汽車公司的最佳生產方案

1、論文題目：B題：汽車公司的最佳生產方案隊員：1、23指導教師10保險系張康10保險系何嘉欣10保險系袁運接日期：2011年8月22日11汽車公司的最佳生產方案摘要本文主要研究的是在一定資源和生產能力的條件下建立貨車公司的最佳生產方案的數(shù)學模型。主要方法是利用LING0軟件求一定約束條件下的最優(yōu)化解。通過對題目的分析，我們建立了模型一，利用lingo軟件進行非線性求解，在現(xiàn)有的資源條件下調整兩車型的產量得到：當每月生產2054輛A101型車623輛A102型車時，則可得到半年最大毛利益為千元。但對模型一檢驗時發(fā)現(xiàn)，模型一將問題繁瑣化，生產甲型和乙型貨車顯然是受4個車間的生產能力限制的，也就是說，

2、4個車間每月的生產能力是我們的約束條件；而銷售額及產品成本的差價(即毛收益)才是我們所關心的目標函數(shù)，這就將問題轉為線性規(guī)劃的問題。于是建立模型二，運用lingo軟件線性規(guī)劃求解，問題A(1)在現(xiàn)有的資源條件下調整兩車型的產量得到：生產A101車型2048輛，生產A102型車632輛月毛利益為450600元。對于A(2)，可在模型二的基礎上改變約束條件求解得：公司付給其他廠商每輛A101型車的“外包加工費”應不高于元。對于題B,在模型二的基礎上改變發(fā)動機車間的勞力費和不變管理費求得：每月生產A101型貨車1428輛，A102型貨車1500輛時，公司半年所得的毛利潤為元，結果并不如合理配置資源好

3、，因此不采用加班的方式。模型二檢驗出模型一是繁瑣的，而模型二程序運行時間很短，算法穩(wěn)定，準確性高，容量大，邏輯性嚴格，計算速度快，具有較強的說服力。最后，我們對模型二的三種生產計劃進行了對比分析，并對模型進行評價。12關鍵字：lingo線性最優(yōu)解非線性最優(yōu)解一、問題的提出南洋汽車公司生產2種型號貨車：A101型和A102型，為完成這兩種車型生產，公司設有4各車間。這些車間的月生產能力如下表所示。其中，當公司同時生產兩種型號的車時，滿足一定的比例關系。車間A101A102沖壓車間25003500發(fā)動機裝配車間33001667A101型裝配車間2250A102型裝配車間1500當前的市場情況是：A

4、101型售價為2100元，A102型為2000元，且在這樣的價格下，不管生產多少輛貨車，都能售出。根據(jù)前6個月的銷售情況，A101型的銷售為每月333輛，A102型為每月1500輛。此時，A102型裝配車間和發(fā)動機車間已在滿負荷情況下運行，而沖壓車間和A101型裝配車間能力還未充分發(fā)揮出來。在這種生產水平下的標準成本如表所示：兩種類型貨車的標準成本A101型A102型直接材料費用直接勞力費用1200100022沖壓發(fā)動機裝配總裝配管理費用沖壓發(fā)動機裝配總裝配合計4060100(+200216130445(+79121913012075(+225169251175(+5951820關于管理費用的

5、詳細情況如表車間每月總的管理費用每月不變管理費用可變管理費用A101型A102型沖壓325000135000120100發(fā)動機裝配42000085000105200A101型車裝配14800090000175A102型車裝配26200075000125合計1155000385000400425上半年度的收入報表（千元）銷售額21,950出售產品的成本20,683毛收益(GrossMargin)1,267銷售、行政和其他費用1,051稅前純收入216所得稅115稅后純收入101銷售部門經理認為，銷售A101型貨車無利可圖，一次建議A101型貨車停產。財務部門經理認為，A101型貨車銷售量太小，因

