整理合情推理和演繹推理

1、精品文檔第十七章推理與證明知識(shí)網(wǎng)絡(luò)推理與證明推理直接證明歸納類比數(shù)學(xué)歸納法綜合法分析法反證法間接證明第1講合情推理和演繹推理知識(shí)梳理1.推理根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)事實(shí)（或假設(shè)）得出一個(gè)判斷，這種思維方式叫推理.從結(jié)構(gòu)上說，推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實(shí)（或假設(shè)）叫做前提，一部分是由已知推出的判斷,叫結(jié)論.2、合情推理：根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出的推理叫合情推理。合情推理可分為歸納推理和類比推理兩類：（1）歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理。簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分

2、到整體、由個(gè)別到一般的推理（2）類比推理：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象具有的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理。3.演繹推理：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理叫演繹推理,簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理。三段論是演繹推理的一般模式，它包括：（1）大前提-已知的一般原理；（2）小前提-所研究的特殊情況；（3）結(jié)論一一根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷。重難點(diǎn)突破重點(diǎn)：會(huì)用合情推理提出猜想，會(huì)用演繹推理進(jìn)行推理論證，明確合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系精品文檔精品文檔難點(diǎn):發(fā)現(xiàn)兩類對(duì)象的類似特征、在部分對(duì)象中尋找共

3、同特征或規(guī)律重難點(diǎn)：利用合情推理的原理提出猜想，利用演繹推理的形式進(jìn)行證明1、歸納推理關(guān)鍵是要在部分對(duì)象中尋找共同特征或某種規(guī)律性問題1：觀察：J7+J15c2JH；，55十JT65<2；313+419+（3七26；.對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a,b,試寫出使石+JbW2J行成立的一個(gè)條件可以是點(diǎn)撥：前面所列式子的共同特征特征是被開方數(shù)之和為22,故a+b=222、類比推理關(guān)鍵是要尋找兩類對(duì)象的類似特征問題2：已知拋物線有性質(zhì)：過拋物線的焦點(diǎn)作一直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，則當(dāng)AB與拋物線的對(duì)稱軸垂直時(shí)，AB的長(zhǎng)度最短；試將上述命題類比到其他曲線，寫出相應(yīng)的一個(gè)真命題為.點(diǎn)撥：圓錐曲線有很多類似性質(zhì)

4、,“通徑”最短是其中之一，答案可以填：過橢圓的焦點(diǎn)作一2b2直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，則當(dāng)AB與橢圓的長(zhǎng)軸垂直時(shí)，AB的長(zhǎng)度最短（|AB|之之）a3、運(yùn)用演繹推理的推理形式（三段論）進(jìn)行推理問題3:定義x為不超過x的最大整數(shù)，則-2.1=點(diǎn)撥：“大前提”是在（g,x找最大整數(shù)，所以-2.1=-3熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)1合情推理題型1用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律例1通過觀察下列等式，猜想出一個(gè)一般性的結(jié)論，并證明結(jié)論的真假。3Q9n9n9nOsin-15十sin75+sin135=；sin2300+sin290°+sin2150°=；229n9n9n39n9n9n3sin2450sin2

5、1050sin2165°=3；sin2600sin21200sin2180°=322【解題思路】注意觀察四個(gè)式子的共同特征或規(guī)律（1）結(jié)構(gòu)的一致性，（2）觀察角的“共性”解析猜想：sin2”-600）+sin2久+sin2（a+60°）=°2證明：左邊=(sin:cos600-cos：sin600)2sin2工工(sin:cos600cos：sin600)232.23.=(sincos-):一二右邊22【名師指引】（1）先猜后證是一種常見題型,二是“遞推型”，三是“循環(huán)型”（2）歸納推理的一些常見形式：一是“具有共同特征型”（周期性）例2（09深圳九校聯(lián)

6、考）蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖精品文檔精品文檔有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)表示第n幅圖的蜂巢總數(shù).則f=；f(n)=.【解題思路】找出f(n)f(n1)的關(guān)系式解析f(1)=1,f(2)=1+6,f(3)=1+6+12,.f(4)=1+6+12+18=37,f(n)=1612186(n-1)=3n2-3n1【名師指引】處理“遞推型”問題的方法之一是尋找相鄰兩組數(shù)據(jù)的關(guān)系【新題導(dǎo)練】1.(2008佛山二模文、理)對(duì)大于或等于2的自然數(shù)m的n次方哥有如下分解方式：_2_

