第6講--分形幾何學

1、第6講分形幾何學主要內容：一、概述二、分維的測定方法（重點內容）三、分維應用實例（重點內容）四、問題討論一、概述分形幾何的概念是美籍法國數學家曼德爾布羅特（）1975年首先提出的，被譽為大自然的幾何學，它是現代數學的一個新分支，但其本質卻是一種新的世界觀和方法論。分形理論與動力系統(tǒng)的混沌理論交叉結合，相輔相成。分形理論是用來研究自然界中沒有特征長度但又具有自相似性的圖形和現象。自然界的許多事物和現象均表現出極為復雜的形態(tài)，并非是一種嚴格的數學分形，而是具有統(tǒng)計意義上的自相似性。分形幾何學是應用數學的一個重要組成部分，在數學、物理、化學、生物、醫(yī)學、地質、材料、工程技術等學科中得到廣泛的應用。近

2、年來，對分形幾何的研究發(fā)展很快，在些前沿課題上取得了較大的進展。1、基本概念（1）整數維與分數維“維”（dimension）是幾何學及空間理論的基本概念，是能有效度量幾何物體的標準體所需要的獨立坐標的數目，是表示幾何體形狀與分布特征的重要參數。在拓樸學和歐幾里得幾何學中，維數只能是整數。如直線是一維的，平面是二維的，普通空間是三維的。如果在三維空間中引入直角坐標，就可用三個實數（x,y,Z）代表空間的一點：n維空間的一點一般可用n個實數（x1，x2,，xn）來表示。在相對論中，所討論的時空是四維空間，時空的點，可用坐標（x，y，z,t）來表示，其中t表示時間?？梢姇r空空間的維數也是整數。然而，

3、歐氏空間只是對現實空間的一個最簡單的近似描述。正如BBMandelbrot在其1982年出版的自然分形幾何學一書中所說：“山峰并不是圓錐形，海岸線不是圓弧形，閃電的傳播也不是直線的”。為了更確切地描述自然界的無規(guī)則現象，法國數學家BenoitBMandelbrot于1977年首次提出了不是整數的維數分數維（fractaldimension）的新例如,英國海岸線的維數D為1.25，宇宙中物質分布的D為1.2。研究表明，凡是可用分數維描述的幾何對象，都具有自相似性。（2）自相似性與無標度區(qū)所謂自相似性（self-similarity），是指事物或現象中局部與整體在形態(tài)、功能和信息等方面具有統(tǒng)計意義

4、上的相似性。自然界中的許多客體，如云朵、山脈、海岸線、樹、肺臟，甚至描述經濟現象的圖形，都具有“自相似性”，即局部與整體的形狀相似，局部的局部也與整體相似。例如，一段用放大的比例尺畫出來的海岸線與整條海岸線形狀是相似的；一棵樹干分為二支，每支又分為二支這棵樹的局部與整體的形狀相似。事實上，地質體大多具有自相似性，一條斷層可能以不同比例尺存在，而其外表卻十分相像。因此，地質學家長期以來憑直覺認識到了這一基本事實，從而形成了一個不言而喻卻是不可改變的原則，即任何地質體的照片必須附上一個比例尺參照物，在野外拍攝的地質照片中通常附上已知尺寸的某種普通物品，例如鉛筆、地質錘或人體。自然界事物自相似性只在

5、一定尺度范圍內才能出現，這個具有自相似性的范圍叫做無標度區(qū)。在無標度區(qū)內，放大或縮小幾何對象的尺寸，整個結構并不改變，即其形狀與標度無關。在無標度區(qū)外，自相似現象不存在。（3）分形與分形幾何學分形是指具有自相似性或自相似結構的幾何對象。例如，彎彎曲曲的海岸線、起伏不平的山脈、粗糙不平的斷面、變化無常的浮云、九曲回腸的河流、縱橫交錯的血管，令人眼花燎亂的滿天繁星,它們的共同特點是極不規(guī)則或極不光滑，然而放大或縮小若干倍后其結構與功能又具相似性，因此，這些現象都是分形。同樣，地質現象中的自相似現象也十分普遍。例如地殼的變形是一自相似過程，變形過程中構造事件的空間分布以及變形后構造帶中不均勻體的分布

