數(shù)學(xué)史：第六章微積分方法與函數(shù)概念的演變ppt課件

1、第六章第六章微積分方法與函數(shù)概念的演變微積分方法與函數(shù)概念的演變6.1極限觀念極限觀念劉徽求積術(shù)中樸素的極限思想方法劉徽求積術(shù)中樸素的極限思想方法例如例如, , 劉徽以弓形的弦劉徽以弓形的弦a1a1為底、高為底、高h(yuǎn)1h1的端點(diǎn)為頂點(diǎn)的端點(diǎn)為頂點(diǎn)在弓形內(nèi)作內(nèi)接等腰三角形，求出其面積在弓形內(nèi)作內(nèi)接等腰三角形，求出其面積1= 1= a1 h1a1 h1。再以此三角形的兩腰為底作小弓形的內(nèi)。再以此三角形的兩腰為底作小弓形的內(nèi)接等腰三角形，每一個(gè)小弓形的面積為接等腰三角形，每一個(gè)小弓形的面積為2= 2= a2h2a2h2。因兩小弓形的面積相等，故有。因兩小弓形的面積相等，故有2 22= a2 2= a

2、2 h2h2。如此類推下去，到第。如此類推下去，到第n n次就有次就有2n2n1 1n=2 nn=2 n2anhn2anhn。把這些三角形的面積加起來，設(shè)。把這些三角形的面積加起來，設(shè)SnSn為為其和，那么其和，那么 Sn= 2i1 Sn= 2i1 i =2i2aihi i =2i2aihi 。劉徽對(duì)這個(gè)過程指出：劉徽對(duì)這個(gè)過程指出：“割之又割，使至極細(xì)，割之又割，使至極細(xì)，但舉弦矢相乘之?dāng)?shù)，則必近密率矣但舉弦矢相乘之?dāng)?shù)，則必近密率矣”。這可以用。這可以用極限的方法表示為：設(shè)極限的方法表示為：設(shè)S S為弓形面積，就有為弓形面積，就有S =Sn S =Sn =2i=2i1 1i i 。 插如圖插

3、如圖6.16.16.2 量分割與積分方法量分割與積分方法6.2.1 6.2.1 阿基米德的平衡法阿基米德的平衡法先把面積或體積分成很多窄先把面積或體積分成很多窄的平行條或薄的平行層。進(jìn)的平行條或薄的平行層。進(jìn)而假設(shè)把這些薄片掛在杠桿而假設(shè)把這些薄片掛在杠桿的一端，使它們平衡于容積的一端，使它們平衡于容積和重心都為已知的一個(gè)圖形，和重心都為已知的一個(gè)圖形，而且已知圖形的面體積而且已知圖形的面體積一般都是容易求得的。一般都是容易求得的。例如例如, ,令令r r為該球體的半徑。把這個(gè)球的兩極直徑放在水平為該球體的半徑。把這個(gè)球的兩極直徑放在水平x x軸上，軸上，如圖如圖6.16.1，使北極點(diǎn)，使北極

4、點(diǎn)N N與坐標(biāo)軸原點(diǎn)重合。作與坐標(biāo)軸原點(diǎn)重合。作2r2rr r的矩形的矩形NABSNABS和等和等腰直角腰直角NCS NCS ，其中，其中CSNSCSNS。讓它們圍繞。讓它們圍繞x x軸旋轉(zhuǎn)，得到圓柱和圓軸旋轉(zhuǎn)，得到圓柱和圓錐。然后，從這三個(gè)立體上切下與錐。然后，從這三個(gè)立體上切下與N N的距離為的距離為x x、厚度為、厚度為x x的豎立的豎立的薄片，并假設(shè)它們是扁平的圓柱體。這些薄片的體積分別近似地的薄片，并假設(shè)它們是扁平的圓柱體。這些薄片的體積分別近似地為：為：球體：球體：x(2rx(2rx)x)x x，（若設(shè)球片底面半徑為，（若設(shè)球片底面半徑為R R，則，則R2=r2R2=r2（x xr

