概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題答案

1、習(xí)題一1寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間及下列事件(5)S二0,1,2,A二0,l,2,3,4,B二3,4,40ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC4)至少有兩件UA2UA3；(3)(4)S=(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,44).,在(1電,2,話5)號(hào)碼中任取一個(gè)電話號(hào)碼，求后面(4)S=(ab,(,ab,),(解設(shè)A=任取一電話號(hào)碼后四個(gè)數(shù)字全不,ab),(a,b,),(a,相)同，冊(cè))，四個(gè)數(shù)字全不相同的概率。5.一批晶體管共40只，其中3只是壞的，今(b,a),(、,a,b,),(,b,a)，其從中任取5只，求中表

2、示空盒；(1) 5只全是好的的概率；(2) 5只中有兩只壞的的概率。A=(ab，廠)，(a，b，),(a，,b),(b，a，),(b，,a)解(1)設(shè)A=5只全是好的，則C5。P(A)=舌口0662；中的樣本點(diǎn)：(1) 擲一顆骰子，記錄出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)A=出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)；(2) 將一顆骰子擲兩次，記錄出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)A=兩次點(diǎn)數(shù)之和為10,B=第一次的點(diǎn)數(shù)，比第二次的點(diǎn)數(shù)大2；(3) 一個(gè)口袋中有5只外形完全相同的球，編號(hào)分別為1,2,3,4,5；從中同時(shí)取出3只球，觀察其結(jié)果，A=球的最小號(hào)碼為1；(4) 將a,b兩個(gè)球，隨機(jī)地放入到甲、乙、丙三個(gè)盒子中去，觀察放球情況，A=甲盒中至少有一球；(5) 記錄在一

3、段時(shí)間內(nèi)，通過某橋的汽車流量，A=通過汽車不足5臺(tái)，B=通過的汽車不少于3臺(tái)。解(1)S=e,e,e,e,e,e其中e.=123456i出現(xiàn)i點(diǎn)i=1,2,6，A=仝e3,5。(2)S=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)；A=(4,6),(5,5),(6,4)；B=(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)。(3)2.設(shè)A,B,C是隨機(jī)試驗(yàn)E的三個(gè)事件，試用A,B,C表示下列事件：(1) 僅A發(fā)生；(2) A,B,C中至少有兩個(gè)發(fā)生;(3) A,B,C中不多于兩個(gè)發(fā)生;4)A,B,C中

4、恰有兩個(gè)發(fā)生；(5)A,B,C中至多有一個(gè)發(fā)生。解(1)ABC(2) abuacubc或ABCUABCUABCUABC；(3) AUBuC或(4) ABCUABCUABC；(5) ABuACUBC或ABCUABCuAbcuABC；3.個(gè)工人生產(chǎn)了三件產(chǎn)品，以A(i=1,2,3)i表示第i件產(chǎn)品是正品，試用A表示下列事件：(1)i沒有一件產(chǎn)品是次品；(2)至少有一件產(chǎn)品是次品；(3)恰有一件產(chǎn)品是次品；產(chǎn)品不是次品。解(1)AAA；(2)A_123_1AAAAAAAAA；123123123AAAAAA。1213231)2)2)7(1)設(shè)A=他們的生日都不相同，2)設(shè)B=至少有兩個(gè)人的生日在同一個(gè)

5、P(A)二解2七個(gè)字母中有兩個(gè)E，兩個(gè)C，把七個(gè)稱為不盡相異元素的全排列。不同的排列總數(shù)為n!n!kn!n!12對(duì)于本題有141任意選出A二三12A3=三個(gè)數(shù)字中含0但不含5.C37P(A)=j=-1 C315.10C3C3C314P(A)=4+4-4=-,2 C3C3C31510101011.每堆兩只，求事件A=每堆各成一雙的概堆率.(2)設(shè)B=5只中有兩只壞的，貝UC2C3P(B)=口0.0354.406袋中有編號(hào)為1到10的10個(gè)球，今從袋中任取3個(gè)球，求3個(gè)球的最小號(hào)碼為5的概率；3個(gè)球的最大號(hào)碼為5的概率.(1)設(shè)A=最小號(hào)碼為5,則P(A)=C2=丄；C312；10設(shè)B=最大號(hào)碼為

6、5,則C21P(B)=C320.10(1)教室里有r個(gè)學(xué)生，求他們的生日都不相同的概率；(2)房間里有四個(gè)人,求至少兩個(gè)人的生日在同一個(gè)月的概率.解則月，則C2C1P2+C2C2+C3P2+C141P(B)=一4_444_124212=124965或P441P(B)=1-P(B)=1十=12496-8設(shè)一個(gè)人的生日在星期幾是等可能的,求6個(gè)人的生日都集中在一個(gè)星期中的某兩天,但不是都在同一天的概率.解設(shè)A=生日集中在一星期中的某兩天，但不在同一天,則C2(26-2)P(A)=7-=0.01107769.將C,C,E,E,I,N,S等7個(gè)字母隨機(jī)地排成一行,那么恰好排成英文單詞SCIENCE的概