6、常常是分形的；巖石的破壞也是一自相似過程，破壞過程中的微破裂事件的空間分布以及破壞后斷裂帶中不均勻體的分布也常常是分形。因為分形都具有極不規(guī)則的復雜形狀，因而用整數維的概念很難對它們進行定量描述。然而，根據分形的觀點，卻可以從中找到自相似結構，并用分維對其形狀進行描述。1982年由創(chuàng)立的分形幾何學就是研究無規(guī)則現象或分形的數學方法。它既是數學的最新研究領域之一，又是國內外地學研究的前沿課題。2、分維的定義和分類對于D維規(guī)則圖形，把圖形的每一個界面分成b份，則圖形被分成N=6份，自相似維數為:以上定義只適用于具有嚴格自相似性的圖形。為了能夠適用于包括隨機圖形在內的任意圖形，人們給分維引入了多種定

7、義。在地學研究中，一般用下列3種定義：(1) 容量維(Dk)若N(d)是能夠覆蓋住一個點集的直徑為d的小球的最小數目，則該點集的容量維定義為：(2) 信息維(Di)在容量維的定義中，只考慮了直徑為d的小球數目與d之間的關系，而未考慮研究對象因此，對于非確定性的研究對象，這種定義仍不實用。于是，引入了信息維的定義:其中，pi(d)為研究對象落在第i個球中的概率。若概率分布均勻，則Pi(d)=1/N，D=D。般情況下，D<Q可見信息維是容量維的一種推廣(3) 相似維(Ds)相似維是應用最多的一種分維。對于某一具有自相似性的研究對象，若其可以被分為N個單元(N隨相似比r變化)，且每一單元按相似

8、比r與整體相似，則定義：分維的上述定義在數學上都是很嚴密的。但在實際問題及實驗測定中。長度是有界限的通常，如果N(r)隨r的變化存在以下關系:則D就是該圖形的分維3、分維在地質學上的應用作為表征研究對象幾何復雜程度和幾何分布關系的參數。分維在地學，尤其是工程地質、環(huán)境地質領域得到廣泛應用，在處理過去難以解釋或難以解決的復雜問題方面顯示了具大威力，得到了一系列準確的解釋和定量結果。（1）地質體結構的分形研究 巖石結構面幾何特征巖石結構面是指存在于巖體內的面、縫、層、帶狀地質界面。結構面不僅破壞了巖體的完整性，直接影響巖體的力學性質和應力分布狀態(tài)，而且很大程度上影響著巖體的滲流途徑和破壞方式。因此

9、在巖石力學、水文地質與工程地質學領域都非常重視巖石結構面研究。巖石結構面的幾何特征包括結構面的方位、形態(tài)、規(guī)模、間距或密度、隙寬、粗糙度、璧面強度和充填性等。由于結構面空間形態(tài)的不規(guī)則性、組成結構面網絡的復雜性，阻礙了人們對它的深入認識。運用分形幾何學研究結構面幾何特征及其組成的網絡系統(tǒng)，可以得到許多非常有意義的結論。 巖土結構有人對巖石顆粒和土顆粒的粒度分布、巖石空隙和土粒間孔隙的大小分布、顆粒表面形態(tài)等進行研究，發(fā)現它們均符合分形分布規(guī)律。 礦物晶體結構傳統(tǒng)的晶體結構模型是以歐幾里德空間為基礎建立起來的?，F在有人提出用分形空間建立晶體結構模型，并有人用計算機模擬出一些理想的分形晶體模型。（

