最新數(shù)學(xué)分析知識(shí)點(diǎn)最全匯總

1、第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)1實(shí)數(shù)授課章節(jié)：第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)1實(shí)數(shù)教學(xué)目的：使學(xué)生掌握實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)：（1）理解并熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)的有序性、稠密性和封閉性；（2）牢記并熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)絕對(duì)值的有關(guān)性質(zhì)以及幾個(gè)常見(jiàn)的不等式（它們是分析論證的重要工具）教學(xué)難點(diǎn)：實(shí)數(shù)集的概念及其應(yīng)用教學(xué)方法：講授（部分內(nèi)容自學(xué)）教學(xué)程序：引言上節(jié)課中，我們與大家共同探討了數(shù)學(xué)分析這門(mén)課程的研究對(duì)象、主要內(nèi)容等話題從本節(jié)課開(kāi)始，我們就基本按照教材順序給大家介紹這門(mén)課程的主要內(nèi)容首先，從大家都較為熟悉的實(shí)數(shù)和函數(shù)開(kāi)始問(wèn)題為什么從“實(shí)數(shù)”開(kāi)始答：數(shù)學(xué)分析研究的基本對(duì)象是函數(shù)，但這里的“函數(shù)”是定義在“實(shí)數(shù)集”上的（后繼課復(fù)變函數(shù)

2、研究的是定義在復(fù)數(shù)集上的函數(shù)）為此，我們要先了解一下實(shí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)一、實(shí)數(shù)及其性質(zhì)1、實(shí)數(shù)有理數(shù):任何有理數(shù)都可以用分?jǐn)?shù)形式纟（p,q為整數(shù)且q主0）表示，P也可以用有限十進(jìn)小數(shù)或無(wú)限十進(jìn)小數(shù)來(lái)表示.、無(wú)理數(shù):用無(wú)限十進(jìn)不循環(huán)小數(shù)表示.R=xIx為實(shí)數(shù)-全體實(shí)數(shù)的集合.問(wèn)題有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的表示不統(tǒng)一，這對(duì)統(tǒng)一討論實(shí)數(shù)是不利的為以下討論的需要，我們把“有限小數(shù)”（包括整數(shù)）也表示為“無(wú)限小數(shù)”為此作如下規(guī)定：W于正有限小數(shù)x=a.aaa,其中012n0a9,i=1,2,n,a豐0,a為非負(fù)整數(shù)，i記x=a.a。（a一1）9999；in001n-1n對(duì)于正整數(shù)x=a，則記x=（a-1）.9999；

3、對(duì)于負(fù)有限小數(shù)（包括負(fù)00整數(shù)）y，則先將-y表示為無(wú)限小數(shù)，現(xiàn)在所得的小數(shù)之前加負(fù)號(hào).0表示為0=0.0000例：2.001t2.0009999；3t2.9999；-2.001t-2.009999；3t-2.9999利用上述規(guī)定，任何實(shí)數(shù)都可用一個(gè)確定的無(wú)限小數(shù)來(lái)表示在此規(guī)定下，如何比較實(shí)數(shù)的大小？2、兩實(shí)數(shù)大小的比較1）定義1給定兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)x=a.a.a，y=b其中01n01na,b為非負(fù)整數(shù)，a,b（k=1,2,）為整數(shù)，0a9,0bb或存在非負(fù)kk00整數(shù)l，使得a-b,k-0,1,2,l，而ab，則稱x大于y或y小于x，kkl+1l+1分別記為xy或y-y，則分別稱為x-y與xx）

4、規(guī)定：任何非負(fù)實(shí)數(shù)大于任何負(fù)實(shí)數(shù)2）實(shí)數(shù)比較大小的等價(jià)條件（通過(guò)有限小數(shù)來(lái)比較）定義2（不足近似與過(guò)剩近似）:x-a.aa為非負(fù)實(shí)數(shù)，稱有01n理數(shù)x-a.aa為實(shí)數(shù)x的n位不足近似；丁-x+丄稱為實(shí)數(shù)x的nn01nnn10n位過(guò)剩近似，n-0丄2,對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)x-a.aa其n位不足近似x-a.aa-；n01nn01n10n位過(guò)剩近似xa.aan01n注:實(shí)數(shù)x的不足近似x當(dāng)n增大時(shí)不減，即有xxxxxn.n012命題：記x-a.aa，y-b.bb為兩個(gè)實(shí)數(shù)，則xy的等01n01n價(jià)條件是：存在非負(fù)整數(shù)n，使x?。ㄆ渲衳為x的n位不足近似，nnn丁為y的n位過(guò)剩近似）.n命題應(yīng)用例1設(shè)x,y為實(shí)

