第二講--初等模型

1、 第第二二章章 初等模型初等模型2.1 公平席位分配公平席位分配2.2 雙層玻璃窗功效雙層玻璃窗功效2.3 汽車剎車距離汽車剎車距離2.4 劃艇比賽成績劃艇比賽成績2.5 實(shí)物交換實(shí)物交換2.6 核軍備核軍備競(jìng)競(jìng)賽迷局賽迷局2.1 公平的席位分配公平的席位分配系別系別 學(xué)生學(xué)生 比例比例 20席的分配席的分配 人數(shù)人數(shù) （%） 比例比例 結(jié)果結(jié)果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0總和總和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 結(jié)果結(jié)果10.815 6.615 3.570 21.000 21問問題題三個(gè)系學(xué)生共三個(gè)系學(xué)生共200名（甲

2、系名（甲系100，乙系，乙系60，丙系，丙系40），代表），代表會(huì)議共會(huì)議共20席，按比例分配，三個(gè)系分別為席，按比例分配，三個(gè)系分別為10，6，4席。席?，F(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，現(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為三系人數(shù)為103, 63, 34, 問問20席如何分配席如何分配?若增加為若增加為21席，又如何分配席，又如何分配?比比例例+慣慣例例對(duì)對(duì)丙丙系系公公平平嗎嗎?系別系別 學(xué)生學(xué)生 比例比例 20席的分配席的分配 人數(shù)人數(shù) （%） 比例比例 結(jié)果結(jié)果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34 17.0 3.4 總和總和 200 100.0 20.0 20系別系別 學(xué)生學(xué)生

3、 比例比例 20席的分配席的分配 人數(shù)人數(shù) （%） 比例比例 結(jié)果結(jié)果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4總和總和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 結(jié)果結(jié)果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21“公平公平”分配方法分配方法衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo)衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo) 人數(shù)人數(shù) 席位席位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2當(dāng)當(dāng)p1/n1= p2/n2 時(shí)，分配公平時(shí)，分配公平 p1/n1 p2/n2 對(duì)對(duì)A的的絕對(duì)不公平度絕對(duì)不公平度p1=150, n1=10

4、, p1/n1=15p2=100, n2=10, p2/n2=10p1=1050, n1=10, p1/n1=105p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者對(duì)但后者對(duì)A的的不公平不公平程度已大大降低程度已大大降低! !雖二者雖二者的的絕對(duì)絕對(duì)不公平度相同不公平度相同若若 p1/n1 p2/n2 ，對(duì)對(duì) 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5什么是公平?絕對(duì)不公平度不是公平度量的一個(gè)合理測(cè)度?),(/21222211nnrnpnpnpA對(duì)對(duì)A的的相對(duì)不公平度相對(duì)不公平度將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量若若“公平公平”分配方法分配方法若若

5、，定義定義絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差 相對(duì)誤差相對(duì)誤差2211/pnpn22111211/( ,)/Bpnpnr n npn1122/pnpn對(duì)對(duì)B的的相對(duì)不公平度相對(duì)不公平度公平分配方案應(yīng)公平分配方案應(yīng)使相對(duì)不公平度使相對(duì)不公平度盡盡可能可能小小設(shè)設(shè)A, BA, B已分別有已分別有n1, n2 席，若增加席，若增加1 1席，席，問應(yīng)分給問應(yīng)分給A,A,還是還是B?B?最接近公平的分配問題描述:121212(,)12min max (,),(,)subject to .ABn nr n nr n nnnn分配的實(shí)施策略分配的實(shí)施策略: : 一次性席次分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)席次分配一次性席次分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)席次分配

6、1）若）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 則這席應(yīng)給則這席應(yīng)給 A2）若）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，應(yīng)計(jì)算應(yīng)計(jì)算rB(n1+1, n2)應(yīng)計(jì)算應(yīng)計(jì)算rA(n1, n2+1)若若rB(n1+1, n2) p2/n2 問：?jiǎn)枺?p1/n1rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給則這席應(yīng)給 B不妨設(shè)分配開始時(shí)不妨設(shè)分配開始時(shí)p p1 1/ /n n1 1 p p2 2/ /n n2 2 即對(duì)即對(duì)A A不公平不公平rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1)rA, rB的定義的定義)1()1(11212222nnpnnp分配的判決準(zhǔn)則:增加名額給A的條件;條件不符合給B條件