5、 r2=x2=x2r2rx x）柱體：柱體：r2r2x x錐體：錐體：x2x2x x把球體和錐體的薄片掛在把球體和錐體的薄片掛在T T點(diǎn)在這里點(diǎn)在這里TN = 2rTN = 2r上。它們的關(guān)于上。它們的關(guān)于N N的組合力矩一個(gè)體積關(guān)于一個(gè)點(diǎn)的矩，是該體積與此點(diǎn)至此體積的組合力矩一個(gè)體積關(guān)于一個(gè)點(diǎn)的矩，是該體積與此點(diǎn)至此體積重心的距離的乘積為：重心的距離的乘積為：x(2rx(2rx)x)x+x2x+x2x2r = 4r2xx2r = 4r2xx x這是從柱體上切下來的薄片放在左邊與這是從柱體上切下來的薄片放在左邊與N N的距離為的距離為x x處的力矩的四倍。處的力矩的四倍。把所有的這些薄片加到一

6、起，得：把所有的這些薄片加到一起，得： 2r 2r 球體體積球體體積+ +圓錐體積圓錐體積 = 4r = 4r圓柱體積圓柱體積 。即，即， 2r 2r 球體體積球體體積+ = 8r4.+ = 8r4.所以，所以， 球體體積球體體積= =6.2.2 開普勒的旋轉(zhuǎn)體體積公式開普勒的旋轉(zhuǎn)體體積公式用無數(shù)個(gè)用無數(shù)個(gè)“同維數(shù)的無窮小元素同維數(shù)的無窮小元素之和來求面積和體積的方法之和來求面積和體積的方法例如例如, , 設(shè)半徑為設(shè)半徑為R R的圓圍繞其所在平面上且與圓的圓圍繞其所在平面上且與圓心距離為心距離為d d的垂直軸旋轉(zhuǎn)而形成圓環(huán)。開普勒證的垂直軸旋轉(zhuǎn)而形成圓環(huán)。開普勒證明了用通過旋轉(zhuǎn)軸的平面，可以把

7、圓環(huán)分成無窮明了用通過旋轉(zhuǎn)軸的平面，可以把圓環(huán)分成無窮多個(gè)內(nèi)側(cè)較薄、外側(cè)較厚的垂直薄圓片，而把每多個(gè)內(nèi)側(cè)較薄、外側(cè)較厚的垂直薄圓片，而把每一個(gè)薄圓片又分成無窮多個(gè)橫截面為梯形的水平一個(gè)薄圓片又分成無窮多個(gè)橫截面為梯形的水平薄片薄片, ,進(jìn)而先推導(dǎo)出每個(gè)圓片的體積是進(jìn)而先推導(dǎo)出每個(gè)圓片的體積是 R2lR2l，其中其中l(wèi) =l =是圓片最小厚度是圓片最小厚度l1l1與最大厚度與最大厚度l2l2的平均的平均值，亦即圓片在其中心處的厚度。然后他進(jìn)一步值，亦即圓片在其中心處的厚度。然后他進(jìn)一步推算圓環(huán)的體積推算圓環(huán)的體積V = (R2) = (R2) (2d)=22R2dV = (R2) = (R2)

8、(2d)=22R2d。6.2.3 卡瓦列里的不可分量原理卡瓦列里的不可分量原理“不可分量原理不可分量原理”( (意大利卡瓦列意大利卡瓦列里里,1635,1635年年) )第一次給出了積分的一第一次給出了積分的一般方法。般方法。第一原理第一原理:有兩個(gè)平面片處于兩條平行線之間，有兩個(gè)平面片處于兩條平行線之間， 在這兩個(gè)平面片內(nèi)作任意平行于這兩條平在這兩個(gè)平面片內(nèi)作任意平行于這兩條平行線的直線，如果它們被平面片所截得的行線的直線，如果它們被平面片所截得的線段長度相等，則這兩個(gè)平面片的面積相線段長度相等，則這兩個(gè)平面片的面積相等。等。第二原理：有兩個(gè)立體處于兩個(gè)平行平面之間，第二原理：有兩個(gè)立體處于