5、數(shù)，xy，證明存在有理數(shù)r，滿足xry證明：由xy知：存在非負(fù)整數(shù)n,使得丁ynnr-丄(r+y2nn),則r為有理數(shù)，且xxryy即卩xrynn3、實(shí)數(shù)常用性質(zhì)（詳見(jiàn)附錄II.p-p）.2893021）封閉性（實(shí)數(shù)集R對(duì),X,三）四則運(yùn)算是封閉的.即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）仍是實(shí)數(shù)2）有序性：Va,beR，關(guān)系ab,a二b，三者必居其一，也只居其一.3）傳遞性：Va，b,ceR，若ab,bc,貝lac-4）阿基米德性：Va,beR,ba0nneN使得nab5）稠密性：兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)之間總有另一個(gè)實(shí)數(shù)6）對(duì)應(yīng)關(guān)系：實(shí)數(shù)集R與數(shù)軸上的點(diǎn)有著對(duì)應(yīng)關(guān)系.例2設(shè)Va,beR，證明：若

6、對(duì)任何正數(shù)，有ab+，則ab（提示：反證法利用“有序性”取=a-b）二、絕對(duì)值與不等式1、絕對(duì)值的定義實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值的定義為lai二;a,a-0aa0;laI二0oa二0（非負(fù)性）；2）IaIaIaI；3）lalhohah,lalhoha0）；104) 對(duì)任何a,beR有IaI-Iblla土bl2|ab|,|sinx|1.|sinxx|.2、均值不等式:對(duì)Va,a,aeR+，記12na+a+a1nM(a)=12n=inni=1a,i（算術(shù)平均值）、丄G(a)=n：aaai12n=rnai=1i丿（幾何平均值）工丄ai=1i（調(diào)和平均值）H(a)=/1111y1+aaana12ni=1i有平均值

7、不等式：H（a）G（a）M（a）,即：iiinaaa-1,有不等式(1+x)n1+nx,neN.當(dāng)x-1且x豐0,neN且n2時(shí),有嚴(yán)格不等式(1+x)n1+nx.證：由1+x0且1+x豐0,n(1+x)n+n1=(1+x)n+1+1+1in代：(1+x)n=n(1+x).n(1+x)n1+nx.4、利用二項(xiàng)展開(kāi)式得到的不等式:對(duì)vh0,由二項(xiàng)展開(kāi)式(1+h)n3!二1+nh+叱Dh2+n(n一l)(n一2)h3+2!(1+h)n上式右端任何一項(xiàng).練習(xí)P4.5課堂小結(jié)：實(shí)數(shù)：一實(shí)數(shù)及其性質(zhì)二絕對(duì)值與不等式作業(yè)P4.1.(1),2.(2)、(3),32數(shù)集和確界原理授課章節(jié)：第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)2

8、數(shù)集和確界原理教學(xué)目的：使學(xué)生掌握確界原理,建立起實(shí)數(shù)確界的清晰概念.教學(xué)要求：(1) 掌握鄰域的概念；(2) 理解實(shí)數(shù)確界的定義及確界原理,并在有關(guān)命題的證明中正確地加以運(yùn)用.教學(xué)重點(diǎn)：確界的概念及其有關(guān)性質(zhì)(確界原理).教學(xué)難點(diǎn)：確界的定義及其應(yīng)用.教學(xué)方法：講授為主.教學(xué)程序：先通過(guò)練習(xí)形式復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容,以檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果,此后導(dǎo)入新課.引言上節(jié)課中我們對(duì)數(shù)學(xué)分析研究的關(guān)鍵問(wèn)題作了簡(jiǎn)要討論；此后又讓大家自學(xué)了第一章1實(shí)數(shù)的相關(guān)內(nèi)容.下面,我們先來(lái)檢驗(yàn)一下自學(xué)的效果如何！1、證明：對(duì)任何XeR有：Ix-II+|x-211；Ix1I+Ix21+1x3I2(Dx1=|1+(x2)1|x2x1+

9、x21)(2)x1+x21,x2+x31,x2+x32.三式相力口化簡(jiǎn)即可)2、證明：IxIIyIIxyI-3、設(shè)a,beR，證明：若對(duì)任何正數(shù)有a+b，則ay，證明：存在有理數(shù)r滿足yrx引申:由題1可聯(lián)想到什么樣的結(jié)論呢？這樣思考是做科研時(shí)的經(jīng)常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具體問(wèn)題引出一般的結(jié)論：一般的方法？由上述幾個(gè)小題可以體會(huì)出“大學(xué)數(shù)學(xué)”習(xí)題與中學(xué)的不同；理論性強(qiáng)，概念性強(qiáng)，推理有理有據(jù)，而非憑空想象;課后未布置作業(yè)的習(xí)題要盡可能多做，以加深理解,語(yǔ)言應(yīng)用.提請(qǐng)注意這種差別，盡快掌握本門(mén)課程的術(shù)語(yǔ)和工具.本節(jié)主要內(nèi)容：1、先定義實(shí)數(shù)集R中的兩類主要的數(shù)集一一區(qū)間與鄰

