第一章概率的基本概念

1、概概 率率 的的 基基 本本 概概 念念 第 一 章 第一節(jié)第一節(jié) 事件及其運算事件及其運算二、事件間的關系及運算二、事件間的關系及運算一、隨機事件的概念一、隨機事件的概念在給定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象在給定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象. . “太陽總是東升西落太陽總是東升西落”；1.確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象 “水總是從高處向低處流水總是從高處向低處流”。例如：例如：自然界所觀察到的現(xiàn)象自然界所觀察到的現(xiàn)象: 確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象 隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象一、隨機事件的概念一、隨機事件的概念在相同條件下重復某實驗，結果多樣且事先不能確在相同條件下重復某實驗，結果多樣且事先不能確稱為隨機現(xiàn)象

2、稱為隨機現(xiàn)象.實例實例1 “在相同條件下擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣在相同條件下擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,觀觀察正反兩面出現(xiàn)的情況察正反兩面出現(xiàn)的情況”.2. 隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象 “標準大氣壓下將水加熱至標準大氣壓下將水加熱至100度必然沸騰度必然沸騰” 等等.結果有可能結果有可能出現(xiàn)正面出現(xiàn)正面也可能也可能出現(xiàn)反面出現(xiàn)反面.確定性現(xiàn)象的特征確定性現(xiàn)象的特征: : 條件完全決定結果條件完全決定結果“同性電荷必然互斥同性電荷必然互斥”,定是哪種結果會發(fā)生，呈現(xiàn)出不確定性定是哪種結果會發(fā)生，呈現(xiàn)出不確定性.結果有可能為結果有可能為: “1”, “2”, “3”, “4”, “5” ,“6”. 實例實例3 “投擲

3、一枚骰子投擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點數(shù)觀察出現(xiàn)的點數(shù)”.實例實例2 “同一門炮向同一目同一門炮向同一目 標發(fā)射同一種炮彈多發(fā)標發(fā)射同一種炮彈多發(fā) , 觀觀察彈著點的情況察彈著點的情況”.結果結果: “彈著點會各不相同彈著點會各不相同”.2). 隨機現(xiàn)象的結果具有隨機現(xiàn)象的結果具有隨機性、偶然性隨機性、偶然性, 但在大但在大量重復試驗或觀察下量重復試驗或觀察下, 結果呈現(xiàn)出某種規(guī)律性即結果呈現(xiàn)出某種規(guī)律性即具有一定的具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性統(tǒng)計規(guī)律性 , 概率論與數(shù)理統(tǒng)計正是概率論與數(shù)理統(tǒng)計正是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學學科研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學學科.隨機現(xiàn)象是通過隨機試

4、驗來研究的隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的.問題問題 什么又是隨機試驗呢什么又是隨機試驗呢?說明說明1). 隨機現(xiàn)象揭示了條件和結果之間的非確定性隨機現(xiàn)象揭示了條件和結果之間的非確定性聯(lián)系聯(lián)系 , 其數(shù)量關系無法用函數(shù)來描述其數(shù)量關系無法用函數(shù)來描述.隨機現(xiàn)象的特征隨機現(xiàn)象的特征條件不能完全決定結條件不能完全決定結果果那么如何來研究隨機現(xiàn)象呢那么如何來研究隨機現(xiàn)象呢? a. 試驗可以在不變條件下重復地進行試驗可以在不變條件下重復地進行; b. 每次試驗的可能結果不盡相同每次試驗的可能結果不盡相同,并且事先并且事先 無法肯定出現(xiàn)哪種結果；無法肯定出現(xiàn)哪種結果； c. 進行試驗之前明確試驗的所有可能

5、結果進行試驗之前明確試驗的所有可能結果;1)定義定義: :具有以下三個特征的試驗稱為具有以下三個特征的試驗稱為隨機試驗隨機試驗.3.隨機試驗：隨機試驗：2)說明說明 1. 隨機試驗簡稱為試驗隨機試驗簡稱為試驗, 它只是概率術語它只是概率術語.其實它其實它包括各種各樣的科學實驗包括各種各樣的科學實驗, 也包括對客觀事物進也包括對客觀事物進行的行的 “調(diào)查調(diào)查”、“觀察觀察”或或 “測量測量” 等等等等.3)3)舉例：舉例： “投擲一枚質(zhì)地均投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣勻的硬幣,觀察正反面出觀察正反面出現(xiàn)的情況現(xiàn)的情況”.分析分析 2. 隨機試驗通常用隨機試驗通常用 “E” 來表示來表示.(1) 試驗可