9、兩個(gè)平行平面之間，在這兩個(gè)平行平面之間作任意平行于這兩個(gè)平在這兩個(gè)平行平面之間作任意平行于這兩個(gè)平面的平面，如果它們被立體所截得的面積相等，面的平面，如果它們被立體所截得的面積相等，則這兩個(gè)立體的體積相等。則這兩個(gè)立體的體積相等。實(shí)例實(shí)例對(duì)于被置于同一個(gè)直角坐標(biāo)系上的橢圓和對(duì)于被置于同一個(gè)直角坐標(biāo)系上的橢圓和圓圓= 1= 1a ba b）, x2 + y2 = a2, x2 + y2 = a2,從上述每一個(gè)方程中解出從上述每一個(gè)方程中解出y y，得到，得到y(tǒng) =(a2y =(a2x2)1/2, y = (a2x2)1/2, y = (a2x2)1/2x2)1/2由此看出：橢圓和圓的對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)

10、之比由此看出：橢圓和圓的對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)之比為為b/ab/a。這就意味著，橢圓和圓的對(duì)應(yīng)垂。這就意味著，橢圓和圓的對(duì)應(yīng)垂直弦之比是直弦之比是b/ab/a；根據(jù)卡瓦列里不可分量；根據(jù)卡瓦列里不可分量的第一個(gè)原理，有橢圓和圓的面積之比也的第一個(gè)原理，有橢圓和圓的面積之比也是是b/ab/a。6.3 微分方法與微積分的互逆性微分方法與微積分的互逆性微分方法是微分方法是1717世紀(jì)數(shù)學(xué)家在尋找曲世紀(jì)數(shù)學(xué)家在尋找曲線的切線的作法和計(jì)算函數(shù)極值的線的切線的作法和計(jì)算函數(shù)極值的過程中創(chuàng)立的過程中創(chuàng)立的6.3.1費(fèi)馬方法與圓法費(fèi)馬方法與圓法l費(fèi)馬求函數(shù)極大或極小值的思想方法：費(fèi)馬求函數(shù)極大或極小值的思想方法：l如果

11、如果f (x)f (x)在在x x點(diǎn)上有一個(gè)普通的極大值或極小值，并且點(diǎn)上有一個(gè)普通的極大值或極小值，并且若若e e很小，則很小，則f fx xe e的值幾乎等于的值幾乎等于f fx x的值。所以，的值。所以，我們暫時(shí)令我們暫時(shí)令f (xf (xe)= f (x)e)= f (x)，然后，令，然后，令e e取值零，使得等取值零，使得等式成為正確的，所得方程的根就給出使式成為正確的，所得方程的根就給出使f (x)f (x)取極大值或取極大值或極小值的那些極小值的那些x x的值。這是現(xiàn)代微積分學(xué)求函數(shù)的值。這是現(xiàn)代微積分學(xué)求函數(shù)f (x)f (x)的普的普通極大值或極小值的常用方法，然而，費(fèi)馬只是

12、給出了函通極大值或極小值的常用方法，然而，費(fèi)馬只是給出了函數(shù)極值存在的必要但不充分的條件。數(shù)極值存在的必要但不充分的條件。l笛卡爾圓法笛卡爾圓法( (重根法重根法) )，是采用代數(shù)形式給出了求切線的，是采用代數(shù)形式給出了求切線的方法，它不涉及極限的概念方法，它不涉及極限的概念. . 圓法在本質(zhì)上將切線視為割圓法在本質(zhì)上將切線視為割線的極限位置，這與現(xiàn)代的切線概念相一致。但重根的計(jì)線的極限位置，這與現(xiàn)代的切線概念相一致。但重根的計(jì)算過程十分復(fù)雜。算過程十分復(fù)雜。例如，對(duì)于拋物線例如，對(duì)于拋物線y2 = kxy2 = kx，有，有y = f (x) = ,y = f (x) = ,則則方程方程kx

