一般線性規(guī)劃數(shù)學模型

1、一般線性規(guī)劃問題1. 線性規(guī)劃的條件：1 決策變量有沒有-必須有2 目標函數(shù)和約束條件是不是決策變量的線性表達式-必須是3 決策變量非負條件是否滿足-必須滿足4 目標函數(shù)是否表現(xiàn)出極大化或極小化-必須表現(xiàn)2. 線性規(guī)劃的表達式 目標函數(shù)： 約束條件：.非負性約束：問題重述某儲蓄所每天的營業(yè)時間是上午9時到下午5時。根據(jù)經(jīng)驗，每天不同時間段所需要的服務員數(shù)量如表17所示。儲蓄所可以雇用全時和半時兩類服務員。全時服務員每天報酬100元，從上午9時到下午5時工作，但中午12時到下午2時之間必須安排1h的午餐時間。儲蓄所每天可以雇用不超過3名的半時服務員，每個半小時服務員必須連續(xù)工作4h，報酬40元。

2、（1）問該儲蓄所應如何雇用全時和半時兩類服務員。（2）如果不能雇用半時服務員，每天至少增加多少費用。（3）如果雇用半時服務員的數(shù)量沒有限制，每天可以減少多少費用？表16 每天不同時間段所需要的服務員數(shù)量時間段/時9-1010-1111-1212-1313-1414-1515-1616-17服務員數(shù)量/人43465688附表為儲蓄所每天每個時段所需的服務員數(shù)量，建立數(shù)學模型，解決如下問題：對儲蓄所的雇用選擇數(shù)學模型進行分析，特別說明怎么樣建立一個能夠說明全時服務員雇用人數(shù)、半時服務員雇用人數(shù)及儲蓄所支付工資最少的方案，并闡明這樣建立模型的理由。基本假設（1）服務員在工作期間，無因事而有請假、半退

3、等情況；（2）在12-14時間段，全時服務員能夠做到分段休息的安排，以保證儲蓄所在這個時間段的營業(yè)；（3）每個服務員都具備著良好的服務能力，保證每個人做到各司其職，效率良好?！痉柤s定】 ：儲蓄所支付服務員最小工資數(shù)；x1：12-13時間段全時服務員仍在工作的人數(shù)；x2：13-14時間段全時服務員仍在工作的人數(shù)；y1：9點半時服務員開始工作的人數(shù)；y2：10點半時服務員開始工作的人數(shù)；y3：11點半時服務員開始工作的人數(shù)；y4：12點半時服務員開始工作的人數(shù)；y5：13點半時服務員開始工作的人數(shù)；問題分析問題提出要說明全時服務員要雇用多少人，半時服務員又要雇用多少人，在滿足儲蓄所日常正常經(jīng)營下

4、，使得儲蓄所支付最少服務員的工資，使自己有最大的凈利潤。因此在此問題上，我們建立起數(shù)學中最常見的線性規(guī)劃的模型，并利用MATLAB或者LINGO等數(shù)學軟件，幫助我們快速解題。我們在數(shù)學模型搭建過程中，假設剔除掉影響變量的不可控因素，比如，在工作期間，某服務員由于家里出事，急忙請假等，這些不可控因素直接導致整個模型架難以搭起，所以進行合理化假設。這樣，我們整個線性規(guī)劃模型搭建起來。模型的建立與求解問題一根據(jù)每天不同時間段所需要的服務員數(shù)量，列出所有變量的不等式關系。=100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5;x1+x2+y14;x1+x2+y1+y2

5、3;x1+x2+y1+y2+y34;x1+y1+y2+y3+y46;x2+y2+y3+y4+y55;x1+x2+y3+y4+y56;x1+x2+y4+y58;x1+x2+y58;y1+y2+y3+y4+y53; 從而將實際問題模型轉(zhuǎn)化成數(shù)學中求解線性規(guī)劃問題的模型。通過MATLAB軟件中的linprog函數(shù)，求出使儲蓄所獲得最大凈利潤時所有變量的值(由于解決的是實際問題，所以求出的變量值(人數(shù))必須是整數(shù)，所以用linprog函數(shù)時需要改成整形函數(shù)，即intlinprog)。從而得到招聘的一種方案。即 12-13時間段全時服務員仍在工作的人數(shù)x1為4人； 13-14時間段全時服務員仍在工作的人

6、數(shù)x2為3人； 9點半時服務員開始工作的人數(shù)y1為0人； 10點半時服務員開始工作的人數(shù)y2為0人； 11點半時服務員開始工作的人數(shù)y3為2人； 12點半時服務員開始工作的人數(shù)y4為0人； 13點半時服務員開始工作的人數(shù)y5為1人。所以這種方案儲蓄所的每天總花費為820元?；蛘咄ㄟ^LINGO軟件進行不等式求解，得到另一種招聘方案： 12-13時間段全時服務員仍在工作的人數(shù)x1為4人； 13-14時間段全時服務員仍在工作的人數(shù)x2為3人； 9點半時服務員開始工作的人數(shù)y1為0人； 10點半時服務員開始工作的人數(shù)y2為2人； 11點半時服務員開始工作的人數(shù)y3為0人； 12點半時服務員開始工作的人