7、率是多少？解設(shè)A=恰好排成SCIENCE將7個(gè)字母排成一列的一種排法看作基本事件,所有的排法：字母C在7個(gè)位置中占兩個(gè)位置，共有C；種占法，字母E在余下的5個(gè)位置中占兩個(gè)位置，共有C；種占法，字母I，N,C剩下的3個(gè)位置上全排列的方法共3！種,故基本事件總數(shù)為C-C-引=1260,而A中的基本事件只有一個(gè),1_1C2.C2.31260；75字母排成一排,稱為不盡相異元素的全排列。一般地,設(shè)有n個(gè)元素,其中第一種元素有n1個(gè),第二種元素有n2個(gè)，第k種元素有nk個(gè)(匕+n+n=n)，將這n個(gè)元素排成一排12kP(A)=“7!7!1260，10.從0,1,2,9等10個(gè)數(shù)字中,不同的三個(gè)數(shù)字，試求

8、下列事件的概率：個(gè)數(shù)字中不含0和5,A2二三個(gè)數(shù)字中不含0或5C114P(A2)=1-P(A2)=1-茁=1510C27P(A3)=茁=30-10將n雙大小各不相同的鞋子隨機(jī)地分成n解n雙鞋子隨機(jī)地分成n堆屬分組問題，不(2n)!(2n)!同的分法共2!2r2!=麗每堆各成一雙共有n!種情況，故12設(shè)事件A與B互不相容，P(A)=04,P(B)=0.3，求P(AB)與P(AB)J解P(AB)=1-P(AB)=1-P(A-P(B因?yàn)锳,B不相容，所以A二B，于是13 若P(AB)=P(AB)且P(A)=P，求P(B).邂P(AB)=1-P(AB=-P(A-P(B)由P(AB)=P(AB)得14

9、設(shè)事件A,B及AjB的概率分別為p,q,r，求P(AB)及P(AB)解P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)=p+q-r=1一q+p+q一r=1+p一r.15 設(shè)P(A)+P(B)=0.7，且A,B僅發(fā)生一個(gè)的概率為0.5,求A,B都發(fā)生的概率。解1由題意有=0.72P(AB)，(P)B)P(AB)=0.4，故_P(AB)=0.6；0.2=P(B)-P(AB)=P(B)-0.4.所以17.設(shè)ABuC，試證明P(A)+P(B)-P(C)1證因?yàn)锳BuC，所以0.故3P(A)P(B)-P(C)1.證畢.18對(duì)任意三事件A,B,C，試證P(AB)P(AC)-P(BC)P(A).p(A%P(AB)P

10、(AC)-P(BC)P(AB)P(AC)-P(ABC)=P(ABUAC)=PA(BUC)P(A).證畢.19設(shè)A,B,C是三個(gè)事件，且P(A)=P(B)=P(C)=P(AB)=P(BC)=0，4P(AC)=1，求A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。8解P(BC二PAP)PCPABPAC解2因?yàn)?P(ABC)P(ABC)=0，于是20隨機(jī)地向半圓0yPAB=,0所以A(B構(gòu)成三角形的概率.所以P(AB)=0.1.A,B僅發(fā)生一個(gè)可表示為AjB-AB，故所以P(AB)=0.1.16設(shè)P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,P(B-A)=0.2,求P(AB)與P(AB).解0.3=PA-B)=P(A-P

11、(AB=)0.-7P所以2axx2(a為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在園內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于兀/4的概率.解：半圓域如圖嚴(yán)設(shè)A=原點(diǎn)與該點(diǎn)連線與x軸夾角小于兀/4由幾何概率的定義廣把長(zhǎng)為a的棒任意折成三段，求它們可以x解i設(shè)A=三段可構(gòu)成三角形，又三段的長(zhǎng)分別為x,y,a-x-y，則0xa,0ya,0x+y0)的一些平行線，向平面上隨機(jī)地投擲一根長(zhǎng)1(la)的針，求針與任一平行線相交的概率.成平面域S.a2,A發(fā)生ax+ya2不等式確定S的子解設(shè)A=針與某平行線相交，針落在平面上的情況不外乎圖中的幾種，點(diǎn)到最近的一條平行線的距離。設(shè)x為針的中9為針與

