曲線擬合問題講解

1、曲線擬合問題摘要本文首先對給定數(shù)據(jù)根據(jù)不同要求進(jìn)行多次直線擬合，分別求得使所擬直線預(yù)期值的偏差平方和、絕對偏差總和和最大偏差最小的三類擬合直線，然后再求得二次曲線條件下滿足三類要求的二次擬合曲線，最后運(yùn)用其他曲線對給定數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到吻合度最高的曲線。針對問題一，構(gòu)建線性回歸方程，運(yùn)用最小二乘法及l(fā)ingo軟件使得目標(biāo)函數(shù)預(yù)期值的即擬合偏差平方和達(dá)到最小，從而得到擬合曲線y=0.8031048為-0.0123077。針對問題二，構(gòu)建給定數(shù)據(jù)的線性回歸方程，使得目標(biāo)函數(shù)即預(yù)期值的絕對偏差綜合最小，但由于絕對偏差較難處理，采用轉(zhuǎn)化的思想將對絕對偏差的求解轉(zhuǎn)化為對偏差平方和開方的求解，從而得到擬合

2、曲線y=0.65x+0.575。針對問題三，構(gòu)建給定數(shù)據(jù)的線性回歸方程，運(yùn)用lingo軟件使得目標(biāo)函數(shù)即預(yù)期值的最大偏差最小，從而得到擬合曲線y=1.13Xj-1.879。針對問題四，構(gòu)建給定數(shù)據(jù)的二次方程，運(yùn)用lingo軟件分別求得三類不同條件下的最優(yōu)擬合曲線，偏差平方和達(dá)到最?。簓1=0.09703011x2-0.138534k+1.425301,絕對偏差總和達(dá)到最?。簓1=0.04148148x：+0.2711111%+1,觀測值與預(yù)測值最大偏差為最小：y1=0.02556818x：+0.7659091x-0.6923295。針對問題五，本文做出給定數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖，構(gòu)建不同曲線類型進(jìn)行擬合，

3、得到R2即吻合度最高的曲線類型，運(yùn)用Matlab軟件求得該曲線類型的方程。本文的特色在于利用圖標(biāo)直觀表達(dá)擬合曲線，增強(qiáng)文章可靠性及真實(shí)性，并構(gòu)建不同的曲線類型，得到吻合度最高的擬合曲線。關(guān)鍵詞：曲線擬合、線性回歸、lingo1.問題的重述已知一個(gè)量y依賴于另一個(gè)量x,現(xiàn)收集有數(shù)據(jù)如下:x0.00.51.01.51.92.53.03.54.04.5y1.00.90.71.52.02.43.22.02.73.5x5.05.56.06.67.67.68.59.010.0y1.04.07.62.75.74.66.06.812.3(1)求擬合以上數(shù)據(jù)的直線y=bx+a。目標(biāo)為使y的各個(gè)觀察值同按直線關(guān)系

4、所預(yù)期的值的偏差平方和為最小。(2)求擬合以上數(shù)據(jù)的直線y=bx+a,目標(biāo)為使y的各個(gè)觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的絕對偏差總和為最小。(3)求擬合以上數(shù)據(jù)的直線，目標(biāo)為使y的各個(gè)觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的最大偏差為最小。(4)求擬合以上數(shù)據(jù)的曲線y=cx2+bx+a,實(shí)現(xiàn)(1)(2)(3)三種目標(biāo)。(5)試一試其它的曲線，可否找出最好的？2.模型假設(shè)(1)假設(shè)數(shù)據(jù)可靠，并且數(shù)據(jù)量足夠充分來反映y與x的依賴關(guān)系;(2)假設(shè)原始數(shù)據(jù)精度較大，擬合求得的曲線足夠精確；3 .符號說明ay預(yù)測值y觀測值o觀測值與預(yù)測值的差值4 .問題一的分析與求解4.1 問題的分析對于給定的點(diǎn)(x，yi)(i=1

5、,2，n),假定x和y之間滿足線性模型yi=bx+a+。，。N（0產(chǎn)2）,cov（仃尸）=0,（i/j;i,j=1,2，n）,據(jù)此，建立線性回歸方程y=bx+a,n使得擬合偏差平方和S=v二2i1na=£y-yi=12n一2、一一r=£|yi-bxi-a達(dá)到取小,i1即利用最小二乘法求解4.2問題的求解將數(shù)據(jù)代入lingo軟件(程序代碼見附錄1),約束條件為:可解得:nminS=Syi=12a4nk2y=Lybx-ai=1y=0.8031048xi0.0123077,Smin=48.55993偏差平方和最小時(shí)的函數(shù)與數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖y圖15 .問題二的分析與求解5.1 問題的分析

