系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)卷積積分學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1第一頁，共38頁。38系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)卷積積分 37節(jié)討論(toln)了周期激勵作用下系統(tǒng)的響應(yīng)。在不考慮初始階段的瞬態(tài)振動時，它是穩(wěn)態(tài)的周期振動。但在許多實際問題中，激勵并非是周期函數(shù)，而是任意的時間函數(shù)，或者是在極短時間間隔內(nèi)的沖擊作用。例如，列車在啟動時各車廂掛鉤之間的沖擊力；火炮在發(fā)射時作用于支承結(jié)構(gòu)的反作用力；地震波以及強(qiáng)烈爆炸形成的沖擊波對房屋建筑的作用；精密儀表在運輸過程中包裝箱速度(大小與方向)的突變等。第1頁/共37頁第二頁，共38頁。在這種激勵情況下，系統(tǒng)通常沒有穩(wěn)態(tài)振動，而只有(zhyu)瞬態(tài)振動。在激勵停止作用后，振動系統(tǒng)將按固有頻率進(jìn)行自由振動。但只要激勵

2、持續(xù)，即使存在阻尼，由激勵產(chǎn)生的響應(yīng)也將會無限地持續(xù)下去。系統(tǒng)在任意激勵作用下的振動狀態(tài)，包括激勵作用停止后的自由振動，稱為任意激勵的響應(yīng)，周期激勵是任意激勵的一種特例。第2頁/共37頁第三頁，共38頁。 有多種方法可以確定系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)，這取決于描述激勵函數(shù)的方式。一種方法是用傅里葉積分來表示激勵，它是由傅里葉級數(shù)通過令周期趨近于無窮大的極限過程來得到的。所以，實質(zhì)上激勵不再是周期的。另一種方法是將激勵視為持續(xù)時間非常短的脈沖的疊加，引用卷積積分的方法，對具有任何非齊次項的微分方程，都用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)(shxu)形式把解表示出來，而且所得到的解除代表強(qiáng)迫振動外，還包括伴隨發(fā)生的自由振動。第

3、3頁/共37頁第四頁，共38頁。 1脈沖響應(yīng) 一單位脈沖輸入，具有零初始條件的系統(tǒng)響應(yīng)，稱為(chn wi)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。 寬度T0、高度lT0的矩形脈沖，如圖所示。這個矩形脈沖的面積為1，為了得到單位脈沖，使脈沖寬度T0接近于零，而保持面積為1，在極限情況下，單位脈沖的數(shù)學(xué)定義為第4頁/共37頁第五頁，共38頁。這個脈沖發(fā)生在t=O處，如圖所示。如果單位(dnwi)脈沖發(fā)生在t=a處，則它可由下式定義注意(zh y)，(t-a)是一個沿著時間軸正向移動了a時間的單位脈沖。第5頁/共37頁第六頁，共38頁。 具有上述特性的任何函數(shù)(并不一定是矩形脈沖)，都可用來作為一個脈沖，稱為函數(shù)。數(shù)學(xué)上

4、，單位脈沖必須具有零脈沖寬度、單位面積和無限的高度。這樣的脈沖模型不可能在現(xiàn)實應(yīng)用中實現(xiàn)，然而在具體系統(tǒng)的脈沖試驗中，若激勵的持續(xù)時間同系統(tǒng)的固有周期(T=1f)相比非常的短，則激勵就可以(ky)考慮為一個脈沖。函數(shù)的單位為s-1，在其他方面的情況，函數(shù)將有不同的量綱。第6頁/共37頁第七頁，共38頁。 如果在t=0與t=a處分別作用有瞬時沖量 ，則對應(yīng)的脈沖力可方便地寫成式中 的單位為Ns。 現(xiàn)在來研究單自由度阻尼系統(tǒng)對脈沖力 的響應(yīng)，系統(tǒng)振動微分方程為假定系統(tǒng)在脈沖力 作用之前處于靜止，即第7頁/共37頁第八頁，共38頁。由于 作用在t=0處，對于t0+，系統(tǒng)不再受脈沖力的作用，但其影響依

5、然存在。另外，系統(tǒng)對于零初始條件的響應(yīng)，將變成t=O+時的初始條件引起的自由振動。為了(wi le)找出t=0+時的初始條件，對方程在區(qū)間(q jin)0-tO+上積分兩次，有因為(yn wi)第8頁/共37頁第九頁，共38頁。則方程(fngchng)的右端積分兩次為無限小量，可以略去不計。又因為位移(wiy)x為有限值，所以方程左端第二項和第三項的積分值是無限小量或高一階的無限小量，同樣近似取為零?？紤]到x(O-)=0，則有也就是說，在脈沖力 作用的極短時間內(nèi)，質(zhì)量m還來不及發(fā)生位移。第9頁/共37頁第十頁，共38頁。在區(qū)間(q jin)0-tO+上積分一次，有現(xiàn)在(xinzi)，只對方程