13、 +kx +（v vx x2 =r22 =r2有重根的條件為有重根的條件為kx +kx +（v vx x2 2r2=(xr2=(xe)2.e)2.令等式兩邊令等式兩邊x x的系數(shù)相等，得的系數(shù)相等，得k k2v=2v=2e,2e,即即v = v = e +.e +.代入代入e = x,e = x,于是于是v vx=kx=k，故而求得拋物線在，故而求得拋物線在點(diǎn)點(diǎn)x, x, ）處的切線斜率是）處的切線斜率是6.3.2 特征三角形求切線法特征三角形求切線法16691669年英國數(shù)學(xué)家巴羅利用它找到了求年英國數(shù)學(xué)家巴羅利用它找到了求切線的幾何方法，并發(fā)現(xiàn)了積分與微分切線的幾何方法，并發(fā)現(xiàn)了積分與微分

14、的互逆關(guān)系。以后，萊布尼茲應(yīng)用這個(gè)的互逆關(guān)系。以后，萊布尼茲應(yīng)用這個(gè)三角形建立起他的無窮小量的微積分理三角形建立起他的無窮小量的微積分理論。論。巴羅用幾何法求切線的思想方法巴羅用幾何法求切線的思想方法例如，求曲線例如，求曲線x3+y3=r3x3+y3=r3在一點(diǎn)處的切線，在一點(diǎn)處的切線，可令可令（x xe e3+3+（y ya a3=r33=r3，或或 x3x33x2e+3xe23x2e+3xe2e3+y3e3+y33y2a+3ya23y2a+3ya2a3=r3a3=r3。令令a a和和e e的二次冪和高次冪等于零，并利用已知等的二次冪和高次冪等于零，并利用已知等式式x3+y3=r3x3+y3

15、=r3，上式可化簡為上式可化簡為3x2e+3y2a=03x2e+3y2a=0，由此我們得到由此我們得到a/e=a/e=x2/y2x2/y2。n 萊布尼茲提出了自己的特征三角形并利用它萊布尼茲提出了自己的特征三角形并利用它“毫無毫無困難地建立起大量的定理困難地建立起大量的定理”（萊布尼茲語）。它所得到（萊布尼茲語）。它所得到的第一個(gè)定理是：的第一個(gè)定理是：“由一條曲線的法線形成的圖形，即由一條曲線的法線形成的圖形，即將這些法線在圓的情形就是半徑按縱坐標(biāo)方向置于將這些法線在圓的情形就是半徑按縱坐標(biāo)方向置于軸上所形成的圖形，其面積與曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體軸上所形成的圖形，其面積與曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立

16、體的面積成正比的面積成正比”。n萊布尼茲在關(guān)于特征三角形的研究中認(rèn)識(shí)到：求曲線萊布尼茲在關(guān)于特征三角形的研究中認(rèn)識(shí)到：求曲線的切線依賴于縱坐標(biāo)的差值與橫坐標(biāo)的差值，以及當(dāng)這的切線依賴于縱坐標(biāo)的差值與橫坐標(biāo)的差值，以及當(dāng)這些差值變成無限小時(shí)它們的比值；而求曲線下的面積時(shí)，些差值變成無限小時(shí)它們的比值；而求曲線下的面積時(shí)，則依賴于無限小區(qū)間上的縱坐標(biāo)之和指縱坐標(biāo)乘以無則依賴于無限小區(qū)間上的縱坐標(biāo)之和指縱坐標(biāo)乘以無限小區(qū)間的長度再相加，因而也相當(dāng)于寬度為無限小的限小區(qū)間的長度再相加，因而也相當(dāng)于寬度為無限小的矩形面積之和）。萊布尼茲也看出了這兩類問題的互逆矩形面積之和）。萊布尼茲也看出了這兩類問題的