10、2）地震學中的分形研究 地震強度的自相似性地震震級（M）與地震頻度（N）有以下關系：lgN=a-bM震級與地震波能量（E）的關系為：LgE=A+1.5M由以上兩式可得： 地震的時間分維有人通過研究發(fā)現，在適當的定長時間段內有震的時段數與時間間隔符合分形分布關系。 地震的空間分維地震震中的分布具有某種程度的自相似性。（3）地貌學中的分形研究地表的起伏形態(tài)可用分維描述。在一個流域內，水道的數目、長度、縱比降、流域面積等均具有自相似性。(4) 巖石斷裂與破碎利用分維可以很好地描述巖石斷裂面的粗糙不平，綜合反映巖石材料的微結構、組構演化、變形和破壞性質，把宏觀力學性質與微觀結構定量地聯(lián)系起來。在研究一

11、個區(qū)域的斷裂構造分布時，可分別研究斷層幾何結構的分維和斷層空間分布的分維。在這種情況下，斷層分維是斷層數量、規(guī)模、組合形式、水平延伸長度以及分布不均勻性的綜合體現，可以作為研究區(qū)斷裂構造復雜程度的量化指標。(5) 地學數據的分維處理地學數據在坐標圖上表現為幾何點或幾何曲線，對這些點的分布特征和曲線的幾何特征進行分維分析，就可以間接地分析這些數據的時空特征。二、分維的測定方法分形研究中，已提出許多不同的分維測定方法，可以根據不同的研究對象和不同的研究目的選用不同的測定方法。下面只介紹四種基本方法。1、碼尺法取長度為r的碼尺逐一覆蓋曲線(斷層跡線、地表面或巖石破裂面等與一垂直切面的交線)，以所需碼

12、尺總數N(r)乘以碼尺長度r得到該曲線的近似長度L(r)；隨著r的縮小，L(r)將增大，具有：丄/jf-*kf在實際應用碼尺法測定分維時，將一組碼尺長度ri及與其對應的一組斷層長度L(ri)標在InL(r)-lnr雙對數坐標圖上(i=1,2，n),便可用一元線性回歸方法擬合出一條直線：InL(r)=a+bLnr式中，a是常數，b是直線的斜率。L苦*J廠I亠D實際上，由式可得：LnL(r)=lnA+(1-D)lnr令：a=LnA,b=1-D，即可得到式InL(r)=a+bLnr。該曲線的分維：D=1-b。在對不同的曲線進行比較研究時，常以擬合直線斜率的絕對值作為曲線的相似維。2、圓覆蓋法一條斷裂

13、帶往往由方向、長度、幾何形態(tài)不同的多條斷層斜列而成。對于類似斷裂帶的研究對象，不能用碼尺法，而要用圓覆蓋法。圓覆蓋法與碼尺法類似。但用不同半徑(ri，i=1，2,，n,)的圓去覆蓋斷裂帶，斷裂帶的長度L(ri)與圓的半徑(ri)有如下關系：L(ri)=2ri.N(rJ式中，N(rJ為覆蓋斷裂帶所需半徑為ri圓的最小數目。將ri和L(ri)(i=1，2，n)兩組數據標在雙對數圖Inr-lnL(r)上，可得到一條斜率hhL*=6,1Ocm為b的直線，則其分維數為：D=1-b。a=4cmg-2cmh-1cmL*=6,75cmL*=6,75cm2r-0.70cjnL*圖圓覆蓋法測宦斷層長度示意圖3、網

14、絡覆蓋法網絡覆蓋法一般用于研究一個區(qū)域內某種幾何對象(點、線)的分形結構。將研究區(qū)分成若干個邊長為r的正方形格子，數出有點或線進入的格子數N(r);按1/2的倍率縮小r，并數出相對應的格子數N(r)，并以此類推。如果研究區(qū)內幾何對象具自相似結構，則有：式中，Ds為相似維。這種方法又稱為數盒子法。將“數盒子”所得數據標繪在雙對數坐標圖LnN(r)-lnr上,可擬合一條直線：LnN(r)=a+Lnr其斜率b即為研究對象的分維。20km(b)圖a為日本板田地區(qū)的斷層系(圖中所示斷層是對“日本活斷層圖”中I到II級信度活動斷層繪制而成)。將該區(qū)域每邊近2n(n=1,2,n)逐級等分，則可依次數出有斷層