12、平行0P(A)二剣的面積S的面積解2設(shè)三段長(zhǎng)分別為x,y,z，則0xa,0ya,0za且x+y+z二a，不等式確定了三維空間上的有界平面域Sz-等式確定S的子域才；面積1線的夾角，則P(A2S的面積4-22隨機(jī)地取兩個(gè)正數(shù)x和y,這兩個(gè)數(shù)中的每一個(gè)都不超過1,試求x與y之和不超過1,積不小于0.09的概率.解0x1,也y0,P(B)0，證明A、B互不相容與A、B相互獨(dú)立不能同時(shí)成立.證若A、B互不相容，則AB，于是P(AB)0豐P(A)P(B)0所以A、B不相互一名學(xué)生為男生，B任選一名學(xué)生為一年級(jí)則1044N+1610N+16欲性別和年級(jí)相互獨(dú)立，即P(AB)P(A)P(B)，41010N+

13、16N+16N+16獨(dú)立.若A、B相互獨(dú)立，則P(AB)P(A)P(B)0，于是AB，即A、B不是互不相容的.注：從上面的證明可得到如下結(jié)論：1) 若A、B互不相容，則A、B又是相互獨(dú)立的oP(A)0或P(B)0.2) 因ABA+BA，所以P(A)P(BA)+P(BA)如果P(B)1則P(BA)0，從而可見概率是1的事件與任意事件獨(dú)立，自然，必然所以N9，即教室里的二年級(jí)女生應(yīng)為9名。22.圖中1，2，3，4，5表示繼電器接點(diǎn)，假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合的概率均為p，且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨(dú)立，求L至R是通路的概率.LR，B.第i個(gè)i八/一司一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行四次射擊,少命中一次的概率為80/1,

14、求該射手的命中4接點(diǎn)閉合i1,2,3,4,5，則L23.一射手對(duì)若至率。解設(shè)該射手的命中率為p，由題意事件與任意事件獨(dú)立.女口果P(B)0，貝yP(AB)0P(A)P(B)，即概率是零的事件與任意事件獨(dú)立，自然，不可能事件與任何事件獨(dú)立20.證明若三事件A,B,C相互獨(dú)立，則AJB及A_B都與C獨(dú)立。證81-1_(1_p)4所以p-3.(1_p)4-811_p24.設(shè)一批晶體管的次品率為0.01，今從這批晶體管中抽取4個(gè)，求其中恰有一個(gè)次品和恰有兩個(gè)次品的概率。P(電B)CP(ACBCPA_C(_)C解(pPA(B)C1(0.01)(0.99)3-0.0388.44即AUB與C獨(dú)立.即A_B與

15、C相互獨(dú)立.21.一個(gè)教室里有4名一年級(jí)男生，6名一年級(jí)女生，6名二年級(jí)男生，若干名二年級(jí)女生，為P(2)C2(0.01)2(0.99)20.000588.4425.考試時(shí)有四道選擇題，每題附有4個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的。一個(gè)考生隨意地選擇每題的答案，求他至少答對(duì)三道題的概率。1解答對(duì)每道題的概率為，所求概率為P(3)+P(4)=C344414丿26設(shè)在伯努里試驗(yàn)中，成功的概率為P，第n次試驗(yàn)時(shí)得到第r次成功的概率.解設(shè)A_第n次試驗(yàn)時(shí)得到第r次成功則A=前n1次試驗(yàn)，成功r1次,第n次試驗(yàn)出現(xiàn)成功，所以_血e-xex(1-p)_血e-xpL!L!29.一臺(tái)儀器中裝有2000個(gè)同樣的元件，

16、每個(gè)元件損壞的概率為0.0005，如果任一元件損壞，貝儀器停止工作，求儀器停止工作的概率.解考察一個(gè)元件，可視為一次貝努里試驗(yàn)，2000個(gè)元件為2000重貝努里試驗(yàn)。np_1，利用泊松逼近定理，所求概率為P(A)=P(前n-1次試驗(yàn)，成功r-1次)P(第n次試驗(yàn)成功)_Cr-1pr-1(1p)n-r-p_Cr-1pr(1p)n-r.n-1n-127設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器，以概率0.7可以直接出廠，以概率0.3需進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.8可以出廠，以概率0.2定為不合格品，不能出廠。現(xiàn)該廠生產(chǎn)了n(n2)臺(tái)儀器(假定各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過程相互獨(dú)立)。求(1)全部能出廠的概率a；(2)其中恰有兩臺(tái)不能出廠的概率0；(3)其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率0。解設(shè)A_任取一臺(tái)可以出廠，B_可直接出廠，C_需進(jìn)一步調(diào)試。則A_BA+CA，將n臺(tái)儀器看作n重伯努里試驗(yàn)，成功的概率為p，于是(1)a_(0.94)n，p_2000p(k)_2000匕-1沁0.632162000k!k_1k_130.某人有兩盒火柴，吸煙時(shí)從任一盒中取一根火柴，經(jīng)過若干時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)一盒火柴已經(jīng)用完，如果最初兩盒中各有n根火柴，求這時(shí)另一盒中還有r根的概率。解設(shè)A_發(fā)現(xiàn)一盒已經(jīng)用完另一盒還有r根。B_發(fā)現(xiàn)甲盒已經(jīng)