7、2一2一2=133=1354=13573332=353=79114=131517192.3根據(jù)上述分解規(guī)律，則52=1+3+5+7+9,若m3(mwN)的分解中最小的數(shù)是73,則m的值為.32.解析m的分解中，最小的數(shù)依次為3,7,13,，m-m+1,，由m2m+1=73得m=92. (2010惠州調(diào)研二理)函數(shù)f(x)由下表定義：X25314f(x)12345右a0=5,an1=f(an),n=0,1,2,11|,則a2007=4解析a0=5,a1=2,a2=1,a3=4,a4=5,an44=an，a2007=a3=4點(diǎn)評(píng)：本題為循環(huán)型3. (2010深圳調(diào)研)圖(1)、(2)、(3)、(4

8、)分別包含1個(gè)、5個(gè)、13個(gè)、25個(gè)第二十九屆北京奧運(yùn)會(huì)吉祥物“福娃迎迎”，按同樣的方式構(gòu)造圖形，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)“福娃迎迎”，則f(5)=；f(n)f(n1)=.(答案用數(shù)字或n的解析式表示)賓P舞舞塞舞衰衰胃袋靠貂。器氧裝裝舞舞兼舞艮崇靠京翼解析f(5)=41,f(n)f(n1)=4(n1)4. (2008揭陽一模)設(shè)f0(x)=cosx,f(x)=f0'(x),f2(x)=fj(x),III,fn1(x)=fn'(x),nN則f2008(x)=()A.一sinxB.一cosxC.sinxD.cosx精品文檔精品文檔解析f0（x）=cosx,fi（x）=sinx,

9、f2（x）=cosx,f3（x）=sinx,f，x）=cosx,fn4（x）=fn（x）,f2008（x）=fo（x）=COsx題型2用類比推理猜想新的命題1例1（2010韶關(guān)調(diào)研）已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的-，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是.【解題思路】從方法的類比入手111解析原問題的解法為等面積法，即S=ah=3xar=r=h,類比問題的解法應(yīng)為等體積法，V=Sh=4MSr=r=h即正四面體的內(nèi)切球的半徑是高334【名師指引】（1）不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比（2）類比推理常見的情形有：平面向空間類比；低維向高維類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；實(shí)數(shù)集的性質(zhì)向復(fù)數(shù)

10、集的性質(zhì)類比；圓錐曲線間的類比等例2在&ABC中，若/C=90°，則852人+8523=1,用類比的方法，猜想三棱錐的類似性質(zhì)，并證明你的猜想【解題思路】考慮兩條直角邊互相垂直如何類比到空間以及兩條直角邊與斜邊所成的角如何類比到空間解析由平面類比到空間，有如下猜想：“在三棱錐P-ABC中，三個(gè)側(cè)面PAB,PBC,PCA兩兩垂直，且與底面所成的角分別為a,P,/,則cos2a+cos2P十cos2了=1"證明：設(shè)P在平面ABC的射影為O,延長(zhǎng)CO交AB于M，記PO=h由PC_LPA,PC_LPB得PC_L面PAB，從而PC_LPM,又/PMC=ah：hhcosa=si

11、n"CO=,cosP=,cos=PCPAPB111111VjBCPAPBPC（-PAPBcosPBPCcosPCPAcos）h63222,cos：cos:cos22:2,（+）h=1即cosaccosP+cost=1PCPAPB【名師指引】（1）找兩類對(duì)象的對(duì)應(yīng)元素，如：三角形對(duì)應(yīng)三棱錐，圓對(duì)應(yīng)球，面積對(duì)應(yīng)體積，平面上的角對(duì)應(yīng)空間角等等；（2）找對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如：兩條邊（直線）垂直對(duì)應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對(duì)應(yīng)面積相等新題導(dǎo)練5. （2010深圳二模文）現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖，同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是a的正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，廠則這兩個(gè)正方形重

12、疊部分的面積恒為.類比到空間，有兩個(gè)棱長(zhǎng)4精品文檔精品文檔均為a的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為解析解法的類比（特殊化），易得兩個(gè)正方體重疊部分的體積為6. （2010梅州一模）已知AABC的三邊長(zhǎng)為a,b,c,內(nèi)切圓半徑為r（用若三超tA-BCD1S宓BC表示AABC的面積），則S整BC=-r（a+b+c）；類比這一結(jié)論有:的內(nèi)切球半徑為R,則三棱錐體積Va®d=CDCL/解析R(Sbc3.S.ABD.SACD.SBCD7. （2008屆廣東省東莞市高三理科數(shù)學(xué)高考模擬題（二）在平面直角坐標(biāo)系中，直線一般方程為Ax+By+C=0,圓心在（x