17、互逆關(guān)系。并且建立起一種更一般的算法，將以往解決這兩關(guān)系。并且建立起一種更一般的算法，將以往解決這兩類問題的各種結(jié)果和技巧統(tǒng)一起來類問題的各種結(jié)果和技巧統(tǒng)一起來6.4牛頓的流數(shù)術(shù)牛頓的流數(shù)術(shù)牛頓微積分理論研究的三個(gè)階段：牛頓微積分理論研究的三個(gè)階段：第一階段，像他的前人那樣使用靜態(tài)的無窮小量觀點(diǎn)，第一階段，像他的前人那樣使用靜態(tài)的無窮小量觀點(diǎn)，憑借二項(xiàng)式定理的推廣形式，使微積分的計(jì)算方法變得憑借二項(xiàng)式定理的推廣形式，使微積分的計(jì)算方法變得程序化；程序化；第二階段，用變量流動(dòng)生成法，創(chuàng)造了流數(shù)術(shù)基本概念第二階段，用變量流動(dòng)生成法，創(chuàng)造了流數(shù)術(shù)基本概念體系；體系；第三階段則用第三階段則用“最初比與

18、最末方法完善其流數(shù)術(shù)的思最初比與最末方法完善其流數(shù)術(shù)的思想。在不斷的發(fā)展和變化中形成了其特有的微積分理論想。在不斷的發(fā)展和變化中形成了其特有的微積分理論6.4.1 6.4.1 二項(xiàng)式定理的推廣二項(xiàng)式定理的推廣牛頓牛頓(1676(1676年年) )的二項(xiàng)式定理，使用的二項(xiàng)式定理，使用現(xiàn)代的方法它可以表示為現(xiàn)代的方法它可以表示為 ： =1+Q+=1+Q+例如求的近似值的方法如下：例如求的近似值的方法如下：7 = 97 = 9（）（）= 9= 91 1），那么），那么= 3= 3代入牛代入牛頓二項(xiàng)式定理，并取前頓二項(xiàng)式定理，并取前6 6項(xiàng)，得：項(xiàng)，得：= 3= 31 1）= 2.64576= 2.6

19、4576牛頓利用二項(xiàng)式定理論證了稱之為牛頓利用二項(xiàng)式定理論證了稱之為“瞬瞬的無窮小增量他稱之為的無窮小增量他稱之為“瞬瞬”）的思想。）的思想。例如，如果平面曲線下的面積曲邊梯形面積的例如，如果平面曲線下的面積曲邊梯形面積的公式是公式是 則曲線的公式是則曲線的公式是y =y =。事實(shí)上，假如橫坐標(biāo)的瞬或無限小增量為事實(shí)上，假如橫坐標(biāo)的瞬或無限小增量為o o，則新的，則新的橫坐標(biāo)是橫坐標(biāo)是x + o,x + o,面積為面積為Z + oy = aZ + oy = a用二項(xiàng)式定理把展開，減掉用二項(xiàng)式定理把展開，減掉Z= Z= ，然后用，然后用o o除兩邊，最后舍去那些包含除兩邊，最后舍去那些包含o o

20、的項(xiàng)，結(jié)果就是。的項(xiàng)，結(jié)果就是。牛頓進(jìn)一步指出：反之，如果曲線是，則曲線下的牛頓進(jìn)一步指出：反之，如果曲線是，則曲線下的曲邊梯形的面積便是曲邊梯形的面積便是 Z =Z =。6.4.2 流數(shù)法流數(shù)法流、流數(shù)與流的增量流、流數(shù)與流的增量牛頓把一條曲線看作是由一個(gè)點(diǎn)的連續(xù)運(yùn)動(dòng)生成的，牛頓把一條曲線看作是由一個(gè)點(diǎn)的連續(xù)運(yùn)動(dòng)生成的，而時(shí)間是基本的自變量。變動(dòng)的量被稱為流，流的而時(shí)間是基本的自變量。變動(dòng)的量被稱為流，流的變化速度即變化率稱為它的流數(shù)）。如果一個(gè)變化速度即變化率稱為它的流數(shù)）。如果一個(gè)流比如，生成一條曲線的點(diǎn)的縱坐標(biāo)用流比如，生成一條曲線的點(diǎn)的縱坐標(biāo)用 y y表示，表示，則這個(gè)流的流數(shù)用表示

