因子設計的集區(qū)劃分與交絡

1、第7章 2k因子設計的集區(qū)劃分與交絡Chap 7. Blocking and Confounding in the 2k Factorial Design7-1 簡介 (Introduction)有多種情況實驗者無法在均一的條件下進行2k因子實驗的所有試驗，如原料不足、或故意改變實驗條件，以確保處理于實際上可能遇到的狀況能一樣地有效(i.e., 即穩(wěn)健的)。此種情況用到的設計技巧是集區(qū)劃分(Blocking)，本章集中于2k因子設計的一些特殊的集區(qū)劃分技巧。7-2 集區(qū)劃分一個反復的2k因子設計(Blocking a Replicated 2k Factorial Design)假設2k因子設

2、計反復n次，此情況與第5章討論的完全相同，每一種不同的條件就是一個集區(qū)，而每個反復就在集區(qū)內，在各個集區(qū)(或反復)的試驗以隨機順序進行。*范例 7-115% (低)a = 10036+32+32B因子A因子1 lb(低)25% (高)2 lb(高)ab = 9031+30+29b = 6018+19+23(1) = 8028+25+27考慮在6-2節(jié)所描述一反應濃度(Reaction Concentration)和觸媒量(Catalyst)對化學反應過(制)程合格率效果的研究。假設單一批原料只容納4次試驗，所以，需要3批原料來進行3次反復，其中每一原料批對應到一個集區(qū)，集區(qū)1集區(qū)2(1)=28

3、a=36b=18ab=31集區(qū)3(1)=27a=32b=23ab=29(1)=25a=32b=19ab=30B1=113B2=106B3=111SSblock= Bi2/4 - y2/12 = 6.50由ANOVA分析，集區(qū)效果不顯著。*7-3 2k因子設計的交絡(Confounding in the 2k Factorial Design)許多情況是在一個集區(qū)里進行一次完整的2k因子設計是不可能的。交絡(Confounding)是一個設計技巧，可安排一個完整的因子實驗到數個集區(qū)，其中集區(qū)的大小是小于一次反復中處理組合的個數，此技巧造成某些處理效果(通常指高階交互作用)的信息成為無法區(qū)分于(I

4、n-distinguishable from)或交絡于(Confounded with)集區(qū)效果。本章集中于2k因子設計的交絡系統(tǒng)。7-4 2k因子設計交絡于2個集區(qū)(Confounding the 2k Factorial Design in Two Blocks)假設進行一個未反復的2k因子設計，22= 4種處理組合均需要一些原料，而每一批原料只夠試驗2個處理組合，因此共需2批原料，倘將原料批視成集區(qū)，則須指訂4種處理組合中的2種到每一個集區(qū)里。=集區(qū)1試驗A+B-+-=集區(qū)2試驗集區(qū)1集區(qū)2(1)abab(a) 幾何上視之(b) 置于2集區(qū)里的4個試驗圖7-1 2集區(qū)之2k因子設計上圖(

5、a)顯示相對對角的處理組合被安置到不同的集區(qū)，圖(b)視出集區(qū)1包含處理組合(1)與ab、集區(qū)2包含處理組合a與b，當然，在集區(qū)里處理組合的試驗順序是隨機決定的，且隨機決定集區(qū)順序。則A與B的主效果(與似無發(fā)生集區(qū)般)為，A = ab+a-b-(1)/2B = ab+b-a-(1)/2A與B均無受到集區(qū)劃分的影響，因為上式中各有來自每個集區(qū)的一個正的與一個負的處理組合，亦即，集區(qū)1與集區(qū)2之間的任何差異均被抵消矣。續(xù)考慮AB交互作用效果AB = ab+(1)-a-b/2因2個正號的處理組合ab與(1)在集區(qū)1里、而2個負號的處理組合a與b在集區(qū)2里，集區(qū)效果與AB交互作用效果是完全相等的，亦即

6、，AB是交絡于集區(qū)。此理由可從2k設計的正負符號表明顯視出，處理組合因子效果IABAB(1)+-+a+-b+-+-ab+這作法可用來交絡任何效果(A，B或AB)于集區(qū)。如(1)與b指訂到集區(qū)1及a與ab指訂到集區(qū)2，則A的主效果將被交絡于集區(qū)。一般是將最高階交互作用效果交絡于集區(qū)。上述作法可用來交絡任何2k設計于2個集區(qū)。建構集區(qū)的其它方法(Other Methods for Constructing the Blocks)此為利用線性組合，L = a1x1+ a2x2 + + akxk(7-1)其中xi是出現在處理組合中第i個因子的水準，與ai是要被交絡的效果中第i個因子的冪次(Expone

