變量間的相關(guān)關(guān)系0

1、n相關(guān)是有關(guān)還是無關(guān)？問題提出問題提出1.1.函數(shù)是研究兩個變量之間的依存關(guān)系函數(shù)是研究兩個變量之間的依存關(guān)系的一種數(shù)量形式的一種數(shù)量形式. .對于兩個變量，如果對于兩個變量，如果當(dāng)一個變量的取值一定時，另一個變量當(dāng)一個變量的取值一定時，另一個變量的取值被惟一確定，則這兩個變量之間的取值被惟一確定，則這兩個變量之間的關(guān)系就是一個的關(guān)系就是一個函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系. .2.2.在中學(xué)校園里，有這樣一種說法：在中學(xué)校園里，有這樣一種說法：“如果你的數(shù)學(xué)成績好，那么你的物理如果你的數(shù)學(xué)成績好，那么你的物理學(xué)習(xí)就不會有什么大問題學(xué)習(xí)就不會有什么大問題.”.”按照這種說按照這種說法，似乎學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)

2、成績之法，似乎學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績之間存在著某種關(guān)系，我們把數(shù)學(xué)成績和間存在著某種關(guān)系，我們把數(shù)學(xué)成績和物理成績看成是兩個變量，那么這兩個物理成績看成是兩個變量，那么這兩個變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？3.3.我們不能通過一個人的數(shù)學(xué)成績是我們不能通過一個人的數(shù)學(xué)成績是多少就準確地斷定其物理成績能達到多少就準確地斷定其物理成績能達到多少，學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)時間、教學(xué)水多少，學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)時間、教學(xué)水平等，也是影響物理成績的一些因素，平等，也是影響物理成績的一些因素，但這兩個變量是有一定關(guān)系的，它們但這兩個變量是有一定關(guān)系的，它們之間是一種之間是一種不確定性不確定性的關(guān)

3、系的關(guān)系. .類似于類似于這樣的兩個變量之間的關(guān)系，有必要這樣的兩個變量之間的關(guān)系，有必要從理論上作些探討，如果能通過數(shù)學(xué)從理論上作些探討，如果能通過數(shù)學(xué)成績對物理成績進行合理估計，將有成績對物理成績進行合理估計，將有著非常重要的現(xiàn)實意義著非常重要的現(xiàn)實意義. .知識探究（一）：知識探究（一）：變量之間的相關(guān)關(guān)系變量之間的相關(guān)關(guān)系思考思考1 1：考察下列問題中兩個變量之間的考察下列問題中兩個變量之間的關(guān)系：關(guān)系：（1 1）商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費；）商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費；（2 2）糧食產(chǎn)量與施肥量；）糧食產(chǎn)量與施肥量；（3 3）人體內(nèi)的脂肪含量與年齡）人體內(nèi)的脂肪含量與年齡. . 這些

4、問題中兩個變量之間的關(guān)系是函這些問題中兩個變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？數(shù)關(guān)系嗎？ 思考思考2 2：“名師出高徒名師出高徒”可以解釋為教師可以解釋為教師的水平越高，學(xué)生的水平就越高，那么的水平越高，學(xué)生的水平就越高，那么學(xué)生的學(xué)業(yè)成績與教師的教學(xué)水平之間學(xué)生的學(xué)業(yè)成績與教師的教學(xué)水平之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？你能舉出類似的的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？你能舉出類似的描述生活中兩個變量之間的這種關(guān)系的描述生活中兩個變量之間的這種關(guān)系的成語嗎？成語嗎？思考思考3 3：上述兩個變量之間的關(guān)系是一種上述兩個變量之間的關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，稱之為非確定性關(guān)系，稱之為相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系，那么，那么相關(guān)關(guān)系的含義如何？相

5、關(guān)關(guān)系的含義如何？ 自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系，叫做相關(guān)關(guān)隨機性的兩個變量之間的關(guān)系，叫做相關(guān)關(guān)系系. .2.不同點：不同點：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系；函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系； 而相關(guān)關(guān)系是一種而相關(guān)關(guān)系是一種非確定非確定關(guān)系關(guān)系.相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點：1.相同點：相同點：均是指均是指兩個變量兩個變量的關(guān)系的關(guān)系兩個變量之間產(chǎn)生相關(guān)關(guān)系的原因是受許多不確兩個變量之間產(chǎn)生相關(guān)關(guān)系的原因是受許多不確定的定的隨機因素隨機因素的影響。的影響。需要通過需要通過樣本樣本來判斷變量之間是否存在相關(guān)