21、。則這個(gè)流的流數(shù)用表示。流的矩，指的是流在無窮小的時(shí)間間隔流的矩，指的是流在無窮小的時(shí)間間隔o o中增加的無中增加的無窮小量，即在無限小時(shí)間內(nèi)流的增量。流窮小量，即在無限小時(shí)間內(nèi)流的增量。流x x的矩由乘的矩由乘積積o o給出。牛頓指出：在任何問題中，可以略去所有給出。牛頓指出：在任何問題中，可以略去所有包含包含o o的二次或二次以上冪的項(xiàng)。的二次或二次以上冪的項(xiàng)。流數(shù)法的實(shí)例流數(shù)法的實(shí)例考慮三次方程考慮三次方程x3x3ax2 + axyax2 + axyy3 = 0 y3 = 0 ，以，以x+ox+o代替代替x,x,以以y +y +代替代替y y，得，得x3+3x2(o)+3x(o)2+(

22、o)3x3+3x2(o)+3x(o)2+( o)3ax2ax22ax(o)2ax(o)a (o)2a (o)2+axy+ay(o)+a(o)( )+ax()+axy+ay(o)+a(o)( )+ax()y3y33y2()3y2()3y()23y()2()3=0()3=0然后利用然后利用x3 x3 ax2 + axy ax2 + axy y3= 0y3= 0，把余下的項(xiàng)除以，把余下的項(xiàng)除以o o，再舍棄所有包含再舍棄所有包含o o的二次或二次以上冪的項(xiàng)，便可以得的二次或二次以上冪的項(xiàng)，便可以得到：到： 3x23x22ax+ax+ay2ax+ax+ay3y2=03y2=0由此不難解得由此不難解得/

23、 / ，求出我們今天所謂的微分，求出我們今天所謂的微分dy /dxdy /dx。6.4.3最初比與最終比最初比與最終比“最初比最初比“與最后比的概念，是從實(shí)無限小量觀與最后比的概念，是從實(shí)無限小量觀點(diǎn)轉(zhuǎn)向了極點(diǎn)轉(zhuǎn)向了極限觀點(diǎn)。限觀點(diǎn)。牛頓寫道：牛頓寫道：“流數(shù)之比非常接近于在相等但卻很小的流數(shù)之比非常接近于在相等但卻很小的時(shí)間間隔內(nèi)生成時(shí)間間隔內(nèi)生成的流量的增量比，確切地說它們構(gòu)成增量的最初比的流量的增量比，確切地說它們構(gòu)成增量的最初比”。牛頓還借助于幾何解釋把流數(shù)理解為增量消逝時(shí)獲得牛頓還借助于幾何解釋把流數(shù)理解為增量消逝時(shí)獲得的最終比。的最終比。應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用實(shí)例為了求為了求y = xny

24、= xn的流數(shù)，設(shè)的流數(shù)，設(shè)x x經(jīng)均勻流動(dòng)經(jīng)均勻流動(dòng)變?yōu)樽優(yōu)閤 + o, xnx + o, xn則變?yōu)閯t變?yōu)?x + o)n = xn + (x + o)n = xn + naxn-1 +o2 x n-2+naxn-1 +o2 x n-2+，構(gòu)成兩變化的，構(gòu)成兩變化的“最初比為：最初比為：然后設(shè)增量然后設(shè)增量o o消逝，即令消逝，即令o0 o0 時(shí)，得到時(shí)，得到它們的最末比就是。這也是它們的最末比就是。這也是x x的流數(shù)與的流數(shù)與xnxn的流數(shù)之比，即變化率的流數(shù)之比，即變化率6.5 萊布尼茲的數(shù)列階差法萊布尼茲的數(shù)列階差法萊布尼茲則是從數(shù)列的階差入手證明微萊布尼茲則是從數(shù)列的階差入手證明微

