電磁場與電磁波課件第4章

1、第4章 時變電磁場李婷主要內(nèi)容n波動方程n矢量位和標量位n能流密度矢量n時諧電磁場n波動方程 wave equation n時諧場 time-harmonic fieldn周期函數(shù) cycle/period functionn能流密度矢量（坡印廷矢量） energy flow density vector (Poynting vector)兩邊取旋度4.1 4.1 波動方程波動方程00tt EHHEHEt EH2t EEH得得2220tEE電場電場E的波動方程的波動方程同理同理2220tHH磁場磁場H的波動方程的波動方程得得2 EEE將矢量恒等式考慮均勻無耗媒質(zhì)的無源區(qū)域（考慮均勻無耗媒質(zhì)的無

2、源區(qū)域（）的麥克斯韋方程為）的麥克斯韋方程為000，J式中式中2為拉普拉斯算子，在直角坐標系中為拉普拉斯算子，在直角坐標系中2222222xyz 而而波動方程波動方程在在直角坐標系直角坐標系中可分解為三個標量方程中可分解為三個標量方程222222220 xxxxEEEExyzt222222220yyyyEEEExyzt222222220zzzzEEEExyzt 波動方程的解是空間一個沿特定方向傳播的電磁波。波動方程的解是空間一個沿特定方向傳播的電磁波。 電磁波的傳播問題歸結(jié)為在給定邊界條件和初始條件下求解波動方程。電磁波的傳播問題歸結(jié)為在給定邊界條件和初始條件下求解波動方程。 靜態(tài)場中為問題簡

3、化引入了標量位和矢量位。靜態(tài)場中為問題簡化引入了標量位和矢量位。 時變場中也可引入相應(yīng)的輔助位，使問題的分析簡單化。時變場中也可引入相應(yīng)的輔助位，使問題的分析簡單化。由麥克斯韋第二方程由麥克斯韋第二方程t BEt A0t AE于是于是t AE由麥氏第三方程由麥氏第三方程0 B，可令，可令 BA4.2 電磁場的位函數(shù)電磁場的位函數(shù) 4.2.1 矢量位與標量位矢量位與標量位即即式中式中A稱為稱為動態(tài)矢量位動態(tài)矢量位，簡稱矢量位（，簡稱矢量位（Wb/m)Wb/m)。稱為稱為動態(tài)標量位動態(tài)標量位，簡稱標量位（，簡稱標量位（V)V)。t AE 已知矢量位已知矢量位A 和標量位和標量位 可求相應(yīng)的磁場和電

4、場?？汕笙鄳?yīng)的磁場和電場。 注意，這里的矢量位注意，這里的矢量位 A 及標量位及標量位 均是均是時間時間及及空間空間函數(shù)。函數(shù)。 當(dāng)它們與當(dāng)它們與時間無關(guān)時間無關(guān)時，矢量位時，矢量位 A 及標量位及標量位 與場量的關(guān)系和與場量的關(guān)系和靜態(tài)場靜態(tài)場完完全相同。因此矢量位全相同。因此矢量位 A 又稱為又稱為矢量磁位矢量磁位，標量位，標量位 又稱為又稱為標量電位標量電位。 矢量位和標量位由源決定。其滿足的方程討論如下。矢量位和標量位由源決定。其滿足的方程討論如下。由麥克斯韋第四方程由麥克斯韋第四方程 E2tt AA由麥克斯韋第二方程由麥克斯韋第二方程t EHJ1ttt EHAJAJ將將 BAt AE

5、將矢量恒等式將矢量恒等式2A AA得得222tt AAAJ即即222Att AAJ 由亥姆霍茲定理：一矢量由其散度和旋度確定。由亥姆霍茲定理：一矢量由其散度和旋度確定。 前面定義前面定義A的旋度等于磁感應(yīng)強度的旋度等于磁感應(yīng)強度B。為確定矢量位。為確定矢量位A，還需規(guī)定其散度。，還需規(guī)定其散度。t A 令令 （洛侖茲條件（洛侖茲條件) )222t AAJ所以所以222t 同理同理這兩個方程稱為這兩個方程稱為達朗貝爾方程達朗貝爾方程。由上可見，按照洛倫茲條件規(guī)定。由上可見，按照洛倫茲條件規(guī)定A的的散度后，原來兩個相互散度后，原來兩個相互關(guān)聯(lián)關(guān)聯(lián)的方程變?yōu)閮蓚€的方程變?yōu)閮蓚€獨立獨立方程。矢量位方程

