湖南大學機械振動習題課1

1、1. 求圖1所示系統(tǒng)中均勻剛性桿AB在A點對坐標x的等效質量。桿的質量為m，A端彈簧的剛度為k。鉸C點到A點的距離為al（0a1），試求C點鉸支座放置何處時系統(tǒng)的固有頻率達到最大值。圖1 解：取x為廣義坐標，根據(jù)等效系統(tǒng)與原系統(tǒng)的動能相等得：222211()22122emllxm xmalal由于固有頻率與質量的平方根成反比，欲得到最高固有頻率，必須使me為極?。旱茫捍耄菏菫闃O小值，故鉸鏈應放在離A端 處。23l故211(1)3emmaa3d320d3emaaa23a 224d2(1)0demaaa2. 一彈簧k與阻尼器c并聯(lián)于無質量的水平板上。今將一質量m輕放在板上后立即松手，系統(tǒng)即作衰減

2、振動。問質量m的最大振幅是多少？發(fā)生在何時？最大速度是多少？發(fā)生在何時？設阻尼比01。 圖 2解：系統(tǒng)自由振動的微分方程為：在t=0，x=x0 ， 的初始條件下的響應為：式中：0mxcxkx0 x 0(cossin)(1)ntndddxx ett21dn對（1）式取一次導數(shù)：最大振幅應發(fā)生在 時，由（2）式可知：時質量m振幅最大，代入（1）式得：最大速度發(fā)生在 時，由（2）式可得：或20sin(2)ntnddxx et 0 x 0mt max0mgxxk0 x cossin0nd md mdtttgdd mnt時速度最大，代入（2）式得： 應注意最大速度并不發(fā)生在質量m過靜平衡位置時，這是和無

3、阻尼自由振動不同之處。maxn mtngxe3. 一飛機升降舵的控制板鉸接于升降舵的軸上，如圖3所示O點，另有一相當于扭簧k的聯(lián)動裝置控制其轉動。已知控制板繞O點的轉動慣量為I O 。為計算控制板系統(tǒng)的固有頻率，用圖示試驗方法測定k 。將升降舵固定，而在控制板的自由端聯(lián)接兩個彈簧k1 ，k2 。使k2的一端有簡諧支承運動y=asin。調節(jié)激振頻率至系統(tǒng)共振，測定共振頻率為0 。試計算k及控制板的固有頻率。 圖 3 控制板； 升降舵當我們需要操縱飛機抬頭或低頭時，水平尾翼中的升降舵就會發(fā)生當我們需要操縱飛機抬頭或低頭時，水平尾翼中的升降舵就會發(fā)生作用。升降舵是水平尾翼中可操縱的翼面部分，其作用是

4、對飛機進作用。升降舵是水平尾翼中可操縱的翼面部分，其作用是對飛機進行俯仰操縱。行俯仰操縱。紅線表示氣流方向紅線表示氣流方向(也就是飛機機頭方向吹過來的風的方向），黑線表示平尾，藍也就是飛機機頭方向吹過來的風的方向），黑線表示平尾，藍線表示升降舵舵面。線表示升降舵舵面。圖圖1-飛機起飛時升降舵舵面的情況，飛機往前飛，氣流就往后吹，氣流遇到升降飛機起飛時升降舵舵面的情況，飛機往前飛，氣流就往后吹，氣流遇到升降舵上翹的舵面產生阻力，阻力產生壓力，壓力把升降舵舵面往下壓，飛機機頭就舵上翹的舵面產生阻力，阻力產生壓力，壓力把升降舵舵面往下壓，飛機機頭就會自然向上了，飛機就往上飛。會自然向上了，飛機就往上

5、飛。圖圖2-飛機下降時候升降舵舵面的情況。圖飛機下降時候升降舵舵面的情況。圖3-飛機就是平飛狀態(tài)。飛機就是平飛狀態(tài)。 圖1圖2圖3控制板的固有圓頻率為：2212000()nkkk lII圖 3解：取廣義坐標如圖，系統(tǒng)的振動微分 方程為：故：20122() sinIkkk lk lat 221200()kkk lI220012()KIkk l共振頻率為：1.求圖1所示系統(tǒng)的固有頻率。AB為剛性桿，桿本身質量忽略不計。圖1圖b解：方法（1）：能量法 取廣義坐標如圖，利用等效質量和等效剛度的概念，可把原系統(tǒng)等效成為圖b所示等效系統(tǒng)。根據(jù)等效前后動能相等：2221124111()()222eTm am

6、 aIIeeKKeme得轉動慣量：等效轉動剛度：根據(jù)等效前后勢能相等：固有頻率為：取m1, m2, K1, K2處的豎向位移為廣義坐標，如何等效？221 124eIm am a221 123eKK aK a2221223111()()222eUK aKaK222132221142eneKa Ka KIa ma m方法（2）：定義法設使系統(tǒng)繞A點產生單位角加速度需要施加彎矩M，則在m1、m2上產生繞A點的慣性矩： 221 12411Mm am a 221 124eIMm am a設使系統(tǒng)產生單位轉角需要施加彎矩M，則在K1、K2處將產生彈性恢復力，對支點取矩： 12223311MKaaKaa22

7、1223eKMK aK a固有頻率為：222132221142eneKa Ka KIa ma m2.一質量m =2000 kg，以勻速度v =3 cm/s運動，與彈簧K、阻尼器C相撞后一起作自由振動，如圖所示。已知K=48020 N/m，C=1960 N-s/m。問質量m在相撞后多少時間達到最大振幅？最大振幅是多大？ 圖 2解： 系統(tǒng)自由振動的微分方程為：在t=0,x=0, 的初始條件下的響應為：0mxCxKx0 xx0sinntddxxet由 ，得最大振幅發(fā)生在令代入得tm=0.3 s，最大振幅為：應注意最大振幅并不發(fā)生在 ，即 時，此時：0(cossin)ntddnddxxett0 x 1

8、1tgdmdnt480204.9/s2000nkradm222219601()4.9()4.875/s22 2000dnnCradm0maxsin0.529 cmn mtd mdxxet2dt/(2)00.526 cmnddxxe sin1dt3.求圖3所示系統(tǒng)在支撐運動為ys=y0 sint時的振動微分方程。AB為剛性桿。 圖 3解： 方法（1）按原系統(tǒng)列振動微分方程。syyl 設為AB桿的相對轉角，y為m上下運動時的絕對位 移，AB桿的靜平衡位置為水平，由運動學知識有：y1()(1)1()ssyylyyl故：由動量矩或牛頓定律建立方程0(2)mylka a將（1）代入（2）式，經化簡可得系統(tǒng)的振動微分方程為：2222sKaKamyyyll代入0sinsyyt得：22022sinKa yKayytmlml所以：方法（2），按等效系統(tǒng)列振動微分方程。將系統(tǒng)在B點y方向上等效，利用勢能相等求等效剛度Ke有：