6、此分攤給每輛車的固定成34本大。因此，應增加A101型貨車的產量，與此同時，適當減少A102型貨車的產生產部門經理認為，在不減少A102型貨車產量的情況下，以適當?shù)膬r格，通過其他廠商的協(xié)作，即外包加工，增加發(fā)動機的裝配能力，從而增加A101型的產量，這也許是最好的方案。后來又提出考慮用加班的方法來提高發(fā)動機裝配車間的生產能力。假設加班后，發(fā)動機裝配能力的增加相當于2000輛A101型貨車，而直接勞動力費用提高50，加班的固定管理費用為40000元，可變的管理費用仍保持原來數(shù)值。因此，在已知銷售情況和銷售價格的情況下，結合生產成本要求給出一個合理的生產方案，使其獲利最大；并進一步討論并進一步討論

7、采用“外包加工”和加班方法是否可行，若進行“外包加工”，那么怎樣的“外抱加工”費是可以接受的若使用加班方法，那么每月的毛收益又是多少二、模型的假設1、當前的市場情況是:A101型售價為2100元，A102型為2000元，且一段時間內，市場利率保持基本穩(wěn)定，汽車價格不隨市場的變動而變動；2、在當前的市場條件下，不論公司生產多少汽車，均能全部售出，貨物沒有堆積；3汽車公司的每月不變管理費用在整個過程中不隨生產汽車數(shù)的增加而發(fā)生變化；4、每月四個車間的生產能力都一樣；5、直接材料費用在一定時間不變；6、純收入的稅率不變；7、再一段時間內，公司銷售、行政與其他費用相對不變。三、符號說明P:公司每月毛利

8、益，公司每月銷售額44C：公司每月生產總成本c1,c2：兩類車的標準成本，角標1表示甲型車,2表示乙型車a1,a2：兩類車對應的每輛車的直接材料費用b1,b2：兩類車對應的每輛車的直接勞力費用x,y：公司每月生產甲乙兩類車的數(shù)量gi：各車間總管理費用在每輛車上的分攤mi:ni：每輛甲車與每輛乙車分攤各車間不變管理費用的比例Q:毛收益增加額F:外包加工費四、模型的建立和求解模型一：（1）、經過分析，我們認為該問題是在一定約束條件下的非線性最優(yōu)化問題，即該問題是一個非線性規(guī)劃問題。其約束條件主要有：公司各生產車間生產能力的限制；兩種類型的貨車由于售價不一樣銷售量的不同，導致了對固定成本的分攤不同，

9、直接影響各自標準成本的大小。由各車間與生產能力表可知，同時生產兩種車型，各類型車的生產的數(shù)量應相應減少。由題目表格數(shù)據(jù)分析得，發(fā)動機裝配車間分別生產一輛A101、A102兩種不同型車的能力大小2：1，該比例恰好是3300：1667=：12：1。同樣，對于沖壓車間而言生產甲乙型車的能力大小是2500：3500=1：。而由于兩種車型的裝配車間獨立，彼此之間不相互影響。而兩種類型的車的標準成本均有三種成本構成：直接材料費用，直接勞動費用，管理費用。公司管理費用是由不變管理費用和隨生產量不同而改變的可變管理費用組成。其中直接材料費用和直接勞力費用兩種費用已經由表格給出，我們主要來分析管理費用。由表格分

10、析得，沖壓車間不變管理費用分攤在A101型車和A102型車的費用分別為96元，69元，其比例約等于：1；發(fā)動機裝配車間的不變管理費用的分攤為25元，51，其比例約等于1:2。綜合生產能力與不變管55理費用的比可以得到以下表格：A101：A102mi:n96:69:125:511:2270:01:00:500:1由以上比例關系表，可以看出各車間生產車輛的能力與該車間固定管理費用在每一輛車上的分攤成反比。綜合以上分析得到如下公式：公司每月生產總成本C=c1+c2兩類車的標準成本:c1=(a1+b1+g1)xc2=(a2+b2+g2)y各車間總管理費用在每輛車上的分攤:g1=(135000+8500

