大一高等數(shù)學(xué)第十二章第五節(jié)常系數(shù)線性方程

1、一、常系數(shù)齊次線性方程通解求法一、常系數(shù)齊次線性方程通解求法)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式0 qyypy二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式-特征方程法特征方程法,rxey 設(shè)設(shè)將其代入上方程將其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy 有兩個不相等的實根有兩個不相等的實根,2421qppr ,242

2、2qppr ,11xrey ,22xrey 兩個線性無關(guān)的特解兩個線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;2121xrxreCeCy )0( 特征根為特征根為 有兩個相等的實根有兩個相等的實根,11xrey ,221prr )0( 一特解為一特解為得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;)(121xrexCCy 代入原方程并化簡，代入原方程并化簡，將將222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 則則,)(12xrexuy 設(shè)設(shè)另另一一特特解解為為特征根為特征根為 有一對共軛復(fù)根有一對共軛復(fù)根,1 jr ,2 jr ,)(

3、1xjey ,)(2xjey )0( 重新組合重新組合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyjy ,sin xex 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為).sincos(21xCxCeyx 特征根為特征根為定義定義 由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為確定其通解的方法稱為特征方程法特征方程法. .044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解為故所求通解為.)(221xexCCy 例例1 1.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,05

4、22 rr解得解得,2121jr ，故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(21xCxCeyx 例例2 2n 階常系數(shù)齊次線性方程解法階常系數(shù)齊次線性方程解法01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程為特征方程為0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的對應(yīng)項通解中的對應(yīng)項rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 jk復(fù)復(fù)根根重重共共軛軛若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110注意注意n次代數(shù)方程有次代數(shù)方程有n個根個根, 而特征方程的每一個而特征方程的每一個根都對應(yīng)著通解中的一項根都對應(yīng)著通解中的一項, 且

5、每一項各一個且每一項各一個任意常數(shù)任意常數(shù).nnyCyCyCy 2211特征根為特征根為, 154321jrrjrrr 故所求通解為故所求通解為.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程為特征方程為, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy例例3 3)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程對應(yīng)齊次方程對應(yīng)齊次方程, 0 qyypy通解結(jié)構(gòu)通解結(jié)構(gòu), yYy 常見類型常見類型),(xPm,)(xmexP ,cos)(xexPxm ,sin)(xexPxm 難點

6、難點：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系數(shù)法待定系數(shù)法.)()(xPexfmx 二、 型設(shè)非齊方程特解為設(shè)非齊方程特解為xexQy )( 代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp ),()(xQxQm 可可設(shè)設(shè)是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可設(shè)可設(shè);)(xmexQy ;)(xmexxQy 是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xQxxQm 可可設(shè)設(shè)綜上討論綜上討論, )(

7、xQexymxk 設(shè)設(shè) 是重根是重根是單根是單根不是根不是根2,10k注意注意上述結(jié)論可推廣到上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性階常系數(shù)非齊次線性微分方程（微分方程（k是重根次數(shù)）是重根次數(shù)）.)(2xmexQxy 特別地特別地xAeqyypy 是特征方程的重根是特征方程的重根是特征方程的單根是特征方程的單根不是特征方程的根不是特征方程的根 xxxexAxepAeqpAy222,2,.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxececY 是單根，是單根，2 ,)(2xeBAxxy

8、設(shè)設(shè)代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解為原方程通解為.)121(2221xxxexxeCeCy 例例4 4型型二、二、sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx sincos)(xPxPexfnlx 22jeePeePexjxjnxjxjlx xjnlxjnlejPPejPP)()()22()22( ,)()()()(xjxjexPexP ,)()(xjexPqyypy 設(shè)設(shè),)(1xjmkeQxy 利用歐拉公式利用歐拉公式,)()(xjexPqyypy 設(shè)設(shè),)(1xjmkeQxy xjmxjmxkeQeQexy ,sin)

9、(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 次次多多項項式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max ,10 是單根是單根不是根不是根jjk注意注意上述結(jié)論可推廣到上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程階常系數(shù)非齊次線性微分方程.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解對應(yīng)齊方通解對應(yīng)齊方通解,sincos21xCxCY 作輔助方程作輔助