6、以在試驗可以在相同的條件下重復地進行相同的條件下重復地進行;i.“投擲一枚骰子投擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)點數(shù)的情況觀察出現(xiàn)點數(shù)的情況”.ii.“從一批產(chǎn)品中從一批產(chǎn)品中,依次任選三件依次任選三件,記錄取得正品與次品的件數(shù)記錄取得正品與次品的件數(shù)”.同理可知下列試驗都為隨機試驗同理可知下列試驗都為隨機試驗(3) 試驗的所有可能結果試驗的所有可能結果:正面正面，反面，事先明確知到反面，事先明確知到,(2) 進行一次進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會試驗之前不能確定哪一個結果會出現(xiàn)出現(xiàn). 故為隨機試驗故為隨機試驗.4.4.幾個重要定義幾個重要定義: :樣本點：樣本點：對于隨機試驗對于隨機試驗E E，它

7、的每一個最基本的可能，它的每一個最基本的可能結果稱為樣本點（基本事件），結果稱為樣本點（基本事件），用表示表示。復合事件：復合事件：由若干個基本事件組合而成的集合稱為由若干個基本事件組合而成的集合稱為復合事件。復合事件。用A,B,C,A,B,C,表示表示。樣本空間樣本空間: :所有樣本點構成的全集合稱為所有樣本點構成的全集合稱為E E的樣本空的樣本空間間，用 表示。表示。我們規(guī)定：在隨機試驗規(guī)定條件下必然出現(xiàn)的事件為我們規(guī)定：在隨機試驗規(guī)定條件下必然出現(xiàn)的事件為必然事件必然事件, ,用 表示表示; ; 必然不出現(xiàn)的事件為必然不出現(xiàn)的事件為不可能事件不可能事件，用用 表示。表示。隨機事件隨機事件

8、 隨機試驗隨機試驗 E 的樣本空間的樣本空間 的子集的子集(或某或某些樣本點的子集），稱為些樣本點的子集），稱為 E 的隨機事件的隨機事件, 簡稱事件簡稱事件.試驗中試驗中,骰子骰子“出現(xiàn)出現(xiàn)1點點”, “出現(xiàn)出現(xiàn)2點點”, ,“出出現(xiàn)現(xiàn)6點點”,它們是最基本的結果。它們是最基本的結果?！包c數(shù)為偶數(shù)或為奇數(shù)點數(shù)為偶數(shù)或為奇數(shù)” 等都為復合事件等都為復合事件.例例題題 拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點數(shù)觀察出現(xiàn)的點數(shù).并寫出試驗寫出試驗的樣本點的樣本點, 樣本空間樣本空間, 基本事件基本事件,事件事件A出現(xiàn)出現(xiàn)偶數(shù)偶數(shù), 事件事件B出現(xiàn)奇數(shù)出現(xiàn)奇數(shù) 分析：分析：i; 6, 1,ii,65

9、4321 解：解：用用 表示擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)為表示擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)為 基本事件基本事件 ; 6 , 2 , 1, iiAii ;,642 A.,531 B5.5.小結小結隨機現(xiàn)象的特征隨機現(xiàn)象的特征:1)條件不能完全決定結果條件不能完全決定結果.2) 隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的. (1) 可以在相同的條件下重復地進行可以在相同的條件下重復地進行;(2) 每次試驗的可能結果不止一個每次試驗的可能結果不止一個, 并且能事并且能事 先明確試驗的所有可能結果先明確試驗的所有可能結果;(3) 進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會 出現(xiàn)

10、出現(xiàn). 隨隨機機試試驗驗3)3)隨機試驗、樣本空間與隨機事件的關系隨機試驗、樣本空間與隨機事件的關系 每一個隨機試驗相應地有一個樣本空間每一個隨機試驗相應地有一個樣本空間, 樣樣本空間的子集就是隨機事件本空間的子集就是隨機事件.隨機試驗隨機試驗樣本空間樣本空間 子集子集隨機事件隨機事件必然事件不可能事件是兩個特殊的必然事件不可能事件是兩個特殊的 隨機事件隨機事件對應對應唯一唯一.),( , , ,的子集是而的樣本空間為設試驗21 kABAEk 1)包含關系包含關系若事件若事件 A 出現(xiàn)必然導致出現(xiàn)必然導致 B 出現(xiàn)出現(xiàn) ,則稱事件則稱事件 B 包含事件包含事件 A,記記作作.BAAB 或或?qū)嵗?/p>

11、實例 “長度不合格長度不合格” 必然導致必然導致 “產(chǎn)品不合產(chǎn)品不合格格”所以所以“產(chǎn)品不合格產(chǎn)品不合格”包含包含“長度不合格長度不合格”.圖示圖示 B 包含包含 A. BA二、隨機事件間的關系及運算二、隨機事件間的關系及運算1. .隨機事件間的關系隨機事件間的關系2)2)相等關系相等關系 若事件若事件A包含事件包含事件B,而且事件而且事件B包含包含事件事件A, 則稱事件則稱事件A與事件與事件B相等相等,記作記作 A=B.1) 事件的和事件的和(并并).|BA. ,BeAeeBABABABA或顯然，或記作的與事件稱為事件個事件至少發(fā)生一個”也是一“二事件和和事事件件圖示事件圖示事件 A 與與