11、0)/(x+120+105+175g2=(135000+85000)/(x/+y)+100+200+125公司每月銷售額:S=2100x+2000y公司每月毛利益:P=S-C其約束條件為：生產A101型貨車的數(shù)量x<=2250,同時A102型貨車的數(shù)量y<=1500；根據(jù)題意有沖壓車間應滿足：(3500x/2500)+y<3500;而發(fā)動機裝配車間所確立的約束條件，隨條件的變化而變化。(2) 、于是將問題歸結為最優(yōu)化問題，建立多約束條件下的非線性優(yōu)化模型來求解:MaxP=(2100-a1-b1-g1)x+(2000-a2-b2-g2)yg1=(135000+85000)/(x

12、+120+105+175g2=(135000+85000)/(x/+y)+100+200+125約束條件：66x<=2250y<=15003500x/2500)+y<3500對于A(1)題中，關于A101停產問題分析為：若A101停產，則x=0,y=1500時求P的最大值。則模型1轉化為：P=(2000-a2-b2-g2)yg2=(135000+85000)/y+100+200+125y=1500則求解得公司每月毛利益為229500元，半年毛利益為1877000元。與原半年毛利益相比，遠小于原生產方案的毛利益。而在現(xiàn)有資源條件下的最優(yōu)化生產安排的分析如下：MaxP=(2100

13、-a1-b1-g1)x+(2000-a2-b2-g2)yg1=(135000+85000)/(x+120+105+175g2=(135000+85000)/(x/+y)+100+200+125約束條件：+y<=3500x+2y<=3300x<=2250y<=1500利用軟件可以實現(xiàn)以上結果：(詳見附錄一)x=2054y=623P=449250則當每月生產2054輛A101型車，623輛A102型車時，貨車公司每月可獲得最大毛利益為449250元。可見，在現(xiàn)有資源條件下，通過合理安排生產可以追求毛利益最大化，下半年公司毛利益為千元。(3) 、但發(fā)現(xiàn)模型一的步驟過于繁雜，我

14、們對模型一進行了改進，把非線性77問題轉換成線性問題。生產兩種類型的貨車是受4個車間的生產能力限制的，即4個車間每月的生產能力是我們的約束條件；而毛收益是我們所關心的目標函數(shù)，于是將問題轉為線性規(guī)劃的問題。進一步分析知，“外包加工”增加收益的方法則是上述問題的特殊形式，即乙型貨車生產量不變（1500輛），增加甲型貨車產量，從而增加毛收益?！凹影唷钡姆椒ㄒ彩菫榱嗽黾覣101型貨車的產量，來增加毛收益，不過此時成本發(fā)生變化而相應的導致目標函數(shù)變化，但仍是線性規(guī)劃問題。綜上所述：這些問題都可歸結為一個線性規(guī)劃的模型，而得到解決。模型二：1、由題可知，生產A101型和A102型貨車是受4個車間的生產能

15、力限制的,也就是說，4個車間每月的生產能力是我們的約束條件；而銷售額及產品成本的差價（即毛收益）是我們所關心的目標函數(shù)，這就將問題轉為線性規(guī)劃的問題由題可知：銷售額S=2100x+2000y標準成本C=(1200+200+400)*x+(1000+425+225)*y+385000則毛收益故得，數(shù)學模型如下:=1800x+1650y+385000P=S-C=300x+350y-385000MaxP=300x+350y-385000;約束條件：3500x+2500y<=8750000;1667x+3300y<=5501100;x<=2250;y<=1500;88利用lin

16、go軟件做線性規(guī)劃(見附錄二)，求解得：P在點，取得最大值，此時x二,y二。然而x,y只能是整數(shù)，于是利用Lingo軟件再進行處理，得到的最優(yōu)解如下：x=2048,y=632,P=450600元此時四個車間的生產情況如下：車間A101A102沖壓車間2048632發(fā)動機裝配車間2048632A101型車裝配車間2048A102型車裝配車間6322、對問題A(2)分析得：銷售額為：2100x+2000y標準成本為：1800x+1650y+385000則毛收益為：300x+350y-385000則數(shù)學模型如下：MaxP=300x+350y-385000約束條件：3500x+2500y<=87