6、。矢量位A僅與僅與電流電流J有關(guān)，標量位有關(guān)，標量位 僅與電荷僅與電荷 有關(guān)。此方程表明矢位有關(guān)。此方程表明矢位A的源是的源是J，而，而標位標位 的源是的源是 。時變場中。時變場中J和和是相互聯(lián)系的。是相互聯(lián)系的。 由上可見，已知電流及電荷分布，即可求出矢量位由上可見，已知電流及電荷分布，即可求出矢量位 A和標量位和標量位 。求出求出 A 及及 以后，即可求出電場與磁場。以后，即可求出電場與磁場。 這樣，這樣，麥克斯韋方程麥克斯韋方程的求解歸結(jié)為的求解歸結(jié)為位函數(shù)方程位函數(shù)方程的求解，而且求解過的求解，而且求解過程顯然得到了程顯然得到了簡化簡化。4.3 電磁能量守恒定律電磁能量守恒定律BHDE

7、w2121n電磁場具有能量。電磁場具有能量。 靜電場的能量密度靜電場的能量密度 恒定磁場的能量密度恒定磁場的能量密度22121EDEwe22121HBHwm因此，時變電磁場的能量密度為因此，時變電磁場的能量密度為 在時變場中，由于電場能量密度隨電場強度變化，磁場能量密度在時變場中，由于電場能量密度隨電場強度變化，磁場能量密度隨磁場強度變化，空間各點能量密度的改變引起能量的隨磁場強度變化，空間各點能量密度的改變引起能量的流動流動。 為了衡量這種能量流動的為了衡量這種能量流動的方向方向及及強度強度，引入，引入能量流動密度矢量能量流動密度矢量，其其方向方向表示能量表示能量流動流動方向，其方向，其大小

8、大小表示表示單位單位時間內(nèi)時間內(nèi)垂直垂直穿過單位面穿過單位面積的能量?；蛘哒f，垂直穿過單位面積的積的能量?；蛘哒f，垂直穿過單位面積的功率功率，所以能量流動密度，所以能量流動密度矢量又稱為矢量又稱為功率功率流動密度矢量，又稱為流動密度矢量，又稱為坡印廷坡印廷矢量。矢量。 能量流動密度矢量或簡稱為能量流動密度矢量或簡稱為能流密度能流密度矢量以矢量以 S 表示，表示， 單位為單位為W/m2。能流密度矢量能流密度矢量 S 與電場強度與電場強度 E 及磁場強度及磁場強度 H 的關(guān)系如何？的關(guān)系如何？ 設(shè)設(shè)無外源無外源 (J = 0, = 0) 的區(qū)域的區(qū)域 V 中，媒質(zhì)是中，媒質(zhì)是線性線性且且各向同性各

9、向同性的，的，則此區(qū)域中麥克斯韋方程為則此區(qū)域中麥克斯韋方程為t EEHt HE0) (H0) (E利用矢量恒等式利用矢量恒等式 ，將上式代入，整理，將上式代入，整理后求得后求得HEEHHE)(2222 2 )(EEtHtHE將上式兩邊對區(qū)域?qū)⑸鲜絻蛇厡^(qū)域 V 求積分，得求積分，得 VVVVEVHEtV 222d d) (21d)(HE, , , , E, HV考慮到考慮到 ，那么，那么VSV d)(d)(SHEHEVVSVEVHEtd d) (21d)(2 22 SHE根據(jù)能量密度的定義，上式又可表示為根據(jù)能量密度的定義，上式又可表示為 VSHE dd d )(VpVwtVS上式稱為時變上

10、式稱為時變電磁場的能量守恒定律，也稱坡印廷定理電磁場的能量守恒定律，也稱坡印廷定理。任何滿足上。任何滿足上述麥克斯韋方程的時變電磁場均必須服從該能量定理。述麥克斯韋方程的時變電磁場均必須服從該能量定理。 矢量（矢量（ ）代表垂直穿）代表垂直穿過單位面積的功率，因此，就過單位面積的功率，因此，就是前述的能流密度矢量是前述的能流密度矢量 S ， 即即HE , , , , E, HHESSHES 此式表明，此式表明，S 與與 E 及及 H 垂直。又知垂直。又知 ，因此，因此，S，E 及及 H 三者三者在空間是在空間是相互垂直相互垂直的，且由的，且由 E 至至 H 與與 S 構(gòu)成構(gòu)成右旋右旋關(guān)系，如圖