6、關(guān)系來判斷變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系理論遷移理論遷移例例1 1 在下列兩個變量的關(guān)系中，哪些是在下列兩個變量的關(guān)系中，哪些是相關(guān)關(guān)系？相關(guān)關(guān)系？正方形邊長與面積之間的關(guān)系；正方形邊長與面積之間的關(guān)系；作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系；作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系；人的身高與年齡之間的關(guān)系；人的身高與年齡之間的關(guān)系；降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系系. .【問題問題】 在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù) 其中各年齡對應(yīng)的脂肪數(shù)據(jù)是這個年齡其中各年齡對應(yīng)的脂肪數(shù)據(jù)是這個

7、年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù)人群脂肪含量的樣本平均數(shù). .年年齡齡2323272739394141454549495050脂脂肪肪9.59.517.17.8 821.21.2 225.25.9 927.27.5 526.26.3 328.28.2 2知識探究（二）：兩個知識探究（二）：兩個變量的線性相關(guān)變量的線性相關(guān)思考思考1 1：觀察上表中的數(shù)據(jù)，大體上看，觀察上表中的數(shù)據(jù)，大體上看，隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化？化？年齡年齡 2323272739394141454549495050脂肪脂肪 9.59.517.817.8 21.221.2 25.92

8、5.9 27.527.5 26.326.3 28.228.2年齡年齡 5353545456565757585860606161脂肪脂肪 29.629.6 30.230.2 31.431.4 30.830.8 33.533.5 35.235.2 34.634.6思考思考2 2：為了確定年齡和人體脂肪含量之間的為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更明確的關(guān)系，我們需要對數(shù)據(jù)進行分析，更明確的關(guān)系，我們需要對數(shù)據(jù)進行分析，通過作圖可以對兩個變量之間的關(guān)系有一個通過作圖可以對兩個變量之間的關(guān)系有一個直觀的印象直觀的印象. .以以x x軸表示年齡，軸表示年齡，y y軸表示脂肪含軸表示脂肪含量，量，你能在直角

9、坐標系中描出樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)你能在直角坐標系中描出樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的圖形嗎？的圖形嗎？ 年齡年齡 2323272739394141454549495050脂肪脂肪 9.59.517.817.8 21.221.2 25.925.9 27.527.5 26.326.3 28.228.2年齡年齡 5353545456565757585860606161脂肪脂肪 29.629.6 30.230.2 31.431.4 30.830.8 33.533.5 35.235.2 34.634.6051015202530354020253035404550556065年齡脂肪含量思考思考3 3：上圖叫做上圖叫做散點圖散點

10、圖，你能描述一，你能描述一下散點圖的含義嗎？下散點圖的含義嗎？ 在平面直角坐標系中，表示具有相關(guān)關(guān)系在平面直角坐標系中，表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱為散點圖的兩個變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱為散點圖. . 思考思考4 4：觀察散點圖的大致趨勢，人的觀察散點圖的大致趨勢，人的年齡的與人體脂肪含量具有什么相關(guān)關(guān)年齡的與人體脂肪含量具有什么相關(guān)關(guān)系？系？ 思考思考5 5：在上面的散點圖中，這些點散布在在上面的散點圖中，這些點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)正相關(guān). .一般一般地，如果

11、兩個變量成正相關(guān)，那么這兩個變地，如果兩個變量成正相關(guān)，那么這兩個變量的變化趨勢如何？量的變化趨勢如何？ 思考思考6 6：如果兩個變量成負相關(guān)，從整如果兩個變量成負相關(guān)，從整體上看這兩個變量的變化趨勢如何？其體上看這兩個變量的變化趨勢如何？其散點圖有什么特點？散點圖有什么特點？ 一個變量隨另一個變量的變大而變一個變量隨另一個變量的變大而變小，散點圖中的點散布在從左上角到右小，散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域下角的區(qū)域. .思考思考7 7：你能列舉一些生活中的變量你能列舉一些生活中的變量成正相關(guān)或負相關(guān)的實例嗎成正相關(guān)或負相關(guān)的實例嗎? ? 如高原含氧量與海如高原含氧量與海拔高度的相關(guān)關(guān)

