高中數(shù)學排列教學案例

1、高中數(shù)學排列教學案例教學目標(1) 正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列;(2) 了解排列和排列數(shù)的意義,能根據(jù)具體的問題,寫出符合要求的排列;(3) 掌握排列數(shù)公式,并能根據(jù)具體的問題,寫出符合要求的排列數(shù);(4) 會分析與數(shù)字有關(guān)的排列問題,培養(yǎng)學生的抽象能力和邏輯思維能力;(5) 通過對排列應(yīng)用問題的學習,讓學生通過對具體事例的觀察、歸納中找出規(guī)律,得出結(jié)論,以培養(yǎng)學生嚴謹?shù)膶W習態(tài)度。教學重點難點分析本小節(jié)的重點是排列的定義、排列數(shù)及排列數(shù)的公式,并運用這個公式去解決有關(guān)排列數(shù)的應(yīng)用問題。難點是導(dǎo)出排列數(shù)的公式和解有關(guān)排列的應(yīng)用題。突破重點、難點的關(guān)鍵是對加法原理和乘法

2、原理的掌握和運用,并將這兩個原理的基本思想方法貫穿在解決排列應(yīng)用問題當中。從n個不同元素中任取m(mwn)個元素，按照一定的順序排成一列，稱為從n個不同元素中任取m個元素的一個排列.因此,兩個相同排列,當且僅當他們的元素完全相同,并且元素的排列順序也完全相同。排列數(shù)是指從n個不同元素中任取m(m<n)個元素的所有不同排列的種數(shù)，只要弄清相同排列、不同排列，才有可能計算相應(yīng)的排列數(shù).排列與排列數(shù)是兩個概念,前者是具有m個元素的排列,后者是這種排列的不同種數(shù)從集合的角度看，從n個元素的有限集中取出m個組成的有序集,相當于一個排列,而這種有序集的個數(shù),就是相應(yīng)的排列數(shù)。公式推導(dǎo)要注意緊扣乘法原

3、理,借助框圖的直視解釋來講解.要重點分析好的推導(dǎo)。排列的應(yīng)用題是本節(jié)教材的難點,通過本節(jié)例題的分析,應(yīng)注意培養(yǎng)學生解決應(yīng)用問題的能力。在分析應(yīng)用題的解法時,教材上先畫出框圖,然后分析逐次填入時的種數(shù),這樣解釋比較直觀,教學上要充分利用,要求學生作題時也應(yīng)盡量采用教學過程設(shè)計一、復(fù)習引入上節(jié)課我們學習了兩個基本原理,請大家完成以下兩題的練習1.書架上層放著50本不同的社會科學書,下層放著40本不同的自然科學的書。(1) 從中任取1本,有多少種取法?(2) 從中任取社會科學書與自然科學書各1本,有多少種不同的取法?2某農(nóng)場為了考察三個外地優(yōu)良品種A,B,C,計劃在甲、乙、丙、丁、戊共五種類型的土地

4、上分別進行引種試驗,問共需安排多少個試驗小區(qū)?找一同學談解答并說明怎樣思考的的過程第1(1)小題從書架上任取1本書,有兩類辦法,第一類辦法是從上層取社會科學書,可以從50本中任取1本,有50種方法;第二類辦法是從下層取自然科學書可以從40本中任取1本,有40種方法.根據(jù)加法原理,得到不同的取法種數(shù)是50+40=90。第(2)小題從書架上取社會科學、自然科學書各1本(共取出2本),可以分兩個步驟完成:第一步取一本社會科學書,第二步取一本自然科學書,根據(jù)乘法原理,得到不同的取法種數(shù)是：50X40=2000。第2題說,共有A,B,C三個優(yōu)良品種，而每個品種在甲類型土地上實驗有三個小區(qū)，在乙類型的土地

5、上有三個小區(qū)所以共需3X5=15個實驗小區(qū)。二、講授新課學習了兩個基本原理之后,現(xiàn)在我們繼續(xù)學習排列問題,這是我們本節(jié)討論的重點.先從實例入手：1.北京、上海、廣州三個民航站之間的直達航線,需要準備多少種不同飛機票?由學生設(shè)計好方案并回答。(1) 用加法原理設(shè)計方案。首先確定起點站,如果北京是起點站,終點站是上海或廣州,需要制2種飛機票,若起點站是上海,終點站是北京或廣州,又需制2種飛機票;若起點站是廣州,終點站是北京或上海,又需要2種飛機票,共需要2+2+2=6種飛機票.(2) 用乘法原理設(shè)計方案.首先確定起點站,在三個站中,任選一個站為起點站,有3種方法.即北京、上海、廣州任意一個城市為起

6、點站,當選定起點站后,再確定終點站,由于已經(jīng)選了起點站,終點站只能在其余兩個站去選.那么,根據(jù)乘法原理,在三個民航站中,每次取兩個,按起點站在前、終點站在后的順序排列不同方法共有3X2=6種。根據(jù)以上分析由學生(板演)寫出所有種飛機票。第二個實例,讓全體學生都參加設(shè)計,把所有情況(包括每個位置情況)寫出來.由數(shù)字1,2,3,4可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?寫出這些所有的三位數(shù).根據(jù)乘法原理,從四個不同的數(shù)字中,每次取出三個排成三位數(shù)的方法共有4X3X2=24(個).請板演的學生談?wù)勗鯓酉氲?第一步,先確定百位上的數(shù)字，在1,2,3,4這四個數(shù)字中任取一個,有4種取法。第二步,確定十位上的

