20XX年上海市高考數(shù)學(xué)試卷試題和答案

1、2019年上海市高考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第16題每題4分，第712題每題5分）.1（4分）已知集合A（，3），B（2，+），則AB 2（4分）已知zC，且滿足i，求z 3（4分）已知向量（1，0，2），（2，1，0），則與的夾角為 4（4分）已知二項式（2x+1）5，則展開式中含x2項的系數(shù)為 5（4分）已知x，y滿足，則z2x3y的最小值為 6（4分）已知函數(shù)f（x）周期為1，且當(dāng)0x1時，f（x）log2x，則f（） 7（5分）若x，yR+，且+2y3，則的最大值為 8（5分）已知數(shù)列an前n項和為Sn，且滿足Sn+an2，則S5 9（5分）過曲線y24x的焦

2、點(diǎn)F并垂直于x軸的直線分別與曲線y24x交于A，B，A在B上方，M為拋物線上一點(diǎn)，+（2），則 10（5分）某三位數(shù)密碼，每位數(shù)字可在09這10個數(shù)字中任選一個，則該三位數(shù)密碼中，恰有兩位數(shù)字相同的概率是 11（5分）已知數(shù)列an滿足anan+1（nN*），Pn（n，an）（n3）均在雙曲線1上，則|PnPn+1| 12（5分）已知f（x）|a|（x1，a0），f（x）與x軸交點(diǎn)為A，若對于f（x）圖象上任意一點(diǎn)P，在其圖象上總存在另一點(diǎn)Q（P、Q異于A），滿足APAQ，且|AP|AQ|，則a 二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置

3、，將代表正確選項的小方格涂黑.13（5分）已知直線方程2xy+c0的一個方向向量可以是（）A（2，1）B（2，1）C（1，2）D（1，2）14（5分）一個直角三角形的兩條直角邊長分別為1和2，將該三角形分別繞其兩個直角邊旋轉(zhuǎn)得到的兩個圓錐的體積之比為（）A1B2C4D815（5分）已知R，函數(shù)f（x）（x6）2sin（x），存在常數(shù)aR，使f（x+a）為偶函數(shù)，則的值可能為（）ABCD16（5分）已知tantantan（+）有下列兩個結(jié)論：存在在第一象限，在第三象限；存在在第二象限，在第四象限；則（）A均正確B均錯誤C對錯D錯對三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的

4、相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17（14分）如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，M為BB1上一點(diǎn)，已知BM2，CD3，AD4，AA15（1）求直線A1C和平面ABCD的夾角；（2）求點(diǎn)A到平面A1MC的距離18（14分）已知f（x）ax+，aR（1）當(dāng)a1時，求不等式f（x）+1f（x+1）的解集；（2）若f（x）在x1，2時有零點(diǎn)，求a的取值范圍19（14分）如圖，ABC為海岸線，AB為線段，為四分之一圓弧，BD39.2km，BDC22°，CBD68°，BDA58°（1）求的長度；（2）若AB40km，求D到海岸線ABC的最短距離（精確到0.001km）20（1

5、6分）已知橢圓+1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，直線l過F2交橢圓于A，B兩點(diǎn)（1）若直線l垂直于x軸，求|AB|；（2）當(dāng)F1AB90°時，A在x軸上方時，求A、B的坐標(biāo)；（3）若直線AF1交y軸于M，直線BF1交y軸于N，是否存在直線l，使得SS，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由21（18分）數(shù)列an（nN*）有100項，a1a，對任意n2，100，存在anai+d，i1，n1，若ak與前n項中某一項相等，則稱ak具有性質(zhì)P（1）若a11，d2，求a4所有可能的值；（2）若an不為等差數(shù)列，求證：數(shù)列an中存在某些項具有性質(zhì)P；（3）若an中恰有三項具有性質(zhì)P，這三項和

6、為c，使用a，d，c表示a1+a2+a1002019年上海市高考數(shù)學(xué)試卷答案與解析一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第16題每題4分，第712題每題5分）.1【分析】根據(jù)交集的概念可得【解答】解：根據(jù)交集的概念可得AB（2，3）故答案為：（2，3）2【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案【解答】解：由i，得z5，即z5+5i故答案為：5i3【分析】直接利用向量的夾角公式的應(yīng)用求出結(jié)果【解答】解：向量（1，0，2），（2，1，0），則，所以：cos，故：與的夾角為故答案為：4【分析】先求得二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數(shù)等于2，求得r的值，即可求得含x2項的系

7、數(shù)值【解答】解：二項式（2x1）5的展開式的通項公式為Tr+1C5r25rx5r，令5r2，求得 r3，可得展開式中含x2項的系數(shù)值為C532240，故答案為：405【分析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合平移直線，可得所求最小值【解答】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，由z2x3y即y，表示直線在y軸上的截距的相反數(shù)的倍，平移直線2x3y0，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)（0，2）時，z2x3y取得最小值6，故答案為：66【分析】由題意知函數(shù)f（x）周期為1，所以化簡f（）再代入即可【解答】解：因為函數(shù)f（x）周期為1，所以f（）f（），因為當(dāng)0x1時，f（x）log2x，所以f（）1，故答案