25、積分的積分的萊布尼茲憑借著對(duì)數(shù)列的洞察力，建立萊布尼茲憑借著對(duì)數(shù)列的洞察力，建立了自己的積分方法了自己的積分方法譬如：對(duì)于函數(shù)譬如：對(duì)于函數(shù)y=xy=x，他把，他把x x用來表示相鄰兩項(xiàng)的用來表示相鄰兩項(xiàng)的次序，并取序數(shù)差為次序，并取序數(shù)差為1 1，設(shè)，設(shè)l l為兩相鄰項(xiàng)的實(shí)際差。為兩相鄰項(xiàng)的實(shí)際差。萊布尼茲用拉丁文萊布尼茲用拉丁文omniaomnia的縮寫的縮寫omn.omn.表示和，則表示和，則有：有：omn.l=yomn.l=y。 圖圖6.116.11離散值積分方法離散值積分方法在在y=xy=x的條件下，如圖的條件下，如圖6.116.11所示所示, ,對(duì)于無限小的對(duì)于無限小的l l來說來

26、說,yl,yl的和等于的和等于 y2.y2.萊布尼茲在這里認(rèn)為：萊布尼茲在這里認(rèn)為：“從從0 0起增長的直線，每一個(gè)用與它相應(yīng)的增長起增長的直線，每一個(gè)用與它相應(yīng)的增長的元素相乘，組成一個(gè)三角形的元素相乘，組成一個(gè)三角形”。所以可以寫出：。所以可以寫出：omn.yl= y2omn.yl= y2。6.6函數(shù)概念的發(fā)展函數(shù)概念的發(fā)展6.6.1 6.6.1 函數(shù)的曲線表示形式函數(shù)的曲線表示形式哲學(xué)家的哲學(xué)家的“形態(tài)幅度形態(tài)幅度”（ 1414世紀(jì)與數(shù)學(xué)家的世紀(jì)與數(shù)學(xué)家的“圖線原理圖線原理”對(duì)運(yùn)動(dòng)的研究，導(dǎo)致對(duì)各種變化過程和各種變化對(duì)運(yùn)動(dòng)的研究，導(dǎo)致對(duì)各種變化過程和各種變化著的量的依賴關(guān)系的著的量的依賴

27、關(guān)系的研究研究 1818世紀(jì)世紀(jì) 歐拉提出的函數(shù)的一個(gè)定義是：函數(shù)歐拉提出的函數(shù)的一個(gè)定義是：函數(shù)是是“xyxy平面上隨手畫出來的曲線所表示的平面上隨手畫出來的曲線所表示的y y與與x x間間的關(guān)系的關(guān)系”。即把函數(shù)定義為一條隨意畫出來的曲。即把函數(shù)定義為一條隨意畫出來的曲線。線。6.6.2 函數(shù)概念的解析表示函數(shù)概念的解析表示在在16671667年第一次給出了函數(shù)的解析定義英國年第一次給出了函數(shù)的解析定義英國數(shù)學(xué)家格雷果里，數(shù)學(xué)家格雷果里，16671667年）：從一些其它的量經(jīng)過一系列代數(shù)運(yùn)算或年）：從一些其它的量經(jīng)過一系列代數(shù)運(yùn)算或任何其他可以想象的運(yùn)算而得到的一個(gè)量，這任何其他可以想象的運(yùn)算而得到的一個(gè)量，這就是函數(shù)就是函數(shù)歐把函數(shù)定義為：歐把函數(shù)定義為：“由變量和數(shù)或常量構(gòu)成的由變量和數(shù)或常量構(gòu)成的解析表達(dá)式解析表達(dá)式”1818世紀(jì)關(guān)于弦振動(dòng)的研究推動(dòng)了函數(shù)概念的深世紀(jì)關(guān)于弦振動(dòng)的研究推動(dòng)了函數(shù)概念的深刻變化刻變化6.6.3 函數(shù)的對(duì)應(yīng)觀函數(shù)的對(duì)應(yīng)觀德國數(shù)學(xué)家狄利克雷德國數(shù)學(xué)家狄利克雷1805185918051859于于18371837年給出了函數(shù)年給出了函數(shù)的定義：的定義：若對(duì)若對(duì)x xaxbaxb的每一個(gè)值，的每一個(gè)值，y y總有完全確定的值與之總有完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，不管建立起這種對(duì)應(yīng)