7、推導(dǎo)過程11), 1(11112221npnpnpnnrB若若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)11)1,(22221121npnpnpnnrA則221212121122(1)(1)(1)(1)ABnnpprrp pnnnn, 2, 1,)1(2innpQiiii該席給該席給Q值值較大的一方較大的一方兩方席次分配的Q值方案 人數(shù)人數(shù) 席位席位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2Q-Q-值值粗分配: 12nnn總席次總?cè)藬?shù)1122(/),(/).nfloor nppnfloor npp可能出現(xiàn)的情況:12nnn分配結(jié)束12nnn剩余席次分配12(,)n n計(jì)算Q-值121122If th

8、en 1elsewise 1QQnnnn12nnnyes輸出輸出結(jié)果結(jié)果no分配方案的推廣分配方案的推廣 m m方方Q-Q-值席次分配方案值席次分配方案121121 1 2 . m . . mmkkmmkkpppppnnnnn組別人數(shù) 席次2,1,2,(1)kkkkpQkmn nQ-值增加的一個(gè)席次總是給Q值最大的一方.粗分配:(/),1,2,kinfloor npp km可能出現(xiàn)的情況12mnnnn分配完畢12mnnnn剩余席次分配12(,)mn nn計(jì)算Q-值If is the largest among m Q-valuesthen 1iiiQnn12nnnyes輸出輸出結(jié)果結(jié)果no12

9、(,)mQ QQ三系用三系用Q值方法重新分配值方法重新分配 21個(gè)席位個(gè)席位按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢席分配完畢甲系：甲系：p1=103, n1=10乙系：乙系：p2= 63, n2= 6丙系：丙系：p3= 34, n3= 3用用Q值方法分配值方法分配第第20席和第席和第21席席第第20席席3 .964334, 5 .947663, 4 .961110103232221QQQ第第21席席3221, 4 .801211103QQQ同上同上Q3最大，最大，第第21席席給丙系給丙系甲系甲系1111席，乙系席，乙系6 6席，丙系席，丙系4 4席席Q值方法值方法分配結(jié)

10、果分配結(jié)果公平嗎？公平嗎？Q1最大，最大，第第20席席給甲系給甲系公平了嗎公平了嗎?Q值方法比值方法比“比例加慣例比例加慣例”方法更公平嗎？方法更公平嗎？席位分配的理想化準(zhǔn)則席位分配的理想化準(zhǔn)則已知已知: m方人數(shù)分別為方人數(shù)分別為 p1, p2, , pm, 記總?cè)藬?shù)為記總?cè)藬?shù)為 P= p1+p2+pm, 待分配的總席位為待分配的總席位為N。設(shè)理想情況下設(shè)理想情況下m方分配的席位分別為方分配的席位分別為n1,n2, , nm (自然應(yīng)有自然應(yīng)有n1+n2+nm=N)，記記qi=Npi /P, i=1,2, , m, ni 應(yīng)是應(yīng)是 N和和 p1, , pm 的函數(shù)，即的函數(shù)，即ni = ni

11、 (N, p1, , pm )若若qi 均為整數(shù)，顯然應(yīng)均為整數(shù)，顯然應(yīng) ni=qi qi=Npi /P不全為整數(shù)時(shí)，不全為整數(shù)時(shí)，ni 應(yīng)滿足的準(zhǔn)則：應(yīng)滿足的準(zhǔn)則：記記 qi =floor(qi) 向向 qi方向取整；方向取整； qi+ =ceil(qi) 向向 qi方向取整方向取整.1) qi ni qi+ (i=1,2, , m),2) ni (N, p1, , pm ) ni (N+1, p1, , pm) (i=1,2, , m) 即即ni 必取必取qi , qi+ 之一之一即當(dāng)總席位增加時(shí)，即當(dāng)總席位增加時(shí)， ni不應(yīng)減少不應(yīng)減少“比例加慣例比例加慣例”方法滿足方法滿足 1），但不

