念【例】（1）已知A=1,2,3,k,B=4,7,a4,a2+3a,aCN*,kCN*,xCA,yCB,f：x-y=3x+1是從定義域A到值域B的一個(gè)函數(shù)，求a,k的值；（2）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是.3o,ox2-1,y=jx3與y=52;尸與丫=*1；x+1y=lnex與y=elnx;y=x0與y=4x【解析】（1

3、）（定義法）由對應(yīng)法則1-4,2-7,310,又k-3k+1,故a2+3a=10（a4=10舍去），解得a=2或a=一5（舍去）,故3k+1=a4=16,解得k=5.a=2,k=5.(2)由y=3不與丫=%2化簡為y=x與y=|x|,兩個(gè)函數(shù)的對應(yīng)法則不相同，不表示同一函數(shù).-x21山、,一、,山、,一、，"山、，-0+一0p、=的7E義域?yàn)閤|xd1,y=x1的7E義域?yàn)镽,兩個(gè)函數(shù)的7E義域不相同，不表不同一函x+1y=lnex的定義域?yàn)镽,y=e1nx的定義域?yàn)閤lx>0,兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不表示同一函數(shù).y=x0與y=4的定義域、對應(yīng)法則完全相同，表示同一函數(shù).故

4、應(yīng)填.x題組訓(xùn)練1.設(shè)集合A=x|1xw2B=x|1xw4有以下4個(gè)對應(yīng)法則：f:x-y=x2;f：x-y=3x2;f：x-y=x+4;f：xy=4x2,其中不能構(gòu)成從A到B的函數(shù)的是.(填序號)【解析】按函數(shù)的定義判斷，中的對應(yīng)能構(gòu)成從A到B的函數(shù)；而中若x=2,則y=6?B,中若x=2,則y=0?B,即中的對應(yīng)不能構(gòu)成從A到B的函數(shù).故應(yīng)填2 .下列各組的兩個(gè)函數(shù)中表示同一函數(shù)的是.CDy=21og2x與y=1og2x2;y=x2與y=.x2-4x+4；6,x,3l3f1-x+1y=logaa(a>0,aw1有y=V？；y=xT1與y=1【解析】與中的兩個(gè)函數(shù)，其定義域不同，中的兩個(gè)

5、函數(shù)，其值域不同，它們都要不是同一函數(shù)；而中的兩個(gè)函數(shù)，定義域和值均為R,其函數(shù)都可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為y=x,它們是同一函數(shù)，故應(yīng)填.3 .(易錯(cuò)題)下列所給圖形中是函數(shù)圖象的個(gè)數(shù)為.【解析】中的圖形，直線x=a(a>0)與其有兩個(gè)交點(diǎn)，不符合函數(shù)的定義，從而不是函數(shù)的圖象，中的圖形，當(dāng)x=x0時(shí)，對應(yīng)的y值有兩個(gè)，不符合函數(shù)的定義，也不是函數(shù)的圖象，中的圖形都是函數(shù)的圖象，故是函數(shù)圖象的個(gè)數(shù)為2.考向2函數(shù)的解析式【例】根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式：(1)已知f(x)是一次函數(shù),且f(f(x)=4x+3;(2)已知f(d+1)=x+2也；(3)若f(x)對于任意實(shí)數(shù)x恒有2f(x)f(x)=

6、3x+1;(4)已知f(0)=1,對任意的實(shí)數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)y(2xy+1).【解析】(1)(待定系數(shù)法)設(shè)貽)=2*+3則f(f(x)=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+3a2=4,a=2a=2，十解得“或。.故f(x)=2x3或f(x)=2x+1.ab+b=3,b=-3b=1(2)解法1(換元法)：設(shè)t=近+1,則x=(t-1)2(t>1)代入原式有f(t)=(t1)2+2(t1)=t22t+1+2t2=t21.f(x)=x21(x>1)解法2(配湊法)：x+2%3=(x)2+2yA+11=(浜+1)21,.f(x+1)=(x+1)2-

7、1(>/x+1>1)即f(x)=x2-1(x>1)(3)用一x換x得2f(x)f(x)=3x+1,與原式聯(lián)立消去f(x)得f(x)=x+1.(4)令x=0,得f(y)=f(0)y(y+1)=1+y2y,f(y)=y2+y+1,即f(x)=x2+x+1.題組訓(xùn)練1 .已知f（怖）=32則他）二【解析】令+=石£之0：,則£二F所以，所以，故答案為：（r>0）2 .函數(shù)/(力滿足f(-x)-lx,則f(i)-【解析】由題意知臼+/（一幻二"匕天0+f便）=-改故答案為2x.,1、313 .(易錯(cuò)題)已知函數(shù)y=f(x)滿足f(x+)=x+1,求