10、域；2、討論有界集與無(wú)界集；3、由有界集的界引出確界定義及確界存在性定理(確界原理).一、區(qū)間與鄰域1、區(qū)間(用來(lái)表示變量的變化范圍)設(shè)日P【、-!有限區(qū)間苴中設(shè)a,beR且ab區(qū)間十”口、，苴中無(wú)限區(qū)間開(kāi)區(qū)間:gRIaxb=(a,b)閉區(qū)間：xgRIaxb=a,b半開(kāi)半閉區(qū)間閉開(kāi)區(qū)間:xgRIaxb=a,b)開(kāi)閉區(qū)間:xgRIaxa=a,+s).xgRIxa=(a,+g).xgRIxa=(-g,a).xgRI-gx0，滿足不等式Ix-aI5的全體實(shí)數(shù)x的集合稱為點(diǎn)a的5鄰域，記作U(a;5)，或簡(jiǎn)記為U(a)，即十-二U(a;5)=lx|Ix-aI5=(a-5,a+5)其中a稱為該鄰域的中心

11、，5稱為該鄰域的半徑.(2)點(diǎn)a的空心5鄰域(3)Uo(a;5)=x0Ix-aI5=(a-5,a)u(a,a+5)=Uo(a)a的5右鄰域和點(diǎn)a的空心5右鄰域U(a;5)=a,a+5)=U(a)=+Uo(a;5)=(a,a+5)=Uo(a)二+|axa+5;laxa+5.(4)點(diǎn)a的5左鄰域和點(diǎn)a的空心5左鄰域:a-5xaj;a-5xa.U-(a;5)二(a-5,a=U(a)二Uo(a;5)二(a-5,a)今Uo(a)（5）g鄰域，鄰域，_g鄰域xM,（其中M為充分大的正數(shù)）;U(+g)=xxM,U(-g)=、有界集與無(wú)界集1、定義1（上、下界）：設(shè)S為r中的一個(gè)數(shù)集.若存在數(shù)M（L），使得一

12、切xeS都有xL），則稱S為有上（下）界的數(shù)集數(shù)M（L）稱為S的上界（下界）；若數(shù)集S既有上界，又有下界，則稱S為有界集.閉區(qū)間a,b、開(kāi)區(qū)間（a,b）（a,b為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集,集合E=y=sinx,xe(-g,+g)也是有界數(shù)集.若數(shù)集S不是有界集，則稱S為無(wú)界集.（-g,+g）,（-g,0）,（0,+g）等都是無(wú)界數(shù)集,集合E=y|y二1,xe（0,1）|也是無(wú)界數(shù)集.注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界與S的關(guān)系如何？看下例：例1討論數(shù)集N=陰I偽正整數(shù)的有界性.+解：任取neN，顯然有n1，所以N有下界1；0+0+但N無(wú)上界.因?yàn)榧僭O(shè)N有上界M,則M0，按定義

13、，對(duì)任意+neN，都有nM00+0綜上所述知：N是有下界無(wú)上界的數(shù)集，因而是無(wú)界集.+例2證明：（1）任何有限區(qū)間都是有界集；（2）無(wú)限區(qū)間都是無(wú)界集；（3）由有限個(gè)數(shù)組成的數(shù)集是有界集.問(wèn)題：若數(shù)集s有上界，上界是唯一的嗎？對(duì)下界呢？（答：不唯一，有無(wú)窮多個(gè)）.三、確界與確界原理1、定義定義2（上確界）設(shè)S是R中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù)耳滿足：對(duì)一切xeS,有xn（即耳是S的上界）；（2）對(duì)任何aa（即耳是S的上界中最小的一個(gè)），則稱數(shù)耳為數(shù)集S的上0確界，記作耳=supS.從定義中可以得出：上確界就是上界中的最小者.命題1M=supE充要條件1）VxeE,xo,3xeS,使得xM-8-證明：必0要

14、性，0用反證法.設(shè)2）不成立，則380,使得VxeE,均有xM令e二M-M，00E的上界矛盾.由2），3xeE，使得xM-e定義3（下確界）設(shè)S是R中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù)g滿足：（1）對(duì)一切xeS,有xg（即g是S的下界）；（2）對(duì)任何pg，存在xeS，使得xg；2) Vs0,xeS,有xVg+g.00上確界與下確界統(tǒng)稱為確界.例3(1)S1+山,則supS二1；infS=0.nJ(2)E=t|y=sinx,xe(0,兀)則supS=1_；infS=0注：非空有界數(shù)集的上(或下)確界是唯一的.命題3：設(shè)數(shù)集A有上（下）確界，則這上（下）確界必是唯的.證明：設(shè)耳=supA，耳=supA且耳北耳，則不

15、妨設(shè)耳耳耳=supAnVxeA有xn耳=supAn對(duì)耳耳，3xeA使nsupA,infSinfA.-例5設(shè)A和B是非空數(shù)集.若對(duì)VxeA和VyeB,都有xy,則有supAinfB.證明：VyeB,y是A的上界,nsupAy.nsupA是B的下界,nsupAinfA或xinfB.nxmininfA,infB即mininfA,infB是數(shù)集S的下界，ninfSmininfA,infB又S二A,nS的下界就是A的下界,infS是S的下界，ninfS是A的下界，ninfSinfA;同理有infSinfB.于是有infSmininfA,infB綜上,有infS二min1.數(shù)集與確界的關(guān)系：確界不一定屬于