8、為：17【分析】根據(jù)基本不等式可得【解答】解：3+2y2，（）2；故答案為：8【分析】由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列an是等比數(shù)列，且，再由等比數(shù)列的前n項和公式求解【解答】解：由Sn+an2，得2a12，即a11，且Sn1+an12（n2），得：（n2）數(shù)列an是等比數(shù)列，且故答案為：9【分析】直接利用直線和拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步利用向量的運(yùn)算求出結(jié)果【解答】解：過y24x的焦點(diǎn)F并垂直于x軸的直線分別與y24x交于A，B，A在B上方，依題意：得到：A（1，2）B（1，2），設(shè)點(diǎn)M（x，y），所以：M為拋物線上一點(diǎn)，+（2），則：（x，y）（1，2）+（2）（1，2）（22，4

9、），代入y24x，得到：3故答案為：310【分析】分別運(yùn)用直接法和排除法，結(jié)合古典概率的公式，以及計數(shù)的基本原理：分類和分步，計算可得所求值【解答】解：方法一、（直接法）某三位數(shù)密碼鎖，每位數(shù)字在09數(shù)字中選取，總的基本事件個數(shù)為1000，其中恰有兩位數(shù)字相同的個數(shù)為CC270，則其中恰有兩位數(shù)字相同的概率是；方法二、（排除法）某三位數(shù)密碼鎖，每位數(shù)字在09數(shù)字中選取，總的基本事件個數(shù)為1000，其中三位數(shù)字均不同和全相同的個數(shù)為10×9×8+10730，可得其中恰有兩位數(shù)字相同的概率是1故答案為：11【分析】法一：根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離和極限即可求出，法二：根據(jù)向量法，當(dāng)n+

10、時，PnPn+1與漸近線平行，PnPn+1在x軸的投影為1，漸近線傾斜角為，則tan，即可求出【解答】解：法一：由1，可得an，Pn（n，），Pn+1（n+1，），|PnPn+1|求解極限可得|PnPn+1|，方法二：當(dāng)n+時，PnPn+1與漸近線平行，PnPn+1在x軸的投影為1，漸近線傾斜角為，則tan，故PnPn+1故答案為：12【分析】本題根據(jù)題意對函數(shù)f（x）分析之后可畫出f（x）大致圖象，然后結(jié)合圖象可不妨設(shè)點(diǎn)P在左邊曲線上，點(diǎn)Q在右邊曲線上設(shè)直線AP的斜率為k，聯(lián)立直線與曲線的方程可得P點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得Q點(diǎn)坐標(biāo)再分別算出|AP|、|AQ|，再根據(jù)|AP|AQ|及k的任意性可解得a

11、的值【解答】解：由題意，可知：令f（x）|a|0，解得：x+1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（+1，0）則f（x）f（x）大致圖象如下：由題意，很明顯P、Q兩點(diǎn)分別在兩個分段曲線上，不妨設(shè)點(diǎn)P在左邊曲線上，點(diǎn)Q在右邊曲線上設(shè)直線AP的斜率為k，則lAP：yk（x1）聯(lián)立方程：，整理，得：kx2+ak（+2）x+k（+1）a20xP+xA+2xA+1，xP+2xA1再將xP1代入第一個方程，可得：yPa點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（1，a）|AP|APAQ，直線AQ的斜率為，則lAQ：y（x1）同理類似求點(diǎn)P的坐標(biāo)的過程，可得：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（1ak，a+）|AQ|AP|AQ|，及k的任意性，可知：a2，解得：a故答案為：

12、二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13【分析】先根據(jù)直線方程得直線的一個法向量，再根據(jù)法向量可得直線的方向向量【解答】解：依題意，（2，1）為直線的一個法向量，方向向量為（1，2），故選：D14【分析】直接利用圓錐的體積公式求得兩個圓錐的體積，作比得答案【解答】解：如圖，則，兩個圓錐的體積之比為故選：B15【分析】直接利用三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用和函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用求出結(jié)果【解答】解：由于函數(shù)f（x）（x6）2sin（x），存在常數(shù)aR，f（x+a）為偶函數(shù)，則：f（x+a）（x+a6）2sin（x+a

13、），由于函數(shù)為偶函數(shù)，故：a6，所以：，當(dāng)k1時故選：C16【分析】考慮運(yùn)用二次方程的實根的分布，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性可判斷；運(yùn)用特殊值法，令tan，結(jié)合兩角和的正切公式，計算可得所求結(jié)論，可判斷【解答】解：由tantantan（+），即為tantan，設(shè)mtan，ntan，可得n2m2+n（1m）+m0，若m0，可得上式關(guān)于n的方程有兩個同號的根，若為兩個正根，可得n0，即有m1，考慮f（m）（1m）24m3，f（m）2m28m28（m）2，當(dāng)m1時，f（m）遞減，可得f（m）f（1）40，則方程無解，在第三象限不可能，故錯；可令tan，由tantantan（+），即為tantan，可得tan

