數(shù)列基礎填空版及答案

1、數(shù)列基礎知識記憶及基礎題訓練1、數(shù)列的概念：（1）數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)集N*（或它的有限子集1,2,3,，n）的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項公式也就是相應函數(shù)的解析式。（2）通項公式：遞推公式：n1練習：（1）已知an=二（nWN）,則在數(shù)列an的最大項為（答：）；n215625a（2）數(shù)列an的通項為an=，其中a,b均為正數(shù)，則an與an書的大小關系為bn1（答：an；an1）;2.等差數(shù)列判斷方法：（1）定義法：或。aa。a練習：設an是等差數(shù)列，求證：以bn=2nnWN*為通項公式的數(shù)n列bn為等差數(shù)列。2 2）等差數(shù)列的通項法：=三。練習：等差數(shù)列an中，&0=30,a20=50

2、,則通項an=（答：2n+10）；（2）首項為-24的等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是（答：8<d<3）3（3）等差數(shù)列的前n和法：Sn=。1*315練刁：數(shù)列an中，njymWN=2,前n項和則a1=_,n=_（答：a1=3,n=10）；已知數(shù)列an的前n項和Sn=12nn2,求數(shù)列|an|的前n項和Tn（答：,2*12n-n（n-6,nN）Tn=（2*）.n-12n72（n6,nN）（4）等差中項法：若a,A,b成等差數(shù)列，則。3 .等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）若公差d>0,則為一等差數(shù)列，若公差d<0,則等差數(shù)列，若公差d=0,則為列。（2）當m+n

3、=p+q時，則有,特別地，當m+n=2p時，則有.a1+an=練習：（1）等差數(shù)列an中，Sn=18,an+anj+anq=3,S3=1,則n=（答：27）；（2）在等差數(shù)列Q中，%<0,an>0,且即下恒屁，Sn是其前n項和，則a、SSillSw都小于0,Sii,sJ1都大于0B、SiSHISw都小于0,$20§/1都大于0C、ssH®都小于0,S6,S7川都大于0D、6與2川50都小于0,S21,S22Hl都大于0（答:B）（3）若an、bn是等差數(shù)列，則kan、kan+pbn（k、p是非零常數(shù)）、_*.aP（P,qwN）、Sn,S2nSn,S3nS2n,也

4、成等差數(shù)列，而aan成等比數(shù)列；若an是等比數(shù)列，且an>0,則lg4是等差數(shù)列.下標（序號）成等差數(shù)列，項也成等差數(shù)列。練習：等差數(shù)列的前n項和為25,前2n項和為100,則它的前3n和為。（答:225）（4）在等差數(shù)列an中，當項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶+5奇=S偶一與=%:5奇=；項數(shù)為奇數(shù)2n1時，S奇+&禺=,S0禺=；S奇：&禺=<練習：（1）在等差數(shù)列中，Sii=22,則a6=（答：2）；（2）項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列%中，奇數(shù)項和為80,偶數(shù)項和為75,求此數(shù)列的中間項與項數(shù)（答：5;31）.（5）若等差數(shù)列an、bn的前n和分別為Ai、Bn,且=f（n）,

5、則和=.Bnbn練習：設an與bn是兩個等差數(shù)列，它們的前n項和分別為Sn和Tn,若包=3n'：Tn4n-3那么包=（答：如二2）bn8n-7（6）首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項和的最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增等差數(shù)列中，前n項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組確定出前多少項為非負（或非正）；法二：因等差數(shù)列前n項是關于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化.一.,*為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性nwN。練習：（1）等差數(shù)列an中，a1=25,$9=67,問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大值。（答：前13項和最大，最大值為169）;（2）若自是等差數(shù)列，首項a10,a20

6、03'a2004>0,a2003鳧004<0,則使前n項和SnA0成立的最大正整數(shù)n是（答：4006）4 .等比數(shù)列的判斷方法：（1） 定義法：,其中q#0,an#0或（n之2）。如數(shù)列an中，Sn=4anj+1（n22）且a1=1,若bn=an由一2an，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列。（2）等比數(shù)列的通項法：或。如設等比數(shù)列an中，a1+an=66,1八、a2an=128,刖n項和Sn=126,求n和公比q.（答：n=6,q=或2）2（3）等比數(shù)列的前n和法：當q=1時，Sn=；當4#1時，Sn=。如等比數(shù)列中，q=2,S99=77,求a3+ae+a§9（答：44）

7、；特別提醒：等比數(shù)列前n項和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前n項和時，首先要判斷公比q是否為1,再由q的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比q是否為1時，要對q分q=1和q#1兩種情形討論求解。（4）等比中項：若a,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等比中項。提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個。如有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16,第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12,求此四個數(shù)。（答：15,9,3,1或0,4,8,16）5 .等比數(shù)列的性質(zhì)：（1）當m+n=p+q時，則有，特別地，當m+n=2p時，則有.如（1）