16、原集合.以例3為例做解釋.2.確界與最值的關(guān)系:設(shè)E為數(shù)集.（1）E的最值必屬于E,但確界未必,確界是一種臨界點(diǎn).（2）非空有界數(shù)集必有確界（見(jiàn)下面的確界原理），但未必有最值.（3）若maxE存在，必有maxE二supE.對(duì)下確界有類似的結(jié)論.4.確界原理：Thl.1（確界原理）.設(shè)S非空的數(shù)集若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確界.這里我們給一個(gè)可以接受的說(shuō)明EuR,E非空，3xeE,我們可以找到一個(gè)整數(shù)P，使得P不是E上界，而p+1是E的上界然后我們遍查p，p.2,p.9和p+1,我們可以找到一個(gè)q0,0q0n；2）存在xgS，有xn.n；2）存在xGS，使得xn.nn；2

17、）存在x，使xn.nnn-+；2）存在xgS，xn；存在XGS使axf（i）對(duì)任意xGs，（ii）對(duì)任何an,作業(yè):P91(1)，(2)；2；4(2)、(4)；7授課章節(jié)：第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)一一3函數(shù)概念教學(xué)目的：使學(xué)生深刻理解函數(shù)概念.教學(xué)要求：（1）深刻理解函數(shù)的定義以及復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和初等函數(shù)的定義，熟悉函數(shù)的各種表示法；（2）牢記基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及其圖象.會(huì)求初等函數(shù)的存在域，會(huì)分析初等函數(shù)的復(fù)合關(guān)系.教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的概念.教學(xué)難點(diǎn)：初等函數(shù)復(fù)合關(guān)系的分析.教學(xué)方法：課堂講授，輔以提問(wèn)、練習(xí)、部分內(nèi)容可自學(xué).教學(xué)程序：引言關(guān)于函數(shù)概念，在中學(xué)數(shù)學(xué)中已有了初步的了解.為便于今后

18、的學(xué)習(xí)，本節(jié)將對(duì)此作進(jìn)一步討論.一、函數(shù)的定義1. 定義1設(shè)D,MuR，如果存在對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)VxeD，存在唯一的一個(gè)數(shù)yeM與之對(duì)應(yīng)，則稱f是定義在數(shù)集D上的函數(shù),記作f:DTMxTy-數(shù)集D稱為函數(shù)f的定義域，x所對(duì)應(yīng)的y，稱為f在點(diǎn)x的函數(shù)值，記為f(x)全體函數(shù)值的集合稱為函數(shù)f的值域，記作f(D).即f(D)=yIy=f(x),xed2. 幾點(diǎn)說(shuō)明(1) 函數(shù)定義的記號(hào)中“f:DtM”表示按法則f建立D到M的函數(shù)關(guān)系，xIty表示這兩個(gè)數(shù)集中元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，也記作xItf(x)習(xí)慣上稱x自變量，y為因變量.(2) 函數(shù)有三個(gè)要素，即定義域、對(duì)應(yīng)法則和值域.當(dāng)對(duì)應(yīng)法則和定義域確定

19、后，值域便自然確定下來(lái).因此，函數(shù)的基本要素為15兩個(gè)：定義域和對(duì)應(yīng)法則.所以函數(shù)也常表示為:由此，我們說(shuō)兩個(gè)函數(shù)相同，是指它們有相同的定義域和對(duì)應(yīng)法則.例如：1）f（x）二1,xeR,g（x）=1,xeRo.（不相同，對(duì)應(yīng)法則相同，定義域不同）2）申（x）=1xI,xeR，屮（x）=：x2,xeR.（相同，只是對(duì)應(yīng)法則的表達(dá)形式不同）.（3）函數(shù)用公式法（解析法）表示時(shí)，函數(shù)的定義域常取使該運(yùn)算式子有意義的自變量的全體，通常稱為存在域（自然定義域）.此時(shí)，函數(shù)的記號(hào)中的定義域可省略不寫(xiě)，而只用對(duì)應(yīng)法則f來(lái)表示一個(gè)函數(shù).即“函數(shù)y=f（x）”或“函數(shù)f”（4）“映射”的觀點(diǎn)來(lái)看，函數(shù)f本質(zhì)上是

20、映射，對(duì)于aeD，f（a）稱為映射f下a的象.a稱為f（a）的原象.（5）函數(shù)定義中，VxeD，只能有唯一的一個(gè)y值與它對(duì)應(yīng)，這樣定義的函數(shù)稱為“單值函數(shù)”，若對(duì)同一個(gè)x值，可以對(duì)應(yīng)多于一個(gè)y值，則稱這種函數(shù)為多值函數(shù).本書(shū)中只討論單值函數(shù)（簡(jiǎn)稱函數(shù)）.二、函數(shù)的表示方法1主要方法：解析法（公式法）、列表法（表格法）和圖象法（圖示法）.2可用“特殊方法”來(lái)表示的函數(shù).1）分段函數(shù)：在定義域的不同部分用不同的公式來(lái)表示.1,x0例如sgnx=0,x=0，(符號(hào)函數(shù))一1,x02）用語(yǔ)言敘述的函數(shù)（注意；以下函數(shù)不是分段(借助于sgnx可表示f(x)=|xI,即f(x)=1x1=xsgnx)-函數(shù)