7、數(shù)y4為0人； 13點半時服務員開始工作的人數(shù)y5為1人。這種方案儲蓄所的每天總花費也為820元。（2）問題二 問題二的處理方式和問題一一樣。首先列出變量的關系式： min=100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5; x1+x2+y14; x1+x2+y1+y23; x1+x2+y1+y2+y34; x1+y1+y2+y3+y46; x2+y2+y3+y4+y55; x1+x2+y3+y4+y56; x1+x2+y4+y58; x1+x2+y58; y1=0; y2=0; y3=0; y4=0; y5=0;利用MATLAB軟件中的linprog函數(shù)

8、進行處理。得到不能雇用半時服務員的雇用的最佳方案。即 12-13時間段全時服務員仍在工作的人數(shù)x1為6人； 13-14時間段全時服務員仍在工作的人數(shù)x2為5人； 9點半時服務員開始工作的人數(shù)y1為0人； 10點半時服務員開始工作的人數(shù)y2為0人； 11點半時服務員開始工作的人數(shù)y3為0人； 12點半時服務員開始工作的人數(shù)y4為0人； 13點半時服務員開始工作的人數(shù)y5為0人。此時儲蓄所每天所需付給服務員的總金額為1100元，所以每天增加了280元的開支?；蛘呃肔INGO軟件對關系式進行處理，得到的雇用方案和上述方案相同。 （3）問題三 利用與問題一、問題二相同的方法，列出關系式： min=1

9、00*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5; x1+x2+y14; x1+x2+y1+y23; x1+x2+y1+y2+y34; x1+y1+y2+y3+y46; x2+y2+y3+y4+y55; x1+x2+y3+y4+y56; x1+x2+y4+y58; x1+x2+y58; 利用MATLAB軟件中的linprog函數(shù)進行處理。得到雇用半時服務員的數(shù)量沒有限制時的最佳雇傭方案： 12-13時間段全時服務員仍在工作的人數(shù)x1為0人； 13-14時間段全時服務員仍在工作的人數(shù)x2為0人； 9點半時服務員開始工作的人數(shù)y1為4人； 10點半時服務員開始工

10、作的人數(shù)y2為0人； 11點半時服務員開始工作的人數(shù)y3為2人； 12點半時服務員開始工作的人數(shù)y4為0人； 13點半時服務員開始工作的人數(shù)y5為8人。 此時儲蓄所每天所需付給服務員的總金額為540元，減少了280元的開支。同理利用LINGO軟件對關系式進行處理得到另一種雇用方法： 12-13時間段全時服務員仍在工作的人數(shù)x1為0人； 13-14時間段全時服務員仍在工作的人數(shù)x2為0人； 9點半時服務員開始工作的人數(shù)y1為6人； 10點半時服務員開始工作的人數(shù)y2為0人； 11點半時服務員開始工作的人數(shù)y3為0人； 12點半時服務員開始工作的人數(shù)y4為0人； 13點半時服務員開始工作的人數(shù)y5

11、為8人。 此時儲蓄所每天所需付給服務員的總金額為540元，也減少了280元的開支。 Matlab代碼：【1】f=100;100;40;40;40;40;40A=1 1 1 0 0 0 0;1 1 1 1 0 0 0;1 1 1 1 1 0 0;1 0 1 1 1 1 0;0 1 0 1 1 1 1;1 1 0 0 1 1 1;1 1 0 0 0 1 1;1 1 0 0 0 0 1;0 0 -1 -1 -1 -1 -1B=4;3;4;6;5;6;8;8;-3lb=zeros(7,1)x,fval=intlinprog(f,1,2,-A,-B,lb)【2】f=100;100A=1 1;1 1;1

12、1;1 0;0 1;1 1;1 1;1 1B=4;3;4;6;5;6;8;8lb=zeros(2,1)x,fval=intlinprog(f,1,2,-A,-B,lb)【3】f=100;100;40;40;40;40;40A=1 1 1 0 0 0 0;1 1 1 1 0 0 0;1 1 1 1 1 0 0;1 0 1 1 1 1 0;0 1 0 1 1 1 1;1 1 0 0 1 1 1;1 1 0 0 0 1 1;1 1 0 0 0 0 1B=4;3;4;6;5;6;8;8lb=zeros(7,1)x,fval=intlinprog(f,1,2,-A,-B,lb)Lingo代碼：model

13、1:min=100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5;x1+x2+y1>=4;x1+x2+y1+y2>=3;x1+x2+y1+y2+y3>=4;x1+y1+y2+y3+y4>=6;x2+y2+y3+y4+y5>=5;x1+x2+y3+y4+y5>=6;x1+x2+y4+y5>=8;x1+x2+y5>=8;y1+y2+y3+y4+y5<=3;gin(x1);gin(x2);gin(y1);gin(y2);gin(y3);gin(y4);gin(y5);endmodel2:min=100*x1+10

14、0*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5;x1+x2+y1>=4;x1+x2+y1+y2>=3;x1+x2+y1+y2+y3>=4;x1+y1+y2+y3+y4>=6;x2+y2+y3+y4+y5>=5;x1+x2+y3+y4+y5>=6;x1+x2+y4+y5>=8;x1+x2+y5>=8;y1=0;y2=0;y3=0;y4=0;y5=0;gin(x1);gin(x2);gin(y1);gin(y2);gin(y3);gin(y4);gin(y5);endmodel3:min=100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4