17、50000x<=2250y<=1500方案中要求不減少A102型貨車產量，于是將模型轉化為：MaxP=300x+140000x<=所以毛收益的增加值Q=300x-999000,此式表明每增加生產一臺A101型貨車，毛收益就增加300元。進一步求最優(yōu)解：x=1428,MaxQ=328500元，通過“外99包加工”吏發(fā)動機的裝配能力增加相當于1095輛A101車時,毛收益增加值最多,其值為328500元（包括：“外包加工”費）。因此通過“外加包工”使發(fā)動機的裝配能力增加相當于1095輛A101型貨車時的費用F應遠小于毛收益的值328500元，才可以接受。3、對于問題B的分析如下：

18、原來每月生產A101型貨車333輛，A102型貨車1500輛。通過加班增加了A101型貨車的生產，相應的這部分的勞動費用也提高了，管理費用也增加，但原來的生產成本不變，故只需考慮增加生產A101型貨車的數(shù)量M，從而簡化問題。由題可知：銷售額增加為：2100M成本增加為：1200M+200*（1+50）M+400M+40000=1900M+40000所以，毛收益增加為：200M-40000則數(shù)學模型如下：MaxQ=200M-40000約束條件：7X（333+M）+5X1500<=17500M<=2000333+M<=2250求得最優(yōu)解為：M=1095,MaxQ=179000元（

19、見附錄三）通過加班每月增加生產1095臺A101型貨車時，毛收益增加最大，其值為179000元。五、結果分析我們對模型二的結果進行分析，得到如下表格：A101型貨車/輛A102型貨車/輛毛收益增加值Q/兀1010合理牛產2048632210,700“外包加工500-F加000由上表可知：通過合理安排生產增加的毛收益比通過加班增加的多。外，當“外包加工”費F>17,800元/月時，合理安排現(xiàn)有資源帶來的毛收益增加最多；當外加包工費F<17,800元/月時，通過“外包加工”的毛收益增加最多；當外加包工費F=17,800元/月時，通過“

20、外包加工”的毛收益增加與合理安排資源一樣多；而由于銷售、行政與其他費用相對不變，純收入的稅率也不變，毛收益增加最多的獲利也就最大。綜上公司可根據(jù)“外加包工”費的多少，決定選擇的方案。六、模型評價模型一算出的結果在一定程度上是可以接受的，但由于操作與計算上太過繁瑣，所以不宜沿用。模型二針對貨車公司安排生產甲乙型貨車，增加收入的問題建立了一般模型，然后根據(jù)實際約束條件，建立優(yōu)化的數(shù)學模型，然后再利用lindo軟件得到一個比較優(yōu)化的結果，最后給出了合理安排生產，外包加工和加班情況下的三種結果，并比較分析了三種結果，從而提出一種合理的方案，并且，模型二程序運行時間很短，算法穩(wěn)定，準確性高，容量大，邏輯

21、性嚴格，計算速度快，具有較強的說服力。但是，本模型是一個理想化模型，因為隨機因素的影響，甲乙型貨車的產量及收益都不精確。但總的來說，該模型還是比較合理的。七、參考文獻1胡運權，郭耀煌，運籌學教程（第二版），清華大學出版社；2003年八、附錄：附錄一：非線性模型一max=x*(2100-c1)+y*(2000-c2);1111*x+y<=3500;x+2*y<=3300;x<=2250;y<=1500;Localoptiina1so1ut.ionfoi.itid.Object.ivevaIlia:Extendedsolveusteps;Totalsolver;ice匚孟匸丄口雄曰:5561111.VariatileValueKediicedCost區(qū)2055.5560.000000Cl0.0000002055.556Y622-222S0.00000