6、對于給定的點(diǎn)（x，yi）（i=1,2，n）,假定x和y之間滿足線性模型yi=bx+a+。，。N(0,。2),cov(o,o)=0,(i/j;i,j=1,2，n),據(jù)此，建立線性回歸方程y=bXi+a,使得擬合絕對偏差總和S=£同=£yi-yi=L|yi-bxi-a達(dá)到最小。但是，絕對值難以計(jì)算，因此，可將其看作S=£擰=£dyi-bxi-a5.2 問題的求解將數(shù)據(jù)代入lingo軟件（程序代碼見附錄2）,約束條件為:inryi-yi=£2yi-bXi-a可解得:y=0.65xi+0.575,Smin=18.45514絕對偏差總和最小時(shí)的函數(shù)與數(shù)據(jù)

7、散點(diǎn)圖y=0.65x+0.575線性(y=0.65x+0.575)6 .問題三的分析與求解6.1 問題的分析對于給定的點(diǎn)(x，yi)(i=12,n),假定x和y之間滿足線性模型yi=bx+a+。，。N(0,。2),cov(仃產(chǎn))=0,(i#j;i,j=1,2，n),據(jù)此，建立線性回歸方程y=bXj+a,使y的各個(gè)觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的最大偏差為最小，即求各線性方程中maxS=yi-y=|yi-bxi-a達(dá)到最小時(shí)，對應(yīng)的線性方程。6.2 問題的求解將數(shù)據(jù)代入lingo軟件(程序代碼見附錄3),約束條件為：min(maxS)=min(maxyi-y)=min(maxyi-bxi-a)可解

8、得：ay=1.13xj1.879,maxSmin=2.8797 .問題四的分析與求解7.1 問題的分析該問題分析方法與上述三個(gè)問題相同，對于給定的點(diǎn)（刈）（i=1,2,n）,假定x和y之間滿足模型2,y=cxi+bXi+a+仃，2、二N(0,0),cov(二，二)=0,(i=j；i,j=1,2，n),據(jù)此，建立方程y=cx：+bXj+a,分別求nnS="二2='、i1i1n=£n=£y-bx-a2y-bx-a使得maxS=仃=yiy=ybxj-a達(dá)到最小7.2 問題的求解將數(shù)據(jù)代入lingo軟件（程序代碼見附錄4）,約束條件分別對應(yīng)為:i-1"2

9、i42n=ZYi-bx-aYi-bXj-amin(maxS)=min(maxyi-Y)=min(maxyi-bx,-a)可解得:偏差平方和達(dá)到最?。簓1=0.09703011x2-0.138534xi+1.425301,Smin=36.93492偏差平方和最小時(shí)的函數(shù)與數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖絕對偏差總和達(dá)到最小：Y1=0.04148148x20.2711111xi1,Smin=17.4803絕對偏差總和最小時(shí)的函數(shù)與數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖Y=0.04148148xA2+0.2711111x+1多項(xiàng)式(y=0.04148148xA2+0.2711111x+1)觀測值與預(yù)測值最大偏差為最?。簓=aebxHc+d,maxS

10、min=2.77642觀測值與預(yù)測值觀測值與預(yù)測值最大偏差為最小時(shí)的函數(shù)與數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖多項(xiàng)式(y=0,025o6818x2W.7659。91苫-。.6g23295)y=0.02556818k7659091x'0,69232958 .問題五的分析與求解8.1 問題的分析該問題分析方法主要是采用最小二乘法擬合函數(shù)圖像，利用觀測值與預(yù)測值的平方nn和達(dá)到最小，即S=£仃2=£%=1i=1a2n2-y|yi-bXi-a達(dá)到最小。采用最小二乘法進(jìn)行i=1參數(shù)估計(jì)時(shí)，R2表示回歸平方和與總離差平方和的比值，這一比例越大越好，模型越精確，回歸效果越顯著。R2介于01之間，越接近1,