13、0,y0）的圓的一般方程為222（x-X0）十（y-y0）=r；則類似的，在空間直角坐標(biāo)系中，平面的一般萬程為,球心<（x0,y°,z°）的球的一般方程為2,、2,、22解析Ax+By+Cz+D=0；(xx0)+(yyO)+(z)=r8. 對(duì)于一元二次方程，有以下正確命題：如果系數(shù)明，以，。和a2,b2,C2都是非零實(shí)數(shù)，方程2一2a1x+bix+c1=0和a2x+b2x+c2=0在復(fù)數(shù)集上的解集分別是A和B,則«a1a2b1cl._=”是“A=B”的充分必要條件.b2c2試對(duì)兩個(gè)一元二次不等式的解集寫出類似的結(jié)果，并加以證明.解：（3）如果系數(shù)a1，bi,

14、c1和a2,b2,c2都是非零實(shí)數(shù),不等式a1x2+bx+c>0和2a1bCia?x+b2x+c2a0的解集分別是A和B,則“,=”是“A=B”的既不充分a?b2c2也不必要條件.可以舉反例加以說明.9.已知等差數(shù)列的定義為：在一個(gè)數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，如果每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公差.類比等差數(shù)列的定義給出“等和數(shù)列”的定義：;已知數(shù)列歸口是等和數(shù)列，且a1=2,公和為5,那么a18的值為.這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算公式為解析在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)叫做等和數(shù)5n二1,n為奇數(shù)列，這個(gè)常

15、數(shù)叫做該數(shù)列的公和；a18=3；Sn=2y=5n,n為偶數(shù)Q2考點(diǎn)2演繹推理題型:利用“三段論”進(jìn)行推理例1（07啟東中學(xué)模擬）某校對(duì)文明班的評(píng)選設(shè)計(jì)了a,b,c,d,e五個(gè)方面的多元評(píng)價(jià)指標(biāo),精品文檔精品文檔ac1并通過經(jīng)驗(yàn)公式樣S=+-來計(jì)算各班的綜合得分，S的值越高則評(píng)價(jià)效果越好，若某bde班在自測(cè)過程中各項(xiàng)指標(biāo)顯示出0<c<d<e<b<a,則下階段要把其中一個(gè)指標(biāo)的值增加1個(gè)單位，而使得S的值增加最多，那么該指標(biāo)應(yīng)為.(填入a,b,c,d,e中的某個(gè)字母)【解題思路】從分式的性質(zhì)中尋找S值的變化規(guī)律解析因a,b,c,d,e都為正數(shù)，故分子越大或分母越小時(shí)，

16、S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小時(shí)，S的值增長(zhǎng)越多，'0<c<d<e<b<a,所以c增大1個(gè)單位會(huì)使得S的值增加最多【名師指引】此題的大前提是隱含的，需要經(jīng)過思考才能得到例2(03上海)已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：存在非零常數(shù)T,對(duì)任意CR,有f(x+T)=Tf(x)成立.(1)函數(shù)f(x)=x是否屬于集合M?說明理由；(2)設(shè)函數(shù)f(x)=ax(a>0,且aw1)的圖象與y=x的圖象有公共點(diǎn)，證明：f(x)=axCM;(3)若函數(shù)f(x)=sinkxCM，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【解題思路】函數(shù)f(x)是否屬于集合M,要

17、看f(x)是否滿足集合M的“定義”，解(1)對(duì)于非零常數(shù)T,f(x+T尸x+T,f(x)=Tx.因?yàn)閷?duì)任意xCR,x+T=Tx不能恒成立，所以f(x)=x'M.(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax(a>0且aw1)的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點(diǎn)，/_x所以方程組：1y=a有解，消去y得ax=x,J=x顯然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常數(shù)T,使aT=T.于是對(duì)于f(x)=ax有f(x+T)=ax*=aT，ax=T.ax=Tf(x)故f(x)=ax£M.(3)當(dāng)k=0時(shí)，f(x)=0,顯然f(x)=0CM.當(dāng)kw0時(shí)，因?yàn)閒(x)=sinkxCM,所以存在非零常數(shù)T,

18、對(duì)任意xCR,有f(x+T)=Tf(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsirkx.因?yàn)閗w0,且xCR,所以kxR,kx+kTCR,于是sinkxC1,1,sin(kx+kT)1,1,故要使sin(kx+kT)=Tsinkx.成立，只有T=±1,當(dāng)T=1時(shí)，sin(kx+k)=sinkx成立，則k=2m兀，mCZ.當(dāng)T=1時(shí)，sin(kxk)=sinkx成立，精品文檔精品文檔即sin(kxk+兀)=sinkx成立,貝Uk+兀=2m兀，mZ,即k=2(m1)兀，mZ.實(shí)數(shù)k的取值范圍是k|k=m兀,mCZ【名師指引】學(xué)會(huì)緊扣“定義”解題【新題導(dǎo)練】10. (2曾0產(chǎn)海,檢)定義a*b