12、B 的并的并. BA2. .隨機事件間的運算隨機事件間的運算實例實例 假設假設某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與直徑是否合格所決定與直徑是否合格所決定,因此因此 “產(chǎn)品不合格產(chǎn)品不合格”是是“長度不合格長度不合格”與與“直徑不合格直徑不合格”的并的并.;, , , , 21211至少發(fā)生一個即的和事件個事件為稱nniniAAAAAAnA., , ,21211至少發(fā)生一個即的和事件為可列個事件稱AAAAAii推廣推廣2) 事件的交事件的交 (積積).AB積事件也可記作.| ,BeAeeBABABABA 且且，顯顯然然記記作作的的與與事事件件事事件件稱稱為為也也

13、是是一一個個事事件件同同時時發(fā)發(fā)生生二二事事件件積積事事件件, ,圖示為事件圖示為事件A與與B 的積的積事件事件. AB AB實例實例 某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度 與直徑是否合格所決定與直徑是否合格所決定,因此因此“產(chǎn)品合格產(chǎn)品合格”是是“長度合格長度合格”與與“直徑合格直徑合格”的交或積事件的交或積事件.;, , , ,21211同時發(fā)生即的積事件個事件為稱nnnkkAAAAAAnA., , ,21211同時發(fā)生即的積事件為可列個事件稱AAAAAkk推廣推廣3)3)事件事件的的互斥互斥(互不相容互不相容) 若事件若事件 A 、B 滿足滿足則稱事件則稱

14、事件 A與與B互斥或互不相容互斥或互不相容. ABBA實例實例1 拋擲一枚硬幣拋擲一枚硬幣, “出現(xiàn)數(shù)字出現(xiàn)數(shù)字” 與與 “出現(xiàn)國出現(xiàn)國徽徽” 是互斥的兩個事件是互斥的兩個事件.圖示圖示 A與與B互互斥斥 AB“骰子出現(xiàn)骰子出現(xiàn)1點點” “骰子出現(xiàn)骰子出現(xiàn)2點點”互斥互斥實例實例2 拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點數(shù)觀察出現(xiàn)的點數(shù) . 。斥則稱事件組中任意兩個均互，若事件組兩兩兩兩互互斥斥nAAA , , ,21事件組骰子事件組骰子“出現(xiàn)出現(xiàn)1點點”, “出現(xiàn)出現(xiàn)2”, ,“出現(xiàn)出現(xiàn)6點點”兩兩互斥兩兩互斥。若事件若事件 A 、B 滿足滿足則稱則稱 A 與與B 為為互逆互逆(或?qū)α⒒驅(qū)?/p>

15、立)事件事件. A 的對立事件的對立事件記作記作.A實例實例 “骰子出現(xiàn)骰子出現(xiàn)2點點” “骰子不出現(xiàn)骰子不出現(xiàn)2點點”圖示圖示 A 與與 B 的對立的對立. BA . ABBA且A4) 事件的互逆（對立）事件的互逆（對立）對立對立對立事件與互斥事件的區(qū)別和聯(lián)系對立事件與互斥事件的區(qū)別和聯(lián)系 ABABA A、B 對立對立A、B 互斥互斥AB不但,AB只需互互 斥斥對對 立立因此：因此： .BA而且5) 事件的差事件的差圖示圖示 A 與與 B 的差的差 AB BAB AB BA BA 實例實例 “長度合格但直徑不合格長度合格但直徑不合格”是是“長度合格長度合格” 與與“直徑合格直徑合格”的差的差

16、.A事件事件 A 發(fā)生而發(fā)生而 B 不發(fā)生，稱為事件不發(fā)生，稱為事件 A 與與 B 的的差事件差事件. 記作記作 A- - B.AA,BAB-A:顯然有3.事件間的運算規(guī)律事件間的運算規(guī)律.,)1(BAABABBA 交交換換律律),()()2(CBACBA 結結合合律律)()()() 3(CABACBA分分配配律律.,BABABABA: :( (4 4) )對對偶偶公公式式則則有有為為事事件件設設 ,CBA).()(CBACBA)()()(CBCACBAniiniiniiniiAAAA1111, 例例1 設設A,B,C 表示三個隨機事件表示三個隨機事件, ,試將下列事試將下列事件件用用A,B,C 表示出來表示出來. .(1) A 出現(xiàn)出現(xiàn) , B, C 不出現(xiàn)不出現(xiàn);(5) 三個事件都不出