21、）例1）y=x（取整函數(shù)）比如：3.5=3,3=3,3.5=4.常有口xx+1，即0x-x1-與此有關(guān)一個(gè)的函數(shù)y=x-Lbx（非負(fù)小數(shù)函數(shù)）圖形是一條大鋸，畫(huà)出圖看一看.2）狄利克雷（Dirichlet）函數(shù)1,當(dāng)x為有理數(shù),0,當(dāng)x為無(wú)理數(shù),這是一個(gè)病態(tài)函數(shù)，很有用處，卻無(wú)法畫(huà)出它的圖形.它是周期函數(shù)，但卻沒(méi)有最小周期，事實(shí)上任一有理數(shù)都是它的周期.3）黎曼（Riemman）函數(shù)-,當(dāng)x=(p,qeN,為既約分?jǐn)?shù)),R(x)=nE=v=gt抽去該問(wèn)題的實(shí)際意義，我們得到兩個(gè)函數(shù)f(V)=1mv2,V=gt，把2v(t)代入f，即得f(v(t)=12mg2t2這樣得到函數(shù)的過(guò)程稱為“函數(shù)復(fù)合

22、”，所得到的函數(shù)稱為“復(fù)合函數(shù)”.問(wèn)題任給兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合嗎？考慮下例；y=f(u)=arcsinu,ueD=-1,1,u=g(x)=2+x2,xeE=R-就不能復(fù)合，結(jié)合上例可見(jiàn)，復(fù)合的前提條件是“內(nèi)函數(shù)”的值域與“外函數(shù)”的定義域的交集不空(從而引出下面定義).2定義(復(fù)合函數(shù))設(shè)有兩個(gè)函數(shù)y=f(u),ueD,u=g(x),xeEE=xf(x)ed“E，若E制，則對(duì)每一個(gè)xgE，通過(guò)g對(duì)應(yīng)D內(nèi)唯一一個(gè)值u，而u又通過(guò)f對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)值y，這就確定了一個(gè)定義在E上的函數(shù)，它以x為自變量，y因變量，記作y=f(g(X),xeE或y=(fog)(x),xeE簡(jiǎn)記為fog稱為函數(shù)f和g的復(fù)合函數(shù)

23、，并稱f為外函數(shù)，g為內(nèi)函數(shù)，u為中間變量.3例子例y二f(u)u,u二g(x)二1-x2.求(/gh)=fg(x)并求定義域例ff1x+1=x2+.則(丿x2f(x)=()A.x2,B.x2+1,C.x2-2,f(1-x)=x2+x+1,f(x)=D數(shù)，在分解時(shí)也要注意定義域的變化y=log：1-x2,xe(0,1)ty=logu,u=z,z=1-x2.aay二arcsinpx2+1ty二arcsinu,u=v,v二x2+1.=2sin2xy=2u,uv2,vsinx.22(或由f(x1)=f(JUx1若f:XY，Y=f(X)，則稱f在X上是IT的.稱f為滿的.五、反函數(shù)1引言在函數(shù)y=f(

24、x)中把x叫做自變量，y叫做因變量.但需要指出的是，自變量與因變量的地位并不是絕對(duì)的，而是相對(duì)的，例如：f(u)=莎u=12+1,那么u對(duì)于f來(lái)講是自變量，但對(duì)t來(lái)講，u是因變量.習(xí)慣上說(shuō)函數(shù)y=f(x)中x是自變量，y是因變量，是基于y隨x的變化現(xiàn)時(shí)變化.但有時(shí)我們不僅要研究y隨x的變化狀況，也要研究x隨y的變化的狀況.對(duì)此，我們引入反函數(shù)的概念.2.反函數(shù)概念定乂設(shè)f:XR是一函數(shù)，如果yx，xeX，由12若f:XY是滿的1-1的，則稱f為IT對(duì)應(yīng).f:XR是1-1的意味著y=f(x)對(duì)固定y至多有一個(gè)解x，f:XY是IT的意味著對(duì)yeY，y=f(x)有且僅有一個(gè)解x定義設(shè)f:XTY是I-

25、1對(duì)應(yīng)byGY，由y二f(x)唯一確定一個(gè)xGX,由這種對(duì)應(yīng)法則所確定的函數(shù)稱為y二f(x)的反函數(shù)，記為x二f-1(y).反函數(shù)的定義域和值域恰為原函數(shù)的值域和定義域f:XTY顯然有f-1:YTXf-1。f-I:XTX（恒等變換）f。f-1二I:YTY（恒等變換）(f-1)-1-f：XTY.從方程角度看，函數(shù)和反函數(shù)沒(méi)什么區(qū)別，作為函數(shù)，習(xí)慣上我們還是把反函數(shù)記為y二f-1(x),這樣它的圖形與y-f(X)的圖形是關(guān)于對(duì)角線y=X對(duì)稱的.y嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)是1-1對(duì)應(yīng)的，所以嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)有反函數(shù).但1-1對(duì)應(yīng)的函數(shù)(有反函數(shù))不一定是嚴(yán)格單調(diào)的，看下面例子IX,0X1f（X）斗3-x,1x0,a