19、是向量a和b的“向量積”，它的長(zhǎng)度|：*bRa|Jb|sine,其中8&向qa口b的夾角，若u=(2,0),uv=(1,而，則|u*(u+v)|=.1.p.",._一解析v=(1,v3),u+v=(3,v3),sin<u,u+v>=-,|u*(u+v)|=2V3211. (2010深圳二模文)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從A出發(fā)依次沿圖中線段到達(dá)B、C、D、E、F、G、H、I、J各點(diǎn)，最后又回到A(如圖所示)，其中：AB_LBC,J)AB/CD/EF/HG/IJ,BC/DE/FG/HI/JA.欲知此質(zhì)點(diǎn)所走路程，至少需要測(cè)量n條線段的長(zhǎng)度，.貝Un=(B)&A.2B.3C.4

20、D.5Jr解析只需測(cè)量AB,BC,GH3條線段的長(zhǎng)f.AB12. (2010惠州調(diào)研二)為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文T密文(加密)，接受方由密文t明文(解密)，已知加密規(guī)則為：明文a,b,c,d對(duì)應(yīng)密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如，明文1,2,3,4對(duì)應(yīng)密文5,7,18,16.當(dāng)接受方收到密文14,9,23,28時(shí)，則解密得到的明文為().A.4,6,1,7B.7,6,1,4C.6,4,1,7D.1,6,4,7a+2b=5a=62b+c=7b=4解析由<仃得一選C2c3d=18c=14d=16d=713. 對(duì)于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)和(c,d),規(guī)定：(

21、a,b)=(c,d),當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d；運(yùn)算"®為：(a,b)®(c,d)=(acbd,bc+ad);運(yùn)算"出”為：(a,b)畬(c,d)=(a+c,b+d),設(shè)p,qWR,若(1,2)®(p,q)=(5,0),則(1,2)S(p,q)=()A.(4,0)B.(2,0)C(0,2)D.(0,-4)p2q=5p=1解：由題意，解得，所以正確答案為(B).2p+q=0J=-2點(diǎn)評(píng)：實(shí)際上，本題所定義的實(shí)數(shù)對(duì)的兩種運(yùn)算就是復(fù)數(shù)的乘法與加法運(yùn)算.我們可以把該題還原為：已知復(fù)數(shù)z滿足(1+2i)z=5,則(1+2i)+z=.精品文檔精品文檔搶分頻道

22、基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1、對(duì)于集合AB定義運(yùn)算AB=x|xwA且xB,則A(AB)=()A.BB.AC,ABD.AB解析D用圖示法2、命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題,推理錯(cuò)誤的原因是A.使用了歸納推理B.使用了類比推理C.使用了“三段論”，但大前提錯(cuò)誤D.使用了“三段論”，但小前提錯(cuò)誤解析大前提是特指命題，而小前提是全稱命題，故選C3、（華南師大附中20072008學(xué)年度高三綜合測(cè)試（三）給出下面類比推理命題（其中Q為有理數(shù)集，R為實(shí)數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集）：“若a、bwR,則ab=0=a=b”類比推出“a、cC,則ab=0=a=b“若a、b、c、dRR,則復(fù)數(shù)

23、a+bi=c+di=a=c,b=d”類比推出“a、b、c、dwQ,則a+bJ2=c+dJ2=a=c,b=d”bwC,則ab>0na>b”“若a、b、wR,則ab>0=a>b”類比推出“若a、“若xWR,則|x|<1=-1<x<1"類比推出“若zWC,則|z|<1=一1cz<1"其中類比結(jié)它正周的個(gè)數(shù)有（）A.1B.2C.3D.4解析類比結(jié)論正確的只有4、如圖第n個(gè)圖形是由正n+2邊形擴(kuò)展”而來，（n=1,2,3,）。則第n2個(gè)圖形中共有個(gè)頂點(diǎn)。解析設(shè)第n個(gè)圖中有個(gè)頂點(diǎn)，則a1=3+3M3,a2=4+4父4,，an=n+n

24、，n,an_2=(n-2)2n-2=n2。3n2精品文檔精品文檔5、如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，那么對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，X2,，Xn,場(chǎng)上f(Xi)f(X2)f(Xn)£/XiX2+Xn、都有-<f(2).若y=sinX在區(qū)間(0,n)上是凸nn函數(shù)，那么在ABC中，sinA十sinB+sinC的最大值是.ji=3sin3ABC解析sinA+smB+smC<3sm6、類比平面向量基本定理：“如果e,e2是平面«內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于平面內(nèi)任向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，九2,使得a=九e1+%£”，寫出空間向量基本定理是：解析如果e"K,e3是空間三個(gè)不共面的向量，那么對(duì)于空間內(nèi)任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)Wr*'%,%,%,使得a=%eI+%e2+%Q綜合提高訓(xùn)練7、(2009汕頭一模)設(shè)P是MBC內(nèi)一點(diǎn)，AABC三邊上的高分別為hA、hB、h