8、f(x).xx1.1.一【解析】令t=x+,則當(dāng)x>0時(shí)，t=x+2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號；xx11t=x+=(x*)W2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等三，所以t匚(°°,2J2,4元),x-x又fix1lx1Ix2-14J；1lx1x-31,xxx2xx_23_3f(t)=t(t3)+1=t-3t+1,即f(x)=x-3x+1.，f(x)=x3_3x+1,X£(-00,-2U2,-He).考向3分段函數(shù)2x+a,x<1,【例】已知實(shí)數(shù)awQ函數(shù)f(x)=*若f(1a)=f(1+a),則a的值為;x2a,x>l,3x-1,xv1,(2)設(shè)函數(shù)f(x)=

9、xx則滿足f(f(a)=2f的a的取值范圍是;12,x>i,.一x2+1,x"由，、2.(3)已知函數(shù)f(x)="則滿足不等式f(1x2)>f(2x)的x的取值范圍是1,x<0,【解析】(1)當(dāng)a>0時(shí)，1a<1,1+a>1,3由f(1a)=f(1+a),可得2(1a)+a=(1+a)2a,解得a=-2,不合題息.3，當(dāng)a<0時(shí)，1a>1,1+a<1,由f(1a)=f(1+a),可得一(1-a)-2a=2(1+a)+a,解得a=-4,符合題意.1-a的值為一3.4(2)由f(f(a)=2*a),得f(a)>1當(dāng)a&

10、lt;1時(shí)，有3a1>1,-as|,-3<a<1；當(dāng)aRl時(shí)，有2a>i,a>0,.>1.綜上，a的取值范圍是a.3(3)當(dāng)x<-1時(shí)，有1>1,.無解.當(dāng)一1a<0時(shí)，有(1x2)2+1>1,xw±,11<x<0.當(dāng)0aW1時(shí)，有(1x2)2+1>(2x)2+1,0+721.當(dāng)x>1時(shí)，有1>(2x)2+1,無解.綜上：x的取值范圍是1<x<j2-1.題組訓(xùn)練1.函數(shù)2京>0則8(-3)二一f(加，時(shí)<0【解析】函數(shù)閘二:矗“：則砥倒二/(9)二三二<0四；故答案

11、為：.5口父+3f>02.已知函數(shù)f(x)=Rf若伽)=2,則實(shí)數(shù)m的值等于ML-bjAVU【解析】：函數(shù)二R+y打網(wǎng)二2,vJ-上腐mU1,當(dāng)時(shí),f網(wǎng)=2陽3=2,解得蹤:二一，不成立；當(dāng)班，。時(shí),/(陶二而一2=2,解得題二或a=2i舍).綜上，實(shí)數(shù)m的值為故答案為：.-U3.已知函數(shù)力二則一一二的值是【解析】函數(shù)用E)=-7H)=loM=2,川*3)=2gm=3,二/(-；)+川電。=2+3=5.故答案為：5.2x,x<4,4 .已知函數(shù)f(x)="則f(f(5)=.f(x-1),x>4【解析】f(5)=f(4)=f(3)=23=8._3f(f(5)=f(8)

12、=f(7)=f(6)=f(5)=f(4)=f(3)=2=8.m的值為m=8;3一一一，3x-m,xwz45 .(拔局題)已知頭數(shù)mwo,函數(shù)f(x)="右f(2m)=f(2+m),則x2m,x>2,【解析】當(dāng)m>0時(shí)，2m<2,2+m>2,所以3(2m)m=(2+m)2m,所以當(dāng)m<0時(shí)，2m>2,2+m<2,所以3(2+m)m=(2m)2m,所以m=綜上，m的值為8或-8.3考向4函數(shù)及其表示方法的實(shí)際應(yīng)用【例】如圖，有一塊四邊形綠化區(qū)域BCED,其中/C=ZD=90°,BC=BD=J3,CE=DE=1.現(xiàn)準(zhǔn)備經(jīng)過DB上一點(diǎn)P和E

13、C上一點(diǎn)Q鋪設(shè)水管PQ,且PQ將四邊形EQ=y.(1)求x,y之間的關(guān)系式；(2)求水管PQ的長的最小值.【解析】(1)延長BD、CE交于點(diǎn)A(如圖所示),則AD=73,AE=2,又BC=BD=用,則/A=30°,SAade=Sabde=Sabce=-2.PQ將四邊形BCED分成面積相等的兩部分，S3pq=J3.而Szapq=APAQsinA=(x+V3)(y+2)sin30=73,1一一即(x+石)(y+2)=屈,1.(x+73)(y+2)=4V3.4BCED分成面積相等的兩部分，設(shè)DP=x,PQ2=AP2+AQ2-2APAQcos30=(x+73)24.32+x-3-2m73X>2Xa/3-12=873-12.2當(dāng)且僅當(dāng)(x+.3)2=|-43_x-3-2,即x=24/3-J3時(shí)，pq取得最小值.PQmin=M石-12=272>/3-3.題組訓(xùn)練1.如圖，用長為1的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架，若半圓半徑為x.(1)求此框架圍成的面積y與x的函數(shù)式y(tǒng)=f(x),并寫出它的定義域(2)x為何值時(shí)，面積y最大？最大值是多少?(2)在MPQ中，由余弦定理，得：【解析】(1)設(shè)AB=2x,CD=兀鳥于