14、，解得tan6±，存在在第四象限，故對故選：D三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17【分析】（1）由題意可得A1C與平面ABCD所成夾角為A1CA，判斷A1CA為等腰三角形，即可求出，（2）如圖建立坐標(biāo)系，根據(jù)向量的關(guān)系可得點(diǎn)A到平面A1MC的距離d，求出法向量即可求出【解答】解：（1）依題意：AA1平面ABCD，連接AC，則A1C與平面ABCD所成夾角為A1CA，AA15，AC5，A1CA為等腰三角形，A1CA，直線A1C和平面ABCD的夾角為，（2）（空間向量），如圖建立坐標(biāo)系，則A（0，0，0），C（3，4，0），A1（0

15、，0，5），M（3，0，2），（3，4，0），（3，4，5），（0，42），設(shè)平面A1MC的法向量（x，y，z），由，可得（2，1，2），點(diǎn)A到平面A1MC的距離d18【分析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，解分式不等式即可（2）利用分離參數(shù)法和函數(shù)的值域的應(yīng)用求出參數(shù)的范圍【解答】解：（1）f（x）ax+（aR）當(dāng)a1時，f（x）x+所以：f（x）+1f（x+1）轉(zhuǎn)換為：x+1，即：，解得：2x1故：x|2x1（2）函數(shù)f（x）ax+在x1，2時，f（x）有零點(diǎn)，即函數(shù)在該區(qū)間上有解，即：，即求函數(shù)g（x）在x1，2上的值域，由于：x（x+1）在x1，2上單調(diào)，故：x（x+1）2，6，所以：，故：1

16、9【分析】（1）由題意可求BC，及弧BC所在的圓的半徑R，然后根據(jù)弧長公式可求；（2）根據(jù)正弦定理可得，可求sinA，進(jìn)而可求A，進(jìn)而可求ABD，根據(jù)三角函數(shù)即可求解【解答】解：（1）由題意可得，BCBDsin22°，弧BC所在的圓的半徑RBCsin，弧BC的長度為16.310km；（2）根據(jù)正弦定理可得，sinA0.831，A56.2°，ABD180°56.2°58°65.8°，DHBD×sinABD35.750kmCD36.346kmD到海岸線ABC的最短距離為35.750km20【分析】（1）由題意方程求得右焦點(diǎn)坐標(biāo)，

17、進(jìn)一步求得A，B的坐標(biāo)，則|AB|可求；（2）設(shè)A（x1，y1），由F1AB90°（F1AF290°），利用數(shù)量積為0求得x1與y1的方程，再由A在橢圓上，得x1與y1的另一方程，聯(lián)立即可求得A的坐標(biāo)得到直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立即可求得B的坐標(biāo)；（3）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y3），N（0，y4），直線l：xmy+2，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合SS，得2|y1y2|y3y4|，再由直線AF1 的方程：，得M縱坐標(biāo)，由直線BF1 的方程：，得N的縱坐標(biāo)，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得|4，解得m值，從而得到直線方程【解答】解：（1）依題意，F(xiàn)2（2，0）

18、，當(dāng)ABx軸時，則A（2，），B（2，），得|AB|2；（2）設(shè)A（x1，y1），F(xiàn)1AB90°（F1AF290°），又A在橢圓上，滿足，即，解得x10，即A（0，2）直線AB：yx+2，聯(lián)立，解得B（，）；（3）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y3），N（0，y4），直線l：xmy+2，則，聯(lián)立，得（m2+2）y2+4my40則，由直線AF1 的方程：，得M縱坐標(biāo)；由直線BF1 的方程：，得N的縱坐標(biāo)若SS，即2|y1y2|y3y4|，|y3y4|2|y1y2|，|（my1+4）（my2+4）|4，|m2y1y2+4m（y1+y2）+16|4，代入根與系數(shù)的關(guān)系，得|4，解得m存在直線x+或滿足題意21【分析】（1）根據(jù)a11，d2逐一求出a2，a3，a4即可；（2）an不為等差數(shù)列，數(shù)列an存在am使得amam1+d不成立，根據(jù)題意進(jìn)一步推理即可證明結(jié)論；（3）去除具有性質(zhì)P的數(shù)列an中的前三項后，數(shù)列an的剩余項重新排列為一個等差數(shù)列，且該數(shù)列的首項為a，公差為d，求a1+a2+a100即可【解答】解：（1）數(shù)列an有100項，a1a，對任意n2，100，存在anai+d，i1，n1，若a11，d2，則當(dāng)n2時，a2a1+d3，當(dāng)n3時，i1，2，則a3a1+d3或a3a2+d5，當(dāng)n4時，i1，3，則a4a1+d3或a4a2+