15、線進入的盒子數。為清晰起見，僅在圖中的一角畫出了逐漸變細的分割。圖b為有斷層線進入的盒子數與沿網絡一邊盒子數的雙對數坐標圖，其分維為1.60+0.10。4、康托塵集法康托塵集法是分析某種事件沿測量方向出現非均勻性或概率的情況，可描述該事件分布的不均勻性和各向異性特征。以斷裂分維測定為例，用幾條平行的測線覆蓋斷裂圖象，然后將測線分為長度為r的一些測量單元，數出含有斷裂交叉點的測量單元的個數n與測量單元總數N的比值p。改變測量單元的長度r，可獲得相應的n、N及p值。在Lnp-lnr坐標系中，可得到pi與ri（i=1,2，,n）的最佳回歸直線，其斜率即為該測線方向上的分維值。改變測線方向重復上述操作

16、，即可得到不同方向上的斷裂分維值。三、分維應用實例1、巖石斷裂面粗糙度分形研究（徐志斌等，佃98）巖石斷裂面粗糙度（JRC）是一個重要的幾何參數，對巖石強度、剛度、斷層地震行為、斷層帶中斷層泥和碎裂巖的形式等都具有重要影響，因此，精確估算JRC值一直是一項重要的研究課題。Barton等在100多條人工拉斷節(jié)理試驗的基礎上，確定了10條典型的JRC變程曲線，JRC的變化范圍為020。Lee等采用碼尺法實測了這10條JRC變程曲線的分維值D,并建立了JRC與D的經驗關系式。jRC=一Ch87804+茁.7844?二一16-930彳；二10.oio丨a.DioI這樣，一旦確定了斷裂面的分維，就可估算

17、出其JRC值，進而對斷裂面的剪切破壞強度進行預測。2、巖石結構分形在巖體質量評價中的應用(丁多文，佃93)巖體在長期的成巖及變形過程中形成了它們的結構，結構面和結構體是其基本要素。由于地質歷史的漫長，使不同時期、不同種類、不同空間的巖體結構復合、演化，從而使巖體結構復雜化。在這種復雜的結構中，巖體結構面的分布存在一定方向的優(yōu)勢性一一優(yōu)勢面，即巖體結構面在空間、時間的分布呈現出某一方面的統(tǒng)計優(yōu)勢面和地質優(yōu)勢面，而巖體結構面的分布分形分維(用數盒子法求得)正能極好地反映優(yōu)勢面在空間分布的優(yōu)勢程度及范圍。因此，巖體結構面分布分形維數的大小可以從一個方面反映巖體質量的好壞程度。結構面分布分維(Dpf)

18、越小，結構面分布越呈現出單一方向分布的優(yōu)勢；結構面分布分維越大，結構面分布越呈現出多個方向，結構面分布就越復雜，巖體質量就越差。結構體分布分維(若Lnri與LnN(ri)線性相關，其直線斜率DVf即為其分維。其中，ri為特征尺度,N(ri)為大于ri的巖塊數目)則反映結構體大小分布狀況。當6>3時，大的巖體結構體占絕對的優(yōu)勢；Df一般處于23之間，大的結構體所占比例將隨Dvf的減小而降低，巖體質量隨Dvf變小而變壞。結構面及結構體分布分維反映巖體結構的兩個方面，為此引入巖體質量評價指標D=Dvf-Dpf,并根據D值大小將巖體質量分為5級。巖體質量評價表DOO.40.40.80.81.21