6、同理，上面方程的右端為 ，左端的第二項為零，而第三項可以忽略不計，得 可見，若系統(tǒng)在脈沖力作用之前靜止，脈沖力使速度產(chǎn)生瞬時變化，則可以認(rèn)為在t=0時作用的脈沖力等效于初始位移x(0)=0和初始速度 的初始干擾作用，第10頁/共37頁第十一頁，共38頁。所以(suy)方程等價于初始條件引起(ynq)的自由振動，即其解為令 ，則系統(tǒng)受單位脈沖力F(t)=(t)作用，其響應(yīng)稱為脈沖響應(yīng)，即第11頁/共37頁第十二頁，共38頁。第12頁/共37頁第十三頁，共38頁。2卷積積分 利用脈沖響應(yīng)，可以計算振動系統(tǒng)對任意激勵函數(shù)F(t)的響應(yīng)，把F(t)視為一系列幅值不等的脈沖，用脈沖序列近似地代替激勵F(

7、t)，如圖所示，脈沖的強(qiáng)度由脈沖的面積確定(qudng)，在任意時刻t=處，相應(yīng)的時間增量為，有一個大小為F()的脈沖，相應(yīng)的力的數(shù)學(xué)表達(dá)為F()(t-)。因為在t=處對脈沖的響應(yīng)為h(t-)，所以脈沖F()(t-)的響應(yīng)為其單位脈沖響應(yīng)和脈沖強(qiáng)度的乘積，即F()h(t-)。通過疊加，求出序列中每一脈沖引起的響應(yīng)的總和為第13頁/共37頁第十四頁，共38頁。第14頁/共37頁第十五頁，共38頁。令0，并取極限(jxin)，上式表示為積分形式上式稱為卷積積分，又稱為杜哈梅(Duhamel)積分，它將響應(yīng)(xingyng)表示成脈沖響應(yīng)(xingyng)的疊加。這里h(t-)是將方程中h（t）的t

8、用t-代替后得到的。因而，將方程中h（t）的t換成t-后代入上面方程，得到第15頁/共37頁第十六頁，共38頁。上式表示單自由度有阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)對任意激勵F(t)的響應(yīng)。要注意的是，上面方程是在零初始(ch sh)條件下，對于輸入F(t)得到的系統(tǒng)輸出x(t)。若在t=0時，任意激勵F(t)作用的瞬時，系統(tǒng)的初始(ch sh)位移和初始(ch sh)速度為則系統(tǒng)(xtng)的響應(yīng)是由激勵和初始條件引起的響應(yīng)的疊加，即第16頁/共37頁第十七頁，共38頁。積分式中的脈沖響應(yīng)被推遲或移動了時間(shjin)t-，也可以移動激勵函數(shù)F(t)來代替脈沖響應(yīng)的移動而導(dǎo)出一個相似的式子。令t-=u則-

9、dr=du，此外考慮式中的積分限界，當(dāng)=0時，u=t，當(dāng)=t時，u=0，將其代入式中，得到式上式為卷積積分的另一種表達(dá)形式。式中的和式中的u只是積分變量，可見卷積積分對于激勵(jl)F(t)和脈沖響應(yīng)h(t)是對稱的，即第17頁/共37頁第十八頁，共38頁。 卷積積分在線性系統(tǒng)研究中是一個有力的工具(gngj)。雖然式不便于筆算，但是(dnsh)用計算機(jī)可以容易地進(jìn)行計算。第18頁/共37頁第十九頁，共38頁。例38-1設(shè)一單自由度無阻尼系統(tǒng)受到的簡諧激勵(jl)如下：試用卷積積分(jfn)計算其響應(yīng)。解：在方程(fngchng)中，令=0，d=n，則第19頁/共37頁第二十頁，共38頁。為當(dāng)

10、tO時沒有激勵，所以其響應(yīng)(xingyng)應(yīng)該寫成下面的形式上式右端第一項代表強(qiáng)迫振動，它是按激勵頻率進(jìn)行的穩(wěn)態(tài)運動，即使振動系統(tǒng)有阻尼也并不衰減；第二項是按固有頻率n進(jìn)行的自由振動，只要振動有極微小的阻尼就會迅速衰減，所以是瞬態(tài)振動。應(yīng)用卷積積分(jfn)，則穩(wěn)態(tài)振動與瞬態(tài)振動可同時得出。第20頁/共37頁第二十一頁，共38頁。例3.82 試確定單自由度無阻尼系統(tǒng)(xtng)在零初始條件下對圖中激勵函數(shù)的響應(yīng)。 解：由圖可得激勵函數(shù)為 由方程(fngchng) 得到(d do)第21頁/共37頁第二十二頁，共38頁。第22頁/共37頁第二十三頁，共38頁。例3.83 如圖所示為一質(zhì)量彈簧系