12、滿足），但不滿足 2）Q值方法滿足值方法滿足 2）, , 但不滿足但不滿足 1）。令人遺憾！令人遺憾！絕對(duì)的公平是否存在絕對(duì)的公平是否存在?!?!2d墻墻室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2dd墻墻l室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2問問題題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失玻璃窗相比，減少多少熱量損失?假假設(shè)設(shè)熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對(duì)流熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對(duì)流T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài)不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài)材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)建建模模熱傳導(dǎo)定律熱傳導(dǎo)定律dTkQQ1Q2Q 單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量單位時(shí)間單位面

13、積傳導(dǎo)的熱量 T溫差溫差, d材料厚度材料厚度, k熱傳導(dǎo)系數(shù)熱傳導(dǎo)系數(shù)2.2 雙層玻璃窗的隔熱功效雙層玻璃窗的隔熱功效dd墻墻l室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1Ta內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2空氣空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)的熱傳導(dǎo)系數(shù)dTTklTTkdTTkQbbaa212111dlhkkhssdTTkQ,)2(212111建模建模兩個(gè)方程兩個(gè)中間變量Ta,Tb記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q2dTTkQ221122d墻墻室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外

14、T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比dlhkkhssQQ,22212121QQ k1=4 10-3 8 10-3, k2=2.5 10-4, k1/k2=16 32對(duì)對(duì)Q1比比Q2的減少量的減少量作最保守的估計(jì)，作最保守的估計(jì)，取取k1/k2 =16dlhhQQ,18121)2(2111sdTTkQ建模建模hQ1/Q24200.060.030.026模型應(yīng)用模型應(yīng)用取取 h=l/d=4, 則則 Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可料的單層玻璃窗相比，可減少減少97%97%的熱量損失。的熱量損失。結(jié)果分析結(jié)果分析Q1/Q2

15、所以如此小，是由于層間所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù)空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù) k2 2, , 而而這要求空氣非常干燥、不流通。這要求空氣非常干燥、不流通。房間通過天花板、墻壁房間通過天花板、墻壁 損失的熱量更多。損失的熱量更多。dlhhQQ,18121雙層窗的功效不會(huì)如此之大雙層窗的功效不會(huì)如此之大減少熱量減少熱量流失的途流失的途徑徑: : 減小減小空氣夾層空氣夾層的熱傳導(dǎo)的熱傳導(dǎo)系數(shù)系數(shù): : 真真空玻璃空玻璃2.3 汽車剎車距離汽車剎車距離美國的某些司機(jī)培訓(xùn)課程中的駕駛規(guī)則：美國的某些司機(jī)培訓(xùn)課程中的駕駛規(guī)則：背背景景與與問問題題 正常駕駛條件下正常駕駛條件下, , 車速每增車速每

16、增10 10英里英里/ /小時(shí)，小時(shí)， 后面與前車的距離應(yīng)增一個(gè)車身的長度。后面與前車的距離應(yīng)增一個(gè)車身的長度。 實(shí)現(xiàn)這個(gè)規(guī)則的簡(jiǎn)便辦法是實(shí)現(xiàn)這個(gè)規(guī)則的簡(jiǎn)便辦法是 “2 2秒準(zhǔn)則秒準(zhǔn)則” ： 后車司機(jī)從前車經(jīng)過某一標(biāo)志開始默數(shù)后車司機(jī)從前車經(jīng)過某一標(biāo)志開始默數(shù) 2 2秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志，而不管車速如何秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志，而不管車速如何. .問題問題: : 判斷判斷 “2 2秒準(zhǔn)則秒準(zhǔn)則” 與與 “車身車身”規(guī)則是否一致規(guī)則是否一致；目的目的:建立數(shù)學(xué)模型，尋求更好的駕駛規(guī)則。建立數(shù)學(xué)模型，尋求更好的駕駛規(guī)則。問問題題分分析析常識(shí)：剎車距離與車速有關(guān)常識(shí)：剎車距離與車速有關(guān)10 10英里英里/