8、在等比數(shù)列an中，a3+a8=124,a4a7=512,公比q是整數(shù)，則a10=（答：512）；（2）各項均為正數(shù)白等比數(shù)列an中，若a5，a6=9,貝Ulog3al+log3a2+|+log3a10=（答:10）。*（2）若an是等比數(shù)列,則|an|、ap由q（p,qwN）、kan成等比數(shù)列；若an、bn成等比數(shù)列，則anbn、翁成等比數(shù)列；若an是等比數(shù)列，且公比q#-1,則數(shù)列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,也是等比數(shù)列如（1在等比數(shù)列作0中，Sn為其前n項和，若S30=13Si0,Sio+S30=140,則S20的值為（答：40）若a1A0,q>1,則an為數(shù)列；若a1M0,

9、q>1,則an為數(shù)列；若a1>0,0<q<1，則為為數(shù)列；若a1<0,0<q<1,則an為數(shù)列；若q<0,則烝為數(shù)列；若q=1,則an為數(shù)列.（4）當q=1時，Sn=二a_qn+工=aqn+b,這里a+b=0,但a=Qb#0,這是1一q1-q等比數(shù)列前n項和公式的一個特征，據(jù)此很容易根據(jù)Sn,判斷數(shù)列an是否為等比數(shù)列。如若4是等比數(shù)列，且&=3n+r,則r=（答：一1）5 5）Sm*=一如設等比數(shù)列an的公比為q,前n項和為&,若Sn+,Sn,SnH2成等差數(shù)列，則q的值為（答：一2）（6）在等比數(shù)列an中，當項數(shù)為偶數(shù)2n時，

10、；如果數(shù)列an既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列an是非零常數(shù)數(shù)列，如設數(shù)列心口的前n項和為Sn（nWN）,關于數(shù)列匕口有下列三個命題：若an=an由（nwn）,則、n既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；若Sn=an2+bn（a、bWR），則an是等差數(shù)列；若Sn=1-（-1）n,則Qn是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號是（答：）6 .數(shù)列的通項的求法：1111公式法：等差數(shù)列通項公式；等比數(shù)列通項公式。如已知數(shù)列3-，5-，7,9,4816321試與出其一個通項公式：（答：an=2n+1+n耳）已知Sn（即a1+a2中川+an=f（n）求an,用作差法：an=。如已知an的前n項和滿足log2（Sn

11、+1）=n+1,求an（答：%=§/=）；數(shù)列an滿足2,n211114n=1、丁+*2+lll+”an=2"5,求an(答：an=Mn之2)已知a1a23,tin=f(nWan,用作商法:f(1),(n=1)a1=«f(n)。如數(shù)列a。中,f(n-1),(一)若an書-an=f（n）求an用累加法:an=(an-an),(a房61、=(答：一)16n/一an_2)'IH，(a2一a1)2a1=1,對所有的n至2都有a1a2a3an=n，則a3+a5+仇（n>2）。如已知數(shù)列an滿足a=1,anan'=產(chǎn)（n之2）,則.n1.nan=（答：a

12、n=Jn+1_J2+1）已知生蟲=f（n）求an,用累乘法：an=-a-，亙苴川a2a1（n>2）o如已知數(shù)列anandan/為24、an中，a1=2,刖n項和Sn,右Sn=nan,求an（答：an=）n（n1）已知遞推關系求an,用構造法（構造等差、等比數(shù)列）。特別地，（1）形如an=kan/+b、an=kan'+bn（k,b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an。如已知a1=1,an=3an+2,求an（答：an=2|_3n1）；已知a1=1,an=3an+2n，求an（答：an=5012n*）；（2）形如an=的遞推anb.一a數(shù)列都可以用

13、倒數(shù)法求通項。如已知a1=1,an=an,求an（答：an=）；3%413n-2已知數(shù)列滿足a1=1,ja=jaa=，求an（答：an='2）n注意：（1）用an=Sn-Sn求數(shù)列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n±2,當n=1時，a1=&）；（2）一般地當已知條件中含有an與Sn的混合關系時，常需運用關系式an=Sn-Sn，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含小或Sn的關系式，然后再求解。如數(shù)列an滿足a1=4,Sn+Sn+=|an由，求an（答：an=41n/n之2）7 .數(shù)列求和的常用方法：（1）公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運用等比數(shù)列

14、求和公式，務必檢查其公比與1的關系，必要時需分類討論.；常用公式：1+2+3+IH+n=1n(n+1),12+22+|+n2=°n(n+1)(2n+1),26n.n.a.ij.nn(n+1)9n.13+23+33+川+n3=(2)2.如(1)等比數(shù)列an的前n項和s=21,則2.2.2一.一24-1a1+a24a3+an=(答：)；3(2)分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和.如求：&=1+35+7H|+(1)n(2n1)(答：(1)n,n)(3)倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相2關聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和.如已知f(x)=x”，則1x1一1一1“7、f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(-)+f(-)+f(-)=(答：二)2342(4)錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構成，那么常選用錯位相減法(這也是等比數(shù)列前n和公式的推導方法).如(1)設an為等比數(shù)列，Tn=na1+(n_1虺+川+2a0+a，已知工=1,T2=4,求數(shù)列a0的首項和公比；求數(shù)列Tn的通項公式.(答：a1=1,q=2；Tn=2nn2)；(5)裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差