26、豐1)；對(duì)數(shù)函數(shù)y=logx(a0,a豐1)；a三角函數(shù)y=sinx,y=cosx,y=tgx,y=ctgx；反三角函數(shù)y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx注：幕函數(shù)y二xa(aGR)和指數(shù)函數(shù)y二ax(a0,a豐1)都涉及乘幕，而在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中只給了有理指數(shù)乘冪的定義.下面我們借助于確界來(lái)定義無(wú)理指數(shù)幕，便它與有理指數(shù)幕一起構(gòu)成實(shí)指數(shù)乘幕，并保持有理批數(shù)幕的基本性質(zhì).定義2.給定實(shí)數(shù)a0,a豐1，設(shè)x為無(wú)理數(shù)，我們規(guī)定：ax=1時(shí)，infLr|r為有理數(shù)，當(dāng)0a1時(shí).rx這樣解決了中學(xué)數(shù)學(xué)僅對(duì)有理數(shù)定義ax的缺陷.問(wèn)題：這樣的定義有意義否？更明確一點(diǎn)

27、相應(yīng)的“確界是否存在呢？”2初等函數(shù)定義3.由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)在有限次四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù)如：y=2sinx+cos2x,y=sin(),y=logx+xa,y=1xI.x231不是初等函數(shù)的函數(shù)，稱為非初等函數(shù).如Dirichlet函數(shù)、Riemann函數(shù)、取整函數(shù)等都是非初等函數(shù).注：初等函數(shù)是本課程研究的主要對(duì)象.為此，除對(duì)基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)熟練掌握外，還應(yīng)常握確定初等函數(shù)的定義域.確定定義域時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn).例2.求下列函數(shù)的定義域.y=ln|sinx|.3. 初等函數(shù)的幾個(gè)特例：設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)都是初等函數(shù)，則(1) |f(x)|是初等函數(shù),因?yàn)?/p>

28、If(x)|=(x)衛(wèi).(2) (x)=maxf(x),g(x)和Q(x)=minf(x),g(x)都是初等函數(shù),因?yàn)?x)=maxf(x),g(x)=2f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|,0(x)二minf(x),g(x)二2f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|-(3)幕指函數(shù)(f(x)g(x)(f(x)o)是初等函數(shù)，因?yàn)?f(x)g(x)=eIn(f(x)g(x)=eg(x)lnf(x).作業(yè)P:3；4:(2)、(3)；5:(2)；7:(3)；11154具有某些特性的函數(shù)授課章節(jié)：第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)4具有某些特性的函數(shù)教學(xué)目的：熟悉與初等函數(shù)性態(tài)有關(guān)的一些常見(jiàn)術(shù)語(yǔ).教學(xué)目的

29、：深刻理解有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)的定義；理解奇偶函數(shù)、周期函數(shù)的定義；會(huì)求一些簡(jiǎn)單周期函數(shù)的周期.教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的有界性、單調(diào)性.教學(xué)難點(diǎn)：周期函數(shù)周期的計(jì)算、驗(yàn)證.教學(xué)方法：有界函數(shù)講授，其余的列出自學(xué)題綱，供學(xué)生自學(xué)完成.教學(xué)程序：引言在本節(jié)中，我們將介紹以后常用的幾類具有某些特性的函數(shù)，如有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇偶函數(shù)與周期函數(shù).其中，有些概念在中學(xué)里已經(jīng)敘述過(guò)，因此，這里只是簡(jiǎn)單地提一下.與“有界集”的定義類似，先談?wù)動(dòng)猩辖绾瘮?shù)和有下界函數(shù).一、有界函數(shù)1、有上界函數(shù)、有下界函數(shù)的定義定義1設(shè)f為定義在D上的函數(shù)，若存在數(shù)M（L），使得對(duì)每一個(gè)xeD有f（x）L），則稱f為D上的有上（下）界

30、函數(shù)，M（L）稱為f在D上的一個(gè)上（下）界.注：（1）f在D上有上（下）界，意味著值域f（D）是一個(gè)有上（下）界的數(shù)集；（2）又若M（L）為f在D上的一個(gè)上（下）界，則任何大于M（小于L）的數(shù)也是f在D上的上（下）界所以，函數(shù)的上（下）界若存在，則不是唯一的，例如：y=sinx，1是其一個(gè)上界，下界為1，則易見(jiàn)任何小于1的數(shù)都可作為其下界；任何大于1的數(shù)都可作為其上界；（3）任給一個(gè)函數(shù)，不一定有上（下）界；（4）由（1）及“有界集”定義，可類比給出“有界函數(shù)”定義：f在D上有界of（d）是一個(gè)有界集Of在D上既有上界又有下界of在D上的有上界函數(shù)，也為D上的有下界函數(shù).2、有界函數(shù)定義定義2