17、/小時(shí)小時(shí)( ( 16 16公里公里/ /小時(shí)小時(shí)) )車速下車速下2 2秒鐘行駛秒鐘行駛2929英尺英尺( ( 9 9米米) )車身的平均長度車身的平均長度15 15英尺英尺(=4.6(=4.6米米) )“2 2秒準(zhǔn)則秒準(zhǔn)則”與與“10 10英里英里/ /小時(shí)加一車身小時(shí)加一車身”規(guī)則不同規(guī)則不同剎剎車車距距離離反應(yīng)時(shí)間反應(yīng)時(shí)間司機(jī)司機(jī)狀況狀況制動(dòng)系統(tǒng)制動(dòng)系統(tǒng)靈活性靈活性制動(dòng)器作用力、車重、車速、道路、氣候制動(dòng)器作用力、車重、車速、道路、氣候 最大制動(dòng)力與車質(zhì)量成正比，最大制動(dòng)力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運(yùn)動(dòng)。使汽車作勻減速運(yùn)動(dòng)。車速車速常數(shù)常數(shù)反反應(yīng)應(yīng)距距離離制制動(dòng)動(dòng)距距離離常數(shù)常數(shù)假

18、假 設(shè)設(shè) 與與 建建 模模 1. 剎車距離剎車距離 d 等于反應(yīng)距離等于反應(yīng)距離 d1 與制動(dòng)距離與制動(dòng)距離 d2 之和之和2. 反應(yīng)距離反應(yīng)距離 d1與車速與車速 v成正比成正比3. 剎車時(shí)使用最大制動(dòng)力剎車時(shí)使用最大制動(dòng)力F，F(xiàn)作功等于汽車動(dòng)能的改變作功等于汽車動(dòng)能的改變;vtd11F d2= m v2/2F m21kvvtdt1為反應(yīng)時(shí)間為反應(yīng)時(shí)間21ddd且且F與車的質(zhì)量與車的質(zhì)量m成正比成正比22kvd2mkF 反應(yīng)時(shí)間反應(yīng)時(shí)間 t1的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值為的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值為0.75秒秒?yún)?shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì) 利用交通部門提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)擬合利用交通部門提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)擬合 k21kvvtd模模 型

19、型最小二乘法最小二乘法 k=0.06計(jì)算剎車距離、剎車時(shí)間計(jì)算剎車距離、剎車時(shí)間車速車速(英里英里/ /小時(shí)小時(shí)) () (英尺英尺/ /秒秒) )實(shí)際剎車距離實(shí)際剎車距離（英尺）（英尺）計(jì)算剎車距離計(jì)算剎車距離（英尺）（英尺）剎車時(shí)間剎車時(shí)間（秒）（秒）2029.34239.01.53044.073.576.61.84058.7116126.22.15073.3173187.82.56088.0248261.43.070102.7343347.13.680117.3464444.84.3車速車速(英里英里/ /小時(shí)小時(shí)) () (英尺英尺/ /秒秒) )實(shí)際剎車距離實(shí)際剎車距離（英尺）（英尺

20、）v1 = 2029.3d1= 42v2 = 3044.0d2=73.5v3= 4058.7d3=116v4 = 5073.3d4=173v5= 6088.0d5=248v6 = 70102.7d6=343v7 = 80117.3d7=46472217221774211721741min( )(0.75)2(0.75)() =2(0.75 )0(0.75 )0.06iiikiiiiiiiiiiiiiiiiiig kdvkvdgdvkvvdkkvvdvvdvkvk參數(shù)k的最小二乘估計(jì)“2秒準(zhǔn)則秒準(zhǔn)則”應(yīng)修正為應(yīng)修正為 “t 秒準(zhǔn)則秒準(zhǔn)則”22106. 075. 0vvkvvtd數(shù)學(xué)模數(shù)學(xué)模 型型

21、車速車速(英里英里/小時(shí)小時(shí))剎車時(shí)間剎車時(shí)間（秒）（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車速（英里車速（英里/小時(shí)）小時(shí)）010104040606080t（秒）（秒）123422106. 075. 0vvkvvtd模型解釋模型解釋 “t秒準(zhǔn)則”的解釋: 該準(zhǔn)則的一個(gè)基本假定是前車急剎車,前車 從剎車到停止的距離被忽略的結(jié)論,因此實(shí)際安全距離和時(shí) 間要稍短一些. 兩個(gè)準(zhǔn)則一致嗎? 需要更復(fù)雜的模型回答. 思考題思考題: : 兩車一相同速度勻速前進(jìn)兩車一相同速度勻速前進(jìn), , 前車剎車后前車剎車后, ,后車的反應(yīng)時(shí)間后車的反應(yīng)時(shí)間 約約0.750.75秒秒(