7、nt)。對2k系統(tǒng)，ai = 0或1，及xi= 0 (低水準)或xi= 1 (高水平)。式(7-1)稱之為定義對比(Defining Contrast)，會產生相同L(Mod 2)的可能值只有0與1，如此指訂2k個處理組合正好到2個集區(qū)里。茲考慮23設計而且交絡ABC于集區(qū)，在此x1對應A、x2對應B、x3對應C，與a1 = a2 = a3 =1，因此，對應于ABC的定義對比為，L = x1+ x2 + x3因此處理組合(1)在(0,1)的符號表示下為000；所以，L = 1(0)+1(0)+1(0)= 0 = 0 (Mod 2)同理，處理組合a為100；所以，L = 1(1)+1(0)+1(

8、0)= 1 = 1 (Mod 2)故(1)與a將分屬不同的集區(qū)。對于其它的處理組合，b:L = 1(0)+1(1)+1(0)= 1= 1 (Mod 2)ab:L = 1(1)+1(1)+1(0)= 2 = 0 (Mod 2)c: L = 1(0)+1(0)+1(1)= 1= 1 (Mod 2)ac: L = 1(1)+1(0)+1(1)= 2 = 0 (Mod 2)bc: L = 1(0)+1(1)+1(1)= 2 = 0 (Mod 2)abc: L = 1(1)+1(1)+1(1)= 3 = 1 (Mod 2)所以，(1), ab, ac, bc屬于集區(qū)1；a, b, c, abc屬于集區(qū)2

9、，這與用正負符號表所產生的設計完全相同。另一種建構這些設計的方法，包含處理組合(1)的集區(qū)稱之為主集區(qū)(Principal Block)，在此集區(qū)里的處理組合有一個很有用的群理論性質(Group-Theoretic Property)，即它們以乘法Mod 2的運算而形成之一”群”(Group)，此意謂著主集區(qū)內的任何元素除(1)外可由主集區(qū)內任2個元素(處理組合)相乘法的Mod 2得到，如ABC交絡之23設計在2個集區(qū)的主集區(qū)，ab ac = a2bc = bc；ab bc = ab2c = ac；ac bc = abc2 = ab因此主集區(qū)的元素為(1), ab, ac, bc。而另一集區(qū)，

10、可由一個非主集區(qū)的元素(處理組合)乘以主集區(qū)的每一個元素Mod 2產生。其中，b是在另一集區(qū)里，故另一集區(qū)的元素為，b (1) = b；b ab = ab2 = a；b ac = abc；b bc = b2 c = c其結果與先前得到的一致。誤差的估計(Estimation of Error)當因子數目很小時(2k，LevelFactor)，如k = 2或3，通常有必要反復實驗以獲得一個誤差估計值。如23因子實驗必須以2個集區(qū)來進行且ABC被交絡，實驗者決定反復設計4次，如下圖，集區(qū)1集區(qū)2(1)acabbcabcabc反覆1集區(qū)1集區(qū)2(1)acabbcabcabc反覆2集區(qū)1集區(qū)2(1)a

11、cabbcabcabc反覆3集區(qū)1集區(qū)2(1)acabbcabcabc反覆4圖7-3 反復4次ABC被交絡之23設計此設計總共32個觀測值和31個自由度，有8個集區(qū)即7個自由度，此7個自由度分解為FA= FB= FC= FAB= FBC= FAC= FABC= 1，而誤差平方為反復與因子效果(A, B, C, AB, AC, BC)之二者交互作用?？紤]視交互作用為零且將其均方作為誤差估計值的作法是成立的，此均方誤差可以檢定主效果與2-因子交互作用效果。ANOVA-反復4次且交絡ABC之23設計變源自由度反復3集區(qū)(ABC)1ABC的誤差(反復集區(qū))3A, B, C, AB, AC, BC各1誤