31、設(shè)f為定義在D上的函數(shù).若存在正數(shù)M,使得對(duì)每一個(gè)xeD有|f（x）|M，則稱f為D上的有界函數(shù).注：（1）幾何意義：f為D上的有界函數(shù)，則f的圖象完全落在y二M和y=_M之間；（2）f在D上有界of在D上既有上界又有下界；例子：y=sinx,y=cosx；（3）關(guān)于函數(shù)f在D上無(wú)上界、無(wú)下界或無(wú)界的定義.3、例題例1證明f:XtR有界的充要條件為：3M,m,使得對(duì)VxeX,mf(x)0,VxeX有|f(x)m，即-Mf(x)M,取m=M,M=M即可.VxeX,mf(x)0，使得對(duì)VxeX有|f(x)|M，即f:XtR反之如果3M,m使得則|f(x)有界.例2.證明f(x)二1為(0,1上的無(wú)

32、上界函數(shù).x例3.設(shè)f,g為D上的有界函數(shù).證明：(1)inff(x)+infg(x)inff(x)+g(x)；xeDxeDxeD(2)supf(x)+g(x)supf(x)+supg(x).xeDxeDxeD例4驗(yàn)證函數(shù)f（x）二5x在R內(nèi)有界.2x2+3解法一由2x2+3=（2卜丟制=2岡x|,當(dāng)x豐0時(shí)，有If(x)IIf(0)|=03，對(duì)VxeR,總有|f(x)|3,即f(x)在R內(nèi)有界.解法二令y=+，有實(shí)數(shù)根解法二令x二tgt,te一25迂tgt25y2-24-4,nlyl-2冷2丿對(duì)應(yīng)xG（7,）.于是5xf（x）=k=5sint1=5Itgt=（f）232tg21+1J6cos

33、tsec212Jtgt+3二擊iM,nlf（x）l二-sin2t-=2J6:n關(guān)于x的二次方程2yx2-5x+3y二0、單調(diào)函數(shù)定義3設(shè)f為定義在D上的函數(shù)，vx,xeD,xx,(1)若1212f(x)f(x)，貝【J稱f為D上的增函數(shù)；若f(x)f(x)，則稱f為D上的減函數(shù)；若f(x)f(x)，貝I稱f為D上的嚴(yán)格減函數(shù).12例5.證明：y二x3在(一。+8)上是嚴(yán)格增函數(shù).證明：設(shè)xx，x3一x3=(x一x)(x2+xx+x2)1212121122女口xx0xnx30，貝x2+xx+x20,nx3x312112212故x3-x30即得證.12例6.討論函數(shù)y二x在R上的單調(diào)性.Vx,xe

34、R，當(dāng)xx時(shí)，有LxL，但此函數(shù)在R上的不是嚴(yán)格121212增函數(shù).注：1)單調(diào)性與所討論的區(qū)間有關(guān).在定義域的某些部分，f可能單調(diào)，也可能不單調(diào).所以要會(huì)求出給定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2)嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的幾何意義：其圖象無(wú)自交點(diǎn)或無(wú)平行于x軸的部分.更準(zhǔn)確地講：嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的圖象與任一平行于x軸的直線至多有一個(gè)交點(diǎn).這一特征保證了它必有反函數(shù).總結(jié)得下面的結(jié)論：定理1.設(shè)y二f(x),xeD為嚴(yán)格增(減)函數(shù)，則f必有反函數(shù)f-1，且f-1在其定義域f(D)上也是嚴(yán)格增(減)函數(shù).證明：設(shè)f在D上嚴(yán)格增函數(shù)對(duì)Vygf(D),有xgD,使f(x)二y下面證明這樣的x只有一個(gè)事實(shí)上，對(duì)于D內(nèi)任一x豐x,

35、由于f在D上嚴(yán)格增函數(shù)，當(dāng)xx時(shí)f(x)x時(shí)f(x)y，總之f(x)豐y-即Vygf(D),都只存在唯一的一xgD,使得f(x)二y，從而例7討論函數(shù)y=x2在(P,+Q上反函數(shù)的存在性；如果y=x2在(,+8)上不存在反函數(shù)，在(g,+8)的子區(qū)間上存在反函數(shù)否？結(jié)論：函數(shù)的反函數(shù)與討論的自變量的變化范圍有關(guān).例8證明：y=ax當(dāng)a1時(shí)在R上嚴(yán)格增，當(dāng)0a0，使得對(duì)一切xgD有f(xQ)=f(x)，則稱f為周期函數(shù)，稱為f的一個(gè)周期.2、幾點(diǎn)說(shuō)明：(1) 若。是f的周期，則膠(ngN)也是f的周期，所以周期若存在，則不唯一如y=sinx,o二2兀,4兀，.因此有如下“基本周期”的說(shuō)法，即若在