22、 (也就是也就是0.750.75秒以后開始剎車秒以后開始剎車), ), 不同車輛制動(dòng)性不同車輛制動(dòng)性 能差異能差異k k介于介于0.030.03和和0.090.09之間之間, , 重新建立模型考慮準(zhǔn)則的重新建立模型考慮準(zhǔn)則的 合理性合理性? ? 超速行駛的危險(xiǎn)性?假定 “寶馬”制動(dòng)性能比一般車好, k=0.03, 當(dāng)它按照150英里/小時(shí)(241.4公里/小時(shí))行駛時(shí), 剎車距離=0.75*150+0.03*1502=787.5(英尺)=240(米)1英尺=0.3048米1英里=1.609344(公里)高速行駛好車也不安全!2.4 劃艇比賽的成績劃艇比賽的成績賽艇賽艇 2000米成績米成績 t

23、 (分分)種類種類 1 2 3 4 平均平均單人單人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21雙人雙人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84艇長艇長l 艇寬艇寬b (米米) (米米) l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0空艇重空艇重w0(kg) 漿手?jǐn)?shù)漿手?jǐn)?shù)n 16.3 13.6 18.1 14.7對(duì)四種賽艇（對(duì)四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）單人、雙人、四人、

24、八人）4 4次國際大賽冠次國際大賽冠軍的成績進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與漿手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系。試建立軍的成績進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與漿手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系。試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系。數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系。問問題題準(zhǔn)準(zhǔn)備備調(diào)查賽艇的尺寸和重量調(diào)查賽艇的尺寸和重量l /b, w0/n 變化不大變化不大問題分析問題分析 前進(jìn)阻力前進(jìn)阻力 浸沒部分與水的摩擦力浸沒部分與水的摩擦力 前進(jìn)動(dòng)力前進(jìn)動(dòng)力 漿手的劃漿功率漿手的劃漿功率分析賽艇速度與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系分析賽艇速度與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系賽艇速度由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定賽艇速度由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定劃漿劃漿功率功率 賽艇賽艇速度速度賽艇賽艇速度速度前進(jìn)前進(jìn)動(dòng)力動(dòng)力前進(jìn)前進(jìn)阻力

25、阻力漿手漿手?jǐn)?shù)量數(shù)量 艇艇重重浸沒浸沒面積面積 對(duì)漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定對(duì)漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定 運(yùn)用合適的物理定律建立模型運(yùn)用合適的物理定律建立模型模型假設(shè)模型假設(shè)1）艇形狀相同）艇形狀相同(l/b為常數(shù)為常數(shù)), w0與與n成正比成正比2）v是常數(shù)，阻力是常數(shù)，阻力 f與與 sv2成正比成正比符號(hào)：艇速符號(hào)：艇速 v, 浸沒面積浸沒面積 s, 浸沒體積浸沒體積 A, 空艇重空艇重 w0, 阻力阻力 f, 漿手?jǐn)?shù)漿手?jǐn)?shù) n, 漿手功率漿手功率 p, 漿手體重漿手體重 w, 艇重艇重 W艇的靜態(tài)特性艇的靜態(tài)特性艇的動(dòng)態(tài)特性艇的動(dòng)態(tài)特性3）w相同，相同，p

26、不變，不變，p與與w成正比成正比漿手的特征漿手的特征模型模型建立建立f sv2p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3A W(=w0+nw) n s n2/3v n1/9比賽成績比賽成績 t n 1/9np fv模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn)n t1 7.212 6.884 6.328 5.84bant 11. 021. 7ntnbatloglog最小二乘法最小二乘法利用利用4次國際大賽冠軍的平均次國際大賽冠軍的平均成績對(duì)模型成績對(duì)模型 t n 1/ 9 進(jìn)行檢驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)tn12487.216.886.325.84與模型巧合！與模型巧合！問問題題甲有物品甲有物品X, 乙有物品乙有物品Y, , 雙方為滿足