12、差(反復效果)18總和31倘實驗資源允許反復的交絡設計，較佳方式是稍微以不同方式來設計各個反復的集區(qū)，此方式包括在每個反復中交絡不同的效果，使得所有的效果都能有一些信息，此法稱之為部分交絡(Partial Confounding)。倘k 不算太小，即k 4，且只一次反復時，實驗者常假設高階交互作用效果是可忽略的，并將其平和合并為誤差。范例7-2回顧再續(xù)范例6-2，一個化學產品于一壓力槽內生產，在實驗工廠進行因子實驗來研究產品的過濾比率(Filtration Rate)，4個因子為溫度(A)、壓力(B)、甲醛濃度(C)、與攪拌速度(D)，各因子均有2水準，單次反復。有興趣于極大化過濾比率。用此實

13、驗來說明一個未反復設計集區(qū)劃分與交絡的概念，假設24 = 16種處理組合無法利用一批原料進行所有的試驗，實驗者由一批原料可以試驗8個處理組合，所以一個24交絡于2個集區(qū)的設計是適當的，且交絡最高階交互作用效果(ABCD)于集區(qū)。-+DABC集區(qū)1集區(qū)2(1)=25ab=45ac=40bc=60ad=80bd=25cd=55abcd=76a=71b=48c=68d=43abc=65bcd=70acd=86abd=1044*假設二批原料中有一批的品質低劣，造成所有的反應值均比用另一批原料所得值低20，即原始反應值減去20，低劣品質原料是集區(qū)1與良好品質原料批為集區(qū)2。計算結果， 4個主效果、6個2

14、-因子交互作用效果、4個3-因子交互作用效果的估計值均與無集區(qū)效果的例6-2所得之效果估計值完全相同。當劃出這些效果估計值的常態(tài)機率圖時，因子A、C、D與AC、AD交互作用為顯著重要效果。 ABCD交互作用效果的估計值原為1.375，但在此實驗其估計值為-18.625，因ABCD交絡于集區(qū)，ABCD交互作用效果的估計值是原1.375加上區(qū)集效果(-20)，即ABCD = 1.375+(-20)= -18.625。集區(qū)效果亦可由二個集區(qū)平均反應差得之，即集區(qū)效果 = =406/8 555/8 = -18.625所以，此效果真正估計= 集區(qū) + ABCD 此實驗倘非以集區(qū)方式進行，且前8次試驗均減

15、去20，則結果可能會非常不同。7-5 2k因子設計交絡于4個集區(qū)(Confounding the 2k Factorial Design in Four Blocks)建構一個交絡于4個集區(qū)而每個集區(qū)有2k-2個觀測值的2k因子設計是有可能的，這種設計對于因子個數k 4而集區(qū)大小卻相當小時特別有效。茲考慮25設計，如每個集區(qū)只能容納8次試驗，則需要4個集區(qū)，選出2個效果交絡于集區(qū)，如ADE與BCE，此二個效果所對應之定義對比為，L1 = x1+ x4 + x5L2 = x2+ x3 + x5則每一個處理組合會產生一個L1 (Mod 2)與L2 (Mod 2)的特定成對值，即(L1 , L2)=

16、 (0, 0), (0, 1), (1, 0),或(1, 1)，產生相同的(L1 , L2)值的處理組合將被指訂至同一集區(qū)，如，L1 = 0, L2= 0 (1), ad, bc, abcd, ab, ace, cde, bdeL1 = 1, L2= 0 a, d, abc, bcd, be, abde, ce, acdeL1 = 0, L2= 1 b, abd, c, acd, abce, ae, bcde, deL1 = 1, L2= 1 e, ade, bce, ab, abcde, bd, ac, cdL1 = 0L2 = 0(1) abcad acebc cdeabcd bdeabe

17、d abdeabc ce bcd acdeBlock 1L1 = 1L2 = 0Block 2L1 = 1L2 = 1b abceabd aec bcdeacd dee abcdeade bdbce ac ab cdBlock 4L1 = 0L2 = 1Block 3圖7-5 交絡ADE, BCE與ABCD之4個集區(qū)之25設計仔細思量，除了ADE與BCE外，尚有另一個效果被集區(qū)交絡，因4個集區(qū)有3個自由度，而ADE與BCE各有1個自由度，明顯地另有一個1個自由度的效果亦被交絡矣，此即ADE與BCE的廣義交互作用(Generalized Interaction)，其定義為ADE與BCE的乘積Mo