36、周期函數(shù)f的所有周期中有一個(gè)最小的周期，則稱此最小周期為f的“基本周期”，簡(jiǎn)稱“周期”如y=sinx，周期為2兀；(2) 任給一個(gè)函數(shù)不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如:1)y=x+1，不是周期函數(shù)；2)y=C(C為常數(shù)),任何正數(shù)都是它的周期.第二章數(shù)列極限引言為了掌握變量的變化規(guī)律，往往需要從它的變化過(guò)程來(lái)判斷它的變化趨勢(shì)例如有這么一個(gè)變量，它開(kāi)始是1,然后為丄丄丄,丄,如234n此，一直無(wú)盡地變下去，雖然無(wú)盡止，但它的變化有一個(gè)趨勢(shì)，這個(gè)趨勢(shì)就是在它的變化過(guò)程中越來(lái)越接近于零.我們就說(shuō)，這個(gè)變量的極限為0.在高等數(shù)學(xué)中，有很多重要的概念和方法都和極限有關(guān)（如導(dǎo)數(shù)、微分、積

37、分、級(jí)數(shù)等），并且在實(shí)際問(wèn)題中極限也占有重要的地位.例如求圓的面積和圓周長(zhǎng)（已知：S=兀r2,1=2兀r），但這兩個(gè)公式從何而來(lái)？要知道，獲得這些結(jié)果并不容易！人們最初只知道求多邊形的面積和求直線段的長(zhǎng)度.然而，要定義這種從多邊形到圓的過(guò)渡就要求人們?cè)谟^念上，在思考方法上來(lái)一個(gè)突破.問(wèn)題的困難何在？多邊形的面積其所以為好求，是因?yàn)樗闹芙缡且恍┲本€段，我們可以把它分解為許多三角形.而圓呢？周界處處是彎曲的，困難就在這個(gè)“曲”字上面.在這里我們面臨著“曲”與“直”這樣一對(duì)矛盾.辯證唯物主義認(rèn)為，在一定條件下，曲與直的矛盾可以相互轉(zhuǎn)化.整個(gè)圓周是曲的，每一小段圓弧卻可以近似看成是直的；就是說(shuō)，在很

38、小的一段上可以近似地“以直代曲”，即以弦代替圓弧.按照這種辯證思想，我們把圓周分成許多的小段，比方說(shuō)，分成n個(gè)等長(zhǎng)的小段，代替圓而先考慮其內(nèi)接正n邊形易知，正n邊形周長(zhǎng)為兀l=2nRsinnn顯然，這個(gè)l不會(huì)等于I然而，從幾何直觀上可以看出，只要正n邊形的邊數(shù)不斷增加這些正多邊形的周長(zhǎng)將隨著邊數(shù)的增加而不斷地接近于圓周長(zhǎng).n越大，近似程度越高.但是，不論n多么大，這樣算出來(lái)的總還只是多邊形的周長(zhǎng)無(wú)論如何它只是周長(zhǎng)的近似值，而不是精確值.問(wèn)題并沒(méi)有最后解決.n*直觀上很明顯，當(dāng)n*時(shí)，lTl，記成liml=l.nnnTg極限思為了從近似值過(guò)渡到精確值，我們自然讓n無(wú)限地增大，記為想.即圓周長(zhǎng)是其

39、內(nèi)接正多邊形周長(zhǎng)的極限.這種方法是我國(guó)劉微（張晉）早在第3世紀(jì)就提出來(lái)了，稱為“割圓術(shù)”.其方法就是無(wú)限分割.以直代曲；其思想在于“極限”.除之以外，象曲邊梯形面積的計(jì)算均源于“極限”思想.所以，我們有必要對(duì)極限作深入研究.1數(shù)列極限的概念教學(xué)目的：使學(xué)生建立起數(shù)列極限的準(zhǔn)確概念；會(huì)用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極限等有關(guān)命題.教學(xué)要求：使學(xué)生逐步建立起數(shù)列極限的*-N定義的清晰概念深刻理解數(shù)列發(fā)散、單調(diào)、有界和無(wú)窮小數(shù)列等有關(guān)概念.會(huì)應(yīng)用數(shù)列極限的E-N定義證明數(shù)列的有關(guān)命題，并能運(yùn)用*-N語(yǔ)言正確表述數(shù)列不以某實(shí)數(shù)為極限等相應(yīng)陳述.教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列極限的概念.教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列極限的E-N定義及其應(yīng)用

40、.教學(xué)方法：講授為主.教學(xué)程序：一、什么是數(shù)列1數(shù)列的定義數(shù)列就是“一列數(shù)”，但這“一列數(shù)”并不是任意的一列數(shù)，而是有一定的規(guī)律，有一定次序性，具體講數(shù)列可定義如下；若函數(shù)f的定義域?yàn)槿w正整數(shù)集合N，則稱f:NTR為數(shù)列.注:1)根據(jù)函數(shù)的記號(hào)，數(shù)列也可記為f(n),neN-2) 記f(n)=a，則數(shù)列f(n)就可寫(xiě)作為：a,a；,a，簡(jiǎn)記為a，即f(n)IneN=a；n+n3) 不嚴(yán)格的說(shuō)法：說(shuō)f(n)是一個(gè)數(shù)列.1)f(-1):.-1,1,丄1,；(2)nJ-丿777.7234nJy:1,4,9,16,25,；3)2數(shù)列的例子1.1.1:2,1+,1+才,1+匸，435(4) +(-1)n+1：2,0,2,0,2，二、什么是數(shù)列極限1