12、系，海拔高度的相關(guān)關(guān)系，海平面以上，海拔高度越平面以上，海拔高度越高，含氧量越少。高，含氧量越少。 作出散點圖發(fā)現(xiàn)，它作出散點圖發(fā)現(xiàn)，它們散布在從左上角到右們散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)。又如汽下角的區(qū)域內(nèi)。又如汽車的載重和汽車每消耗車的載重和汽車每消耗1升汽油所行使的平均路升汽油所行使的平均路程，稱它們成程，稱它們成負相關(guān)負相關(guān).O 我們再觀察它的圖像發(fā)現(xiàn)這些點大致分布在一條我們再觀察它的圖像發(fā)現(xiàn)這些點大致分布在一條直線附近直線附近,像這樣，像這樣，如果散點圖中點的分布從整體上如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間，我們就稱這兩個變量之

13、間具有線性相關(guān)關(guān)系具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫做這條直線叫做回歸直線回歸直線，該直線，該直線叫叫回歸方程回歸方程。202530 35 4045 50 55 60 65年齡年齡脂肪含量脂肪含量0510152025303540 那么，我們該那么，我們該怎樣來求出這個怎樣來求出這個回歸方程？請同回歸方程？請同學(xué)們展開討論，學(xué)們展開討論，能得出哪些具體能得出哪些具體的方案？的方案？. 方案方案1、先畫出一條直線，測量出各點、先畫出一條直線，測量出各點與它的距離，再移動直線，到達一個使距與它的距離，再移動直線，到達一個使距離的和最小時，測出它的斜率和截距，得離的和最小時，測出它的斜率和截距，得回歸方程。

14、回歸方程。202530 35 4045 50 55 60 65年齡年齡脂肪含量脂肪含量0510152025303540. 方案方案2、在圖中選兩點作直線，使直線、在圖中選兩點作直線，使直線兩側(cè)的點的個數(shù)基本相同。兩側(cè)的點的個數(shù)基本相同。 202530 35 4045 50 55 60 65年齡年齡脂肪含量脂肪含量0510152025303540 方案方案3、如果多取幾對點，確定多條直線，再、如果多取幾對點，確定多條直線，再求出這些直線的斜率和截距的平均值作為回歸直求出這些直線的斜率和截距的平均值作為回歸直線的斜率和截距。而得回歸方程。線的斜率和截距。而得回歸方程。202530 35 4045

15、50 55 60 65年齡年齡脂肪含量脂肪含量0510152025303540 我們還可以找到更多的方法，但這些方法都我們還可以找到更多的方法，但這些方法都可行嗎可行嗎?科學(xué)嗎？準確嗎？怎樣的方法是最好的？科學(xué)嗎？準確嗎？怎樣的方法是最好的？ 我們把由一個變量的變化去推測另一個變量的我們把由一個變量的變化去推測另一個變量的方法稱為方法稱為回歸方法。回歸方法。 我們上面給出的幾種方案可靠性都不是很強，我們上面給出的幾種方案可靠性都不是很強，人們經(jīng)過長期的實踐與研究，已經(jīng)找到了計算回人們經(jīng)過長期的實踐與研究，已經(jīng)找到了計算回歸方程的斜率與截距的一般公式歸方程的斜率與截距的一般公式:1122211(

16、)(),()nniiiiiinniiiix x y yxnxybx xxnxa y bxy=-=-= -邋邋 以上公式的推導(dǎo)較復(fù)雜，故不作推導(dǎo)，以上公式的推導(dǎo)較復(fù)雜，故不作推導(dǎo)，但它的原理較為簡單：即各點到該直線的距但它的原理較為簡單：即各點到該直線的距離的平方和最小，這一方法叫離的平方和最小，這一方法叫最小二乘法最小二乘法。（參看如書（參看如書P88-89）探究一的散點圖探究一的散點圖1 1對于兩個變量之間的關(guān)系，有函數(shù)關(guān)系對于兩個變量之間的關(guān)系，有函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系兩種，其中函數(shù)關(guān)系是一種確和相關(guān)關(guān)系兩種，其中函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系定性關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系. .3.3.一般情況下兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系一般情況下兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系成正相關(guān)或負相關(guān)，類似于函數(shù)的單調(diào)成正相關(guān)或負相關(guān)，類似于函數(shù)的單調(diào)性性. .2 2散點圖能直觀反映兩個相關(guān)變量之散點圖能直觀反映兩個相關(guān)變量之間的大致變化趨勢，利用計算機作散點間的大致變化