11、示。單位是關(guān)系，如圖示。單位是W/m2。HESEHn例：已知電磁波的電場 ，求此電磁波的磁場、能流密度矢量。xetzEE cos000tHE0解：通過 求H。zxyyzxxyzeyExEexEzEezEyEE)()()(yetzE)sin(00000dttzEeHy)sin(1000000)cos(00000tzEeyEey00HES)(cos0020020tzEez4.5 4.5 時諧電磁場時諧電磁場4.5.1 4.5.1 時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示電磁場隨時間作正弦變化時，電場強度的三個分量可用余弦函數(shù)表示電磁場隨時間作正弦變化時，電場強度的三個分量可用余弦函數(shù)表示式中式中稱

12、為稱為時諧電場的復(fù)振幅時諧電場的復(fù)振幅zzyyxxetzyxEetzyxEetzyxEtzyxE),(),(),(),(),(cos),(),(),(cos),(),(),(cos),(),(zyxtzyxEtzyxEzyxtzyxEtzyxEzyxtzyxEtzyxEzmzzymyyxmxx根據(jù)歐拉公式根據(jù)歐拉公式)(jsin)(cos)(ttetj所以，可用復(fù)數(shù)的實部表示三個分量所以，可用復(fù)數(shù)的實部表示三個分量ReRe),(ReRe),(ReRe),()()()(tjzmtjzmztjymtjymytjxmtjxmxeEeEtzyxEeEeEtzyxEeEeEtzyxEzyxzmjzmym

13、jymxmjxmEeEEeEEeEzyx故故式中式中稱為稱為時諧電場的復(fù)矢量時諧電場的復(fù)矢量在復(fù)數(shù)運算中，在復(fù)數(shù)運算中， 的微積分運算的微積分運算tjetjtjtjtjejdteejedtd1即即jdtjdtd1是對空間坐標的微分運算，是空間的概念是對空間坐標的微分運算，是空間的概念ReRe),(tjmztjzmytjymxtjxmeEeeEeeEeeEtzyxEzzyyxxeEeEeEtzyxE),(zzmyymxxmmeEeEeEzyxE),(Re),(Re),(Re),(tjmtjmtjmeJtzyxJeDtzyxDeHtzyxH同理，例：將下列場矢量的瞬時值形式寫為復(fù)數(shù)形式。例：將下列

14、場矢量的瞬時值形式寫為復(fù)數(shù)形式。)sin()cos(),(yymyxxmxkztEekztEetzE解：解：)sin()cos(),(yymyxxmxkztEekztEetzERe)2( j)( jyxkztymykztxmxeEeeEe所以)2( j)( j)(yxkzymykzxmxmeEeeEezEkzymyxmxeeEeeEeyxjjj)j(例：寫出電場強度的瞬時值形式。例：寫出電場強度的瞬時值形式。)cos(j)(zkEezEzxmxm解：解：)cos(jRe),(j tzxmxezkEetzE)cos(Re)2j(tzxmxezkEe)2(cos)cos(tzkEezxmx 時諧場

15、對時間的導(dǎo)數(shù)時諧場對時間的導(dǎo)數(shù)ReReRej tj tj tmmmeejetttEEEE22222ReRej tj tmmeettEEE4.5.2 4.5.2 復(fù)矢量的麥克斯韋方程復(fù)矢量的麥克斯韋方程由麥克斯韋第一方程由麥克斯韋第一方程tDHJReReRej tj tj tmmmeejeHJD設(shè)為時諧場設(shè)為時諧場將對空間坐標的微分運算和取實部運算順序交換將對空間坐標的微分運算和取實部運算順序交換ReRej tj tj tmmmeejeHJDj tj tmmmejeHJD約定不寫出時間因子約定不寫出時間因子 ，去掉場量的下標和點，即得麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形，去掉場量的下標和點，即得麥克斯韋方程的復(fù)

16、數(shù)形式式j(luò) tejHJD同理其它三個麥克斯韋方程同理其它三個麥克斯韋方程jEB0BD復(fù)數(shù)形式的波動方程復(fù)數(shù)形式的波動方程亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程波動方程波動方程2220tEE設(shè)為時諧場設(shè)為時諧場22222ReRej tj tmmeettEEE得得220kEE同理同理220kHH亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程式中式中22k 4.5.6 平均能流密度和平均能流密度矢量平均能流密度和平均能流密度矢量 坡印廷矢量 表示瞬時功率流密度。在時諧電磁場中，計算平均能流密度矢量更有意義。時諧電磁場的一般表示式為：HEzzHzmyyHymxxHxmzzEzmyyEymxxExmetHetHetHHetEetEetEE)cos()cos()cos()cos()cos()cos(求一個周期內(nèi)坡印廷矢量的x分量的平均值：dtttHEttHETd