18、d 2，因此，ADE與BCE的廣義交互作用為(ADE)(BCE) = ABCDE2 = ABCD ，且亦交絡于集區(qū)。注意，對某個特定集區(qū)里的任何2個效果的符號相乘(e.g., ADE與BCE)帶來該集區(qū)另一個效果的符號(即ABCD)。因此，ADE，BCE與ABCD都是交絡于集區(qū)。由25設計的正負符號，可知處理組合被指派至集區(qū)如下處理組合在ADE的符號BCE的符號ABCD的符號集區(qū)1-+集區(qū)2+-集區(qū)3-+-集區(qū)4+在上節(jié)7-4中提及之主集區(qū)的群理論性質仍成立，主集區(qū)里的2個處理組合的乘積產生主集區(qū)里的另一個元素，亦即，如，ad bc = abcd；abe bde = ab2de2 = ad要建

19、構另一集區(qū)，則選一個不在主集區(qū)里之處理組合(如b)與主集區(qū)里的處理組合乘以b，則，b (1) = b；b ad = abd；b bc = c；b abcd = acd如此會產生集區(qū)3里之8個處理組合。實務上，主集區(qū)可以從定義對比與群理論性質得到，而其它集區(qū)之處理組合由上述方法決定。建構一個4集區(qū)的2k設計的一般步驟： 選擇2效果與集區(qū)交絡，自然會有第3個效果(即是前2個的廣義交互作用)與集區(qū)交絡， 利用2個定義對比(L1 , L2)與主集區(qū)的群理論性質來建構所要的設計， 在選擇交絡于集區(qū)之效果時務必謹慎，以免有興趣的效果被交絡。犧牲3因子交互作用的信息比犧牲2因子交互作用更合意(ADE 與BC

20、E ABCD；ABCDE與ABD CE)7-6 2k因子設計交絡于2p個集區(qū)(Confounding the 2k Factorial Design in 2p Blocks)上述方法可擴至建構一個交絡于2p( p k )個集區(qū)，而其中每個集區(qū)恰有2k-p個處理組合的2k因子設計，實驗者選出p個獨立要交絡之效果，此處獨立意指所選出的效果非其中任2個效果之廣義交互作用，這些集區(qū)可以利用所對應的p個定義對比產生。另外，恰有2p-p-1個其它效果亦被交絡，即初選之p個獨立效果的廣義交互作用，當然，選出p個獨立交絡效果時須謹慎，以免一些有興趣之效果被交絡矣。這些設計之統(tǒng)計分析，即所有效果平方和的計算如

21、無集區(qū)劃分般，而集區(qū)平方和則為被交絡效果平方和之和。假設建構一個26設計而交絡在23 = 8個集區(qū)，且每個集區(qū)有8個試驗，茲選ABEF, ABCD, 與ACE作為p = 3個獨立將被集區(qū)交絡之效果，同時亦有2p-p-1=23-3-1=4效果被交絡，即這些為3個(ABEF, ABCD, 與ACE)之廣義交互作用，則為，(ABEF)(ABCD)= A2B2CDEF= CDEF(ABEF)(ACE)= A2BCE2F = BCF(ABCD)(ACE) =A2BC2DE = BDE(ABEF)(ABCD)(ACE)=A3B2CDE2F = ADF7-7 部份交絡(Partial Confounding

22、)除非實驗者有一個誤差的事先估計值，或假設某些交互作用可忽略，否則必須反復設計以得到一個誤差的估計值，如23因子實驗必須以2個集區(qū)來進行且ABC被交絡，實驗者決定反復設計4次，如下圖，集區(qū)1集區(qū)2(1)acabbcabcabc反覆1集區(qū)1集區(qū)2(1)acabbcabcabc反覆2集區(qū)1集區(qū)2(1)acabbcabcabc反覆3集區(qū)1集區(qū)2(1)acabbcabcabc反覆4圖7-3 反復4次的ABC被交絡之23設計由上圖(7-3)與其ANOVA表知，交互作用ABC的信息是完全喪失，因每次反復中ABC均與集區(qū)交絡，此稱之為完全交絡(Completely Confounded)。交絡ABC(1)abacbcabcabc反覆1交絡AB(1)cababcabacbc反覆2交絡BC(1)abcabcbcabac反覆3交絡AC(1)bacabcacabbc反覆4圖7-6 部份交絡之23設