7、數(shù)字.當百位上的數(shù)字確定以后,十位上的數(shù)字只能從余下的三個數(shù)字去取,有3種方法。第三步,確定個位上的數(shù)字.當百位、十位上的數(shù)字都確定以后,個位上的數(shù)字只能從余下的兩個數(shù)字中去取,有2種方法。根據(jù)乘法原理,所以共有4X3X2=24種。下面由教師提問,學生回答下列問題(1) 以上我們討論了兩個實例,這兩個問題有什么共同的地方?都是從一些研究的對象之中取出某些研究的對象。(2) 取出的這些研究對象又做些什么?實質(zhì)上按著順序排成一排,交換不同的位置就是不同的情況。(3) 請大家看書，第X頁、第X行.我們把被取的對象叫做雙元素，如上面問題中的民航站、數(shù)字都是元素。上面第一個問題就是從3個不同的元素中,任

8、取2個,然后按一定順序排成一列,求一共有多少種不同的排法,后來又寫出所有排法。第二個問題是從4個不同的元素中,任取3個,然后按一定的順序排成一列,求一共有多少種不同的排法,并寫出所有的排法。給出排列定義請看課本，第x頁，第x行.一般地說，從n個不同的元素中，任取m(m<n)個元素(本章只研究被取出的元素各不相同的情況),按著一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。下面由教師提問,學生回答下列問題(1) 按著這個定義,結(jié)合上面的問題,請同學們談?wù)勈裁词窍嗤呐帕?什么是不同的排列?從排列的定義知道,如果兩個排列相同,不僅這兩個排列的元素必須完全相同而且排列的順序(即

9、元素所在的位置)也必須相同。兩個條件中,只要有一個條件不符合,就是不同的排列.如第一個問題中,北京廣州,上海廣州是兩個排列,第三個問題中,213與423也是兩個排列.再如第一個問題中,北京廣州,廣州北京;第二個問題中,231和213雖然元素完全相同,但排列順序不同,也是兩個排列.(2) 還需要搞清楚一個問題,“一個排列”是不是一個數(shù)?生:“一個排列”不應(yīng)當是一個數(shù),而應(yīng)當指一件具體的事。如飛機票“北京廣州”是一個排列,“紅黃綠”是一種信號,也是一個排列.如果問飛機票有多少種?能表示出多少種信號.只問種數(shù),不用把所有情況羅列出來,才是一個數(shù)。三、課堂練習大家思考,下面的排列問題怎樣解?問題：有四

10、張卡片,每張分別寫著數(shù)碼1,2,3,4.有四個空箱,分別寫著號碼1,2,3,4.把卡片放到空箱內(nèi),每箱必須并且只能放一張,而且卡片數(shù)碼與箱子號碼必須不一致,問有多少種放法?分析:這是從四張卡片中取出4張,分別放在四個位置上,只要交換卡片位置,就是不同的放法,是個附有條件的排列問題.解法是:第一步把數(shù)碼卡片四張中2,3,4三張任選一個放在第1空箱。第二步從余下的三張卡片中任選符合條件的一張放在第2空箱。第三步從余下的兩張卡片中任選符合條件的一張放在第3空箱。第四步把最后符合條件的一張放在第四空箱.具體排法,用下面圖表表示:所以,共有9種放法。四、課外作業(yè)五、教學反思 在講解排列數(shù)的概念時,要注意

11、區(qū)分“排列數(shù)”與“一個排列”這兩個概念.一個排列是指“從n個不同元素中，任取出m個元素,按照一定的順序擺成一排”它不是一個數(shù),而是具體的一件事;排列數(shù)是指“從n個不同元素中取出m個元素的所有排列的個數(shù)”，它是一個數(shù).例如，從3個元素a,b,c中每次取出2個元素，按照一定的順序排成一排,有如下幾種:ab,ac,ba,bc,ca,cb,其中每一種都叫一個排列，共有6種,而數(shù)字6就是排列數(shù)，符號am表示排列 排列的定義中包含兩個基本內(nèi)容,一是“取出元素”,二是“按一定順序排列”。從定義知,只有當元素完全相同,并且元素排列的順序也完全相同時,才是同一個排列,元素完全不同,或元素部分相同或元素完全相同而

12、順序不同的排列,都不是同一排列。叫不同排列。在定義中“一定順序”就是說與位置有關(guān),在實際問題中,要由具體問題的性質(zhì)和條件來決定,這一點要特別注意,這也是與后面學習的組合的根本區(qū)別.在排列的定義中，如果a：有的書上叫選排列，如果A：，此時叫全排列.要特別注意,不加特殊說明,本章不研究重復(fù)排列問題. 關(guān)于排列數(shù)公式的推導(dǎo)的教學.公式推導(dǎo)要注意緊扣乘法原理,借助框圖的直視解釋來講解課本上用的是不完全歸納法，先推導(dǎo)，,再推廣到，這樣由特殊到一般,由具體到抽象的講法,學生是不難理解的.導(dǎo)出公式后要分析這個公式的構(gòu)成特點,以便幫助學生正確地記憶公式,防止學生在“n”、“m”比較復(fù)雜的時候把公式寫錯.這個公式的特點可見課本一段話：“其中，公式右邊第一個因數(shù)是n,后面每個因數(shù)都比