11、統(tǒng)，箱子由高h(yuǎn)處靜止自由下落，當(dāng)箱子觸到地面時，試求傳遞到質(zhì)量m上的最大力是多少?假定(jidng)質(zhì)量m和箱子之間有足夠的間隙，不會碰撞。 解：設(shè)x與y分別代表質(zhì)量m與箱子的絕對位移，在自由下落(xilu)過程中，質(zhì)量m的運動微分方程為以z=x-y代表質(zhì)量m相對于箱子(xing zi)的相對位移，有第23頁/共37頁第二十四頁，共38頁。式中 假定箱子的質(zhì)量遠(yuǎn)大于質(zhì)量m，因而可以認(rèn)為質(zhì)量m的運動不影響箱子的自由(zyu)下落。由于箱子是由高h(yuǎn)處自由(zyu)下落，故有由卷積積分(jfn)有第24頁/共37頁第二十五頁，共38頁。因而(yn r)這就是(jish)在箱子著地前質(zhì)量m相對于箱子的

12、位移與速度。設(shè)箱子(xing zi)著地的瞬時為t1，由自由落體知就在瞬時t1之前，質(zhì)量m的相對位移和相對速度為第25頁/共37頁第二十六頁，共38頁。同時箱子(xing zi)的速度為由于箱子著地后即靜止在地面(dmin)上，不回跳。在箱子著地的瞬間，質(zhì)量m相對箱子的位移與速度分別為第26頁/共37頁第二十七頁，共38頁。改取瞬時t1為初始瞬時，則箱子(xing zi)著地后質(zhì)量m相對箱子(xing zi)作自由振動，其相對運動方程為式中第27頁/共37頁第二十八頁，共38頁。通過彈簧傳遞到質(zhì)量(zhling)m上的最大力等于kA，即3單位階躍響應(yīng) 作為卷積積分的一種應(yīng)用(yngyng)，現(xiàn)

13、在來計算單自由度阻尼系統(tǒng)對單位階躍函數(shù)的響應(yīng)。如圖所示的單位階躍函數(shù)在數(shù)學(xué)(shxu)上可以定義為第28頁/共37頁第二十九頁，共38頁。顯然，函數(shù)在t=a處有一突變，其值從O跳到1。如果突變發(fā)生于t=0處，那么這一函數(shù)可以簡單地寫成u(t)。單位(dnwi)階躍函數(shù)是無量綱的函數(shù)。于是當(dāng)一個任意函數(shù)F(t)與單位(dnwi)階躍函數(shù)u(t-a)相乘時，F(xiàn)(t)u(t-a)相對于ta的部分則不受影響，即 單位階躍函數(shù)(hnsh)u(t-a)與脈沖函數(shù)(hnsh)(t-a)之間存在著密切的關(guān)系，即第29頁/共37頁第三十頁，共38頁。反過來，則(t-a)可以(ky)視為u(t-a)對時間的導(dǎo)數(shù)，

14、即當(dāng)初始條件為零時(ln sh)，系統(tǒng)對在t=0處所作用的單位階躍函數(shù)u(t)的響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，用g(t)表示。將F()=u()代入卷積積分(jfn)，可得單位階躍響應(yīng)考慮到第30頁/共37頁第三十一頁，共38頁。因而積分可以(ky)改寫成令t-=a，d=-da，并互換積分(jfn)的限界后，積分(jfn)成為作一些(yxi)代數(shù)運算后，并注意到方程簡化為第31頁/共37頁第三十二頁，共38頁。式中單位階躍函數(shù)u(t)表明t0時g(t)=0。g(t)對t的曲線如圖所示。上式也可以(ky)變換為式中第32頁/共37頁第三十三頁，共38頁。這說明突加單位力不僅使彈簧產(chǎn)生靜變形1/k，

15、同時使系統(tǒng)發(fā)生振幅為的 衰減運動。若忽略阻尼不計，即=0，d=n，則單位階躍響應(yīng)為第33頁/共37頁第三十四頁，共38頁。可見(kjin)彈簧最大變形為2/k，等于靜變形的兩倍。例3.84 試用單位階躍函數(shù)的概念計算(j sun)單自由度無阻尼系統(tǒng)對圖所示的矩形脈沖的響應(yīng)x(t)。 解：圖所描述(mio sh)的函數(shù)F(t)可以方便地用單位階躍函數(shù)來表示：第34頁/共37頁第三十五頁，共38頁。根據(jù)(gnj)單自由度無阻尼系統(tǒng)對在t=O處所作用的單位階躍函數(shù)的響應(yīng)式可以把u(t+T)的響應(yīng)表示為g(t+T)，這只要在方程中用t+T代替(dit)t后就可得到。同樣，對u(t-T)的響應(yīng)表示為g(t-T)。因而系統(tǒng)對F(t)的響應(yīng)就成為x(t)對t的曲線(qxin)如圖所示。第35頁/共37頁第三十六頁，共38頁。第36頁/共37頁第三十七頁，共38頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)會計學(xué)。有多種方法可以確