27、更高的需要，雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實(shí)物交換方案。商定相互交換一部分。研究實(shí)物交換方案。yxp.用用x,y分別表示甲分別表示甲( (乙乙) )占有占有X,Y的數(shù)量。設(shè)交換前甲占的數(shù)量。設(shè)交換前甲占有有X的數(shù)量為的數(shù)量為x0, , 乙占有乙占有Y的的數(shù)量為數(shù)量為y0, 作圖：作圖：若不考慮雙方對(duì)若不考慮雙方對(duì)X,Y的偏愛的偏愛，則矩形內(nèi)任一點(diǎn)則矩形內(nèi)任一點(diǎn) p(x,y)都是一種交換方案：甲占有都是一種交換方案：甲占有(x,y) ，乙占有乙占有(x0 -x, y0 -y) xyyo0 xo2.5 實(shí)物交換實(shí)物交換初始狀態(tài)初始狀態(tài)xyyoy1y20 x1x2xop1p2.甲的無

28、差別曲線甲的無差別曲線分析與建模分析與建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1)與占有與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度具有同樣的滿意程度，即即p1, p2對(duì)甲是無差別的對(duì)甲是無差別的MN將將所有與所有與p1, p2無差別的點(diǎn)連接無差別的點(diǎn)連接起來，得到一條起來，得到一條無差別曲線無差別曲線MN, 線上各點(diǎn)的滿意度相同線上各點(diǎn)的滿意度相同, , 線的形狀反映對(duì)線的形狀反映對(duì)X,Y的偏愛程度的偏愛程度，N1M1p3(x3,y3).比比MN各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如p3，在另一條無差別曲線在另一條無差別曲線M1N1上。上。于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條）于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條

29、）。甲的滿意度函數(shù)( , )f x y光滑函數(shù), 擁有的越多越滿意,只擁有一種時(shí)滿意度低.等高線yxp1.yxp2.c1 y0 xf(x,y)=c1無差別曲線族的性質(zhì)：無差別曲線族的性質(zhì)： 單調(diào)減單調(diào)減( (x增加增加, , y減小減小) ) 下凸下凸( (凸向原點(diǎn)凸向原點(diǎn)) ) 互不相交互不相交在在p1點(diǎn)占有點(diǎn)占有x少少、y多多，寧愿以較多的寧愿以較多的 y換取換取較少的較少的 x.在在p2點(diǎn)占有點(diǎn)占有y少少、x多多，就要以較多的就要以較多的 x換取換取較少的較少的 y。甲的無差別曲線族記作甲的無差別曲線族記作c1滿意度滿意度（f 等滿意度曲線等滿意度曲線）1, )f x yc（滿意度滿意度

30、增加增加xyOg(x,y)=c2c2 乙的無差別曲線族乙的無差別曲線族 g(x,y)=c2具有相同具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）性質(zhì)（形狀可以不同） 雙方的交換路徑雙方的交換路徑xyyoOxof=c1Oxyg=c2乙的無差別曲線族乙的無差別曲線族 g=c2 (坐標(biāo)坐標(biāo)系系xOy, , 且反向且反向）甲的無差別曲線族甲的無差別曲線族 f=c1ABp P 雙方滿意的交換方案必雙方滿意的交換方案必在在AB（交換路徑）上（交換路徑）上因?yàn)樵谝驗(yàn)樵贏B外的任一點(diǎn)外的任一點(diǎn)p, ( (雙方雙方) )滿意度低于滿意度低于AB上的點(diǎn)上的點(diǎn)p兩族曲線切點(diǎn)連線記作兩族曲線切點(diǎn)連線記作ABABp 交換方案的進(jìn)一步確定

31、交換方案的進(jìn)一步確定交換方案交換方案 交換后甲的占有量交換后甲的占有量 (x,y)0 x x0, 0 y y0矩矩形內(nèi)任一點(diǎn)形內(nèi)任一點(diǎn)交換路交換路徑徑AB雙方的無差別曲線族雙方的無差別曲線族等價(jià)交等價(jià)交換原則換原則X,Y用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)交換用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)交換前前x0,y0價(jià)值相同價(jià)值相同，則等價(jià)交換原則等價(jià)交換原則下交換路徑為則下交換路徑為CD(x0,0), (0,y0) 兩點(diǎn)的連線兩點(diǎn)的連線CDAB與與CD的的交點(diǎn)交點(diǎn)p設(shè)設(shè)X單價(jià)單價(jià)a, Y單價(jià)單價(jià)b, 則等價(jià)交換下則等價(jià)交換下ax+by=s (s=ax0=by0)yyo0 xo.xaxbys2.6 核軍備競(jìng)賽迷局核軍備競(jìng)賽迷局