19、.21.6>1.6巖體質量很差差一般好很好3、四川盆地油氣田空間分布的分形特征（施澤進等，1995）選取四川盆地勘探項目部署總圖為底圖，將油氣田標繪其上，利用數盒子法求得分維值D為1.308，相關系數為0.999，表明四川盆地油氣田的空間分布具有分維結構。將四川盆地分為川東南、川中和川西三個分區(qū)，分別計算出油氣田空間分布的分維為：1.387，1.401，1.078，分維值的總體變化趨勢由東南向西北降低，正好反映油氣田在東南部較密，西北部較稀疏的特點。這說明，分維與油氣田總面積呈正相關關系，油氣田分布面積總和越大的區(qū)域，其分維值越大。另一方面，油氣田空間分布的均勻程度也影響分維。在油氣田總

20、面積基本相同的情況下，油氣田分布愈不均勻，其分維反而愈低。4、渭河盆地地質災害的分形自組織結構（彭建兵等，1992）地震活動的時空分維研究的時間范圍為公元前280公元1976年，時間跨度T=2256年。研究對象是震級M>2以上的地震。以tn=2n年（也可以是天、小時、分鐘，n=0,1,2，）為時間標尺，將時間跨度T劃分成N個時段。當tn定時，數出曾有地震發(fā)生的時段個數，記為m,有震時段的比例：Xn=mn/Nn統(tǒng)計結果表明，LnX與LnTn呈顯著的線性相關，相關系數達0.9976。由直線斜率k=1-Dk,求得容量維Dk=0.552。LnXnLntn之間的關系實際上反映了有震時段與無震時段相

21、互關系隨時間標尺變化的規(guī)律性。例如，當時間標尺tn=26年=64年時，Xn=0.9561，即有震時段占時段總數的比例為95.61%，無震時段只占4.39%。這表明，以64年為時間尺度，渭河盆地M>2.0的發(fā)震可能性為95.61。由這種方法揭示的分形結構特征是對渭河盆地2256年時段內地震在時間域上活躍與平靜復雜性的一個概括。將渭河盆地MS>2的地震震中位置標繪在區(qū)域平面圖上，用數盒子法求得相應的容量維0=1.212，相關系數達0.9828，同樣證明了地震空間分布具有分形結構。D是渭河盆地地震空間分布密集與稀疏復雜性的定量指標。滑坡（滑塌）和地震災害的分布分維將滑坡（滑塌）分布點看作

22、與震中分布點相似，地裂縫與斷層相似，在小比例尺圖上近似一個點，也將其視作震中分布點。因此，將這兩種地質災害的空間分布當作震中分布一樣進行處理，同樣可測算出它們空間分布的容量維。渭河盆地滑坡的空間分布容量維為1.041，地裂縫的空間分布容量維是1.001。將渭河盆地分為東、西兩區(qū)分別研究各種地質災害分布分維，結果見下表。從中反映出一個共同特點：渭河盆地東區(qū)的地質災害較西區(qū)多些。渭河盆地地質災害的空間分維地質災害渭河盆地盆地東區(qū)盆地西區(qū)地震(Ms>2)1.2121.3311.116滑坡(滑塌)1.0411.0541.033地裂縫1.0011.0130.842四、問題討論1、自相似結構和無標度

23、區(qū)的判定分形是具有自相似性的幾何對象，所以研究對象具有自相似性是正確測定其分維的必要條件。以數盒子法為例，如果研究對象具分形結構(即自相似性)，則LnN(rJ與lnri(i=1,2,，n)將呈現出顯著的線性相關，否則，就可判定該研究對象不具有分形結構。另一方面，研究對象的自相似性一般只存在于一定的尺度范圍內，該范圍稱為無標度區(qū)。當我們將LnN(r)-Inr數據對標繪在直角坐標系中時，如果只有當r>a，r<b(b>a)時，點(Lnri,LnN(rJ)(i=1,2,n)近似地分布在一條直線上。而當r<a或r>b時，點(Lnri,lnN(r)偏離直線，則無標度區(qū)即為(a,b)區(qū)間