選修2-2第一章復(fù)習(xí)學(xué)案之三：定積分

1、選修2-2第一章導(dǎo)數(shù)§1.51.7復(fù)習(xí)學(xué)案制作：李凱星一、雙基回顧：1連續(xù)函數(shù)：一般的，如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間I上的圖象是一條的曲線，那么我們把它稱為區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù).2、在求“曲邊梯形的面積”或“汽車行駛的路程”或“變力做功”時(shí)，我們都可采用(2)(3)步驟，從這些實(shí)際問題中抽象出一個(gè)一般的數(shù)學(xué)概念：?；貞浻嘘P(guān)概念、幾何意義。3、微積分基本定理：如果函數(shù)F(x)是a,b上的連續(xù)函數(shù)f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)，b則Jf(x)dx=F(b)F(a)。這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，我們常常把F(b)F(a)Lab記成，即f(x)dx=F(x)|；=F(b)F(a)。微積分基本定理表

2、明，b計(jì)算定積分f(x)dx的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的。也就是說，要找到一個(gè)函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)等于。由此可見，求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)算互為。4、定積分的性質(zhì)性質(zhì)(1)：被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分外面.b即：cf(x)dx二(c為常數(shù)).a性質(zhì)(2):(線性性質(zhì))函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差)b即Jf(x)±g(x)dx=.a性質(zhì)(3)：(積分對(duì)區(qū)間的可加性)bf(x)dx二(其中acb).5、定積分公式的運(yùn)用(1) 幾何應(yīng)用：平面圖形的面積；旋轉(zhuǎn)體的體積.由曲線y=f(x)和y=g(x)及直線x=a,x=b圍成的面積S，有bS二a|f(x)-g(x)|dx.(2) 物理

3、應(yīng)用：變速直線運(yùn)動(dòng)的路程s=;變力做功=.二、典例分析：例1、下列命題：已知f(x)在la,bl上連續(xù)，且：f(x)dx0，貝Uf(x)0;21 應(yīng)用微積分基本定理有丄dx二F(2)-F(1)，則F(x)=In(一x);1 x2二 2cosxdx=202cosxdx二°|sinx|dx=4.其中正確的是()2A、B、C、D、例2、求定積分：JIO(1) 用公式(微積分基本定理)求：.一sinxdx;3T(2) 用幾何意義求：(W1-(x-1)2-xdx=;(3) 分段函數(shù)求積分：設(shè)函數(shù)f(x)=x1,1則ff(x)dx=();3-x,1cx蘭20117A、B、C、6D、1736(4)

4、 求定積分后再研究函數(shù)性質(zhì)：x若丫二0(sintcostsint)dt，貝Uy的最大值是()A、1B、2C、-D、023例3、求由拋物線y2=2x與直線y=x-4所圍成的圖形的面積。例4、變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度為v(t)=1-t2，初始位置為xo=1，求它在末所在的位置和前2秒內(nèi)所走過的路程(提示：這時(shí)的路程，不是位移)三、鞏固練習(xí)：1、下列命題中不正確的是aA、若f(x)是連續(xù)的奇函數(shù)，則f(x)dx=oB、af(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，貝Uaaf(x)dx=2f(x)dxf(x)在a,b上連續(xù)且恒正，則bf(x)dx>oabf(x)在a,b上連續(xù)，且f(X)dx>o，則f(x)在

5、(a,b)上恒正a2、11設(shè)cf(t)dtf(X)-一，且f(0)=1，貝Uf(x)=022xe21 x2xB、一eC、e2D、1e2x24、設(shè)f(x)是定義在-3,3上的偶函數(shù)，且°f(x)dx=16，則當(dāng)nN*時(shí)，定積分f(x)+x2n41一5dx的值為。1125、若f(x)二axb(a=0)，且0f(x)dx=1，求證：0f(x)dx1.6直線y=kx分拋物線y=x-x2與x軸所圍成圖形為面積相等的兩個(gè)部分,求k的值57、求曲線y=sinx與直線x，x=-二，y=0所圍成的圖形的面積。248、一質(zhì)點(diǎn)在直線上從時(shí)刻i=O(s)開始從速度V(t)=t2-4t3(m/s)運(yùn)動(dòng).求:(

6、1) 在時(shí)刻t=4(s)時(shí)，該點(diǎn)的位置；(2) 在時(shí)刻t=4(s)時(shí)，該點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程.9、設(shè)曲線y二ejx>0)在點(diǎn)M(t,et)處的切線I與x軸y軸所圍成的三角形面積為S(t)。(I)求切線I的方程；(U)求S(t)的最大值。3、由直線x=2，曲線y1丄及x軸所圍圖形的面積是xA.154B.174C.-ln22D.2ln24IOI1-二|0蔦1-cos2x-cosx4312-(cosx1)22例3、解：由丿y2=2x"=x4選修2-2第一章導(dǎo)數(shù)§1.51.7復(fù)習(xí)學(xué)案答案例1、答案：Bma，八”兀2”兀1一cos2x11仃例2、(1)fsinxdx=x=(x_sin2

7、x)鷺-兀s-ji522271222(2)由y=1-(x-1)，得(x-1)y=1(y_0,1_x_1)，其圖象是以(1,0)為圓心，半徑為1的圓的四分之一，由定積分的幾何意義知：.,1l(x二1)2一xdx等于其面積二，1,2in一xdx=加'1(x-1)dx-J0xdx=12213112217(3) 0f(x)dx=0(x1)dx+t(3-x)dx=(：xx)|o(3xx)h-326答案：B(4) /(cos2t)'=-2sin2t,x11x：y=0(sint+Sin2t)dt=(cost；cos2t)|o4y所求的面積為s=(y4)一冷dx1 2512-cosx-cosx

8、42當(dāng)cosx-1時(shí)，y取得最大值2。得2,么=y+434=(y4yy)_2=182 622刁1例4、解：它在2秒末所在的位置為x2=x0亠i0v(t)dt=1亠！0(1-t)dt=-;312前2秒內(nèi)所走過的路程是s=v(t)dt亠丨-v(t)dt=2.*01三、鞏固練習(xí)：1、D2、答案：C。逐項(xiàng)代入檢驗(yàn)。3、D334、解：由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，有._3f(x)dx二2°f(x)dx=32;3由于奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而y二x2n1為奇函數(shù)，有.°x2nddx=0，3又(-5)dx=_30，33綜上，3f(x)x2n1-5dx=32+0-30=2。111a5、證

9、明：由f(x)dx=1，得f(x)dx(axb)dxb=1，0002 a=2-2b.1212131133 nf(x)dx(axb)dx(axb)|0(ab)-b003a3a1212(b-2b)(b-1)211(a=0，a=2-2b，b=1)3 3ry=kx6、解方程組2得：直線y=kx與拋物線y=x-x2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為iy=x一xx=0和x-k，拋物線y=X-X2與x軸所圍成圖形為面積為XLVX2)dx七X2x3)：236當(dāng)t(0,1)時(shí)，S(t)>0,當(dāng)t(1,+X)時(shí),S(t)<0,由題設(shè)得I2(X-X21_k)dx_0kxdx所以S(t)的最大值為S(1)=-e1_k(X-X3kx)dx=(1k)所以(1-k)31=2,從而得：27、4,28、解:(1)由V(t)-4t30，得t(01)U(3,4).這說明r(1,3)時(shí)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向與i(0,1)U(3,4)時(shí)運(yùn)動(dòng)方向相反.4 44由0(t2-4t3)dt=-知在時(shí)刻t二4s時(shí)該質(zhì)點(diǎn)離出發(fā)點(diǎn)-(m).3342(2)s珂|t-4t+123242dt=.(t24t3)dt.(4t-12-3)dt.(t-4i3)di=4.0