32、冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全，實(shí)行冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全，實(shí)行 “核威核威懾戰(zhàn)略懾戰(zhàn)略”，核軍備競(jìng)賽不斷升級(jí)。，核軍備競(jìng)賽不斷升級(jí)。 隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束，雙方通過了一系列的隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束，雙方通過了一系列的核裁軍協(xié)議。核裁軍協(xié)議。 在什么情況下雙方的核軍備競(jìng)賽不會(huì)無限擴(kuò)張，而存在在什么情況下雙方的核軍備競(jìng)賽不會(huì)無限擴(kuò)張，而存在暫時(shí)的平衡狀態(tài)。暫時(shí)的平衡狀態(tài)。 當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時(shí)，平衡狀態(tài)會(huì)發(fā)生什么變化。等措施時(shí)，平衡狀態(tài)會(huì)發(fā)生什么變化。 估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的

33、核武器數(shù)量，這個(gè)數(shù)估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個(gè)數(shù)量受哪些因素影響。量受哪些因素影響。問問題題背背景景恐怖平衡恐怖平衡以雙方以雙方( (戰(zhàn)略戰(zhàn)略) )核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小。核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小。假定雙方采取如下同樣的假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略：核威懾戰(zhàn)略： 認(rèn)為對(duì)方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部認(rèn)為對(duì)方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導(dǎo)彈攻擊對(duì)方的核導(dǎo)彈基地；核導(dǎo)彈攻擊對(duì)方的核導(dǎo)彈基地； 乙方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，乙方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，給對(duì)方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊。給對(duì)方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊。在任一方實(shí)

34、施第一次核打擊時(shí)，假定一枚核導(dǎo)彈只能在任一方實(shí)施第一次核打擊時(shí)，假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊對(duì)方的一個(gè)核導(dǎo)彈基地。攻擊對(duì)方的一個(gè)核導(dǎo)彈基地。摧毀這個(gè)基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精摧毀這個(gè)基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定。度和另一方的防御能力決定。模模型型假假設(shè)設(shè)圖圖示示模模型型y=f(x)甲方有甲方有x枚導(dǎo)彈枚導(dǎo)彈，乙方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)乙方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)x=g(y)乙方有乙方有y枚導(dǎo)彈枚導(dǎo)彈，甲方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)甲方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)當(dāng)當(dāng) x=0時(shí)時(shí) y=y0，y0乙方的乙方的威懾值威懾值xyy0 xyy00 xyxfyy00)(y0甲方實(shí)行第一次打擊后已經(jīng)沒有導(dǎo)彈

35、，乙方為毀滅甲甲方實(shí)行第一次打擊后已經(jīng)沒有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù)方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù)y=f(x)乙安全線乙安全線核導(dǎo)彈一對(duì)一毀傷由于毀傷效率和防御毀傷效果低于一對(duì)一效果x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)乙安乙安全區(qū)全區(qū)甲安甲安全區(qū)全區(qū)雙方安全區(qū)雙方安全區(qū)恐怖平衡區(qū)恐怖平衡區(qū)P平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)(雙方最少導(dǎo)彈數(shù)雙方最少導(dǎo)彈數(shù))精細(xì)精細(xì)模型模型乙方乙方殘存率殘存率 s 甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個(gè)甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個(gè)基地，基地未被摧毀的概率?；兀匚幢淮輾У母怕?。sx個(gè)基地未摧毀，個(gè)基地未摧毀，yx個(gè)基地未攻擊。個(gè)基地未攻擊。xy甲方以甲方以 x攻擊乙方攻擊乙方 y個(gè)基地中的個(gè)基地中的 x個(gè)個(gè),y0=sx+yxx=yy0=sy乙的乙的xy個(gè)被攻擊個(gè)被攻擊2次，次，s2(xy)個(gè)未摧毀；個(gè)未摧毀；y (xy)=2y x個(gè)被攻擊個(gè)被攻擊1次，次，s(2y x )個(gè)未摧毀個(gè)未摧毀y0= s2(xy)+ s(2y x )x=2yy0=s2yyx2yx