11、回歸擬合效果越好，一般認(rèn)為超過0.8的模型擬合度比較高8.2 問題的求解將原始數(shù)據(jù)錄入Matlab擬合工具箱，觀察其散點(diǎn)圖分布情況，發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)、三次多項(xiàng)式和三角函數(shù)能夠較好的反映散點(diǎn)分布，分別得擬合圖像（圖1、圖2、圖3）yi1.088e0.3728x-1.4711.028圖1通過對R值的比較R1=0.7927,R2=0.8088,R3=0.688發(fā)現(xiàn)R2相較于其他來說最大，所以采用三次多項(xiàng)式作為目標(biāo)函數(shù)。9 .模型的優(yōu)缺點(diǎn)分析與改進(jìn)方向9.1 優(yōu)點(diǎn)：(1)本文首先畫出所給數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖，然后運(yùn)用圖表直觀表達(dá)擬合曲線，避免了只有函數(shù)方程，增強(qiáng)了本文的可讀性和理解性。(2)本文在構(gòu)建絕對偏差最小目

12、標(biāo)函數(shù)時(shí)，由于絕對偏差較難處理，采用轉(zhuǎn)化的思想，將對絕對偏差的求解轉(zhuǎn)化為對偏差平方和開方的求解，從而巧妙地解決這一難題，使得文章更加通俗易懂。(3)本文所用程序增加注釋，增強(qiáng)了程序的可讀性和規(guī)范性。9.2 缺點(diǎn)：本文雖建立不同擬合曲線類型，但也僅限于有限的曲線類型，無法保證此曲線即是吻合度最高的曲線。9.3 改進(jìn)方向：針對模型特點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上，找到吻合度更高的擬合曲線類型，從而得到最優(yōu)的擬合曲線。10參考文獻(xiàn)1周鵬，許鋼.基于LabVIEW的廣義線性擬合在成本預(yù)測中的應(yīng)用J,安徽工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2013,(3)2王禮想，劉利姣，黃光明.基于EM算法的線性擬合問題研究J.廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)，自然科學(xué)

13、版,2013,(4)3狄曉敏,謝紅薇.多疾病共同危險(xiǎn)因素挖掘與MAR頸測模型研究J.電子學(xué)報(bào)，2009,(6)4郝海燕，郝春蕾，康榮雷等.我國普通高等學(xué)校生源規(guī)模預(yù)測及高職院校發(fā)展趨勢分析.承德石油高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2013,(4)11附錄：1 .第一問：model:sets:!定義集math,屬性x,y,共119個(gè)成員數(shù)據(jù)math/1.19/:x,y;endsetsdata:x=00.511.51.92.533.544.555.566.67.67.68.5910Jy=10.90.71.522.43.222.73.5147.62.75.74.666.812.3JEnddata!約束條件；min

14、=sum(math:(a*x+b-y)A2);!解除變量a,b的非負(fù)限制；free(a);free(b);end2 .第二問：model:sets:!定義集math,屬性x,y,共119個(gè)成員數(shù)據(jù)math/1.19/:x,y;endsetsdata:00.511.51.92.533.5455.566.67.67.68.5910x=J4.5y=10.90.71.522.43.222.73.5147.62.75.74.666.812.3JEnddata!約束條件；min=sum(math(i):(y(i)-z(i)A2)A(1/2);for(math(i):z(i)=a*x(i)+b);!解除變量

15、a,b的非負(fù)限制；free(a);free(b);end3 .第三問model:sets:!定義集math,屬性x,y,共119個(gè)成員數(shù)據(jù)12math/1.19/:x,y;endsetsdata:free(a);free(b);End4 .第四問4.1model:sets:!定義集math,屬性x,y,共119個(gè)成員數(shù)據(jù)math/1.19/:x,y;endsetsdata:x=00.511.51.92.533.544.555.566.67.67.68.5910Jy=10.90.71.522.43.222.73.5147.62.75.74.666.812.3JEnddata!約束條件；min=s

16、um(math:(a*xA2+b*x+c-y)A2);!解除變量a,b,c的非負(fù)限制；free(a);free(b);free(c);End4.2model:sets:!定義集math,屬性x,y,共119個(gè)成員數(shù)據(jù)math/1.19/:x,y;endsetsdata:x=00.511.51.92.533.544.555.566.67.67.68.591013Jy=10.90.71.522.43.222.73.5147.62.75.74.666.812.3JEnddata!約束條件；min=sum(math:abs(a*xA2+b*x+c-y);!解除變量a,b,c的非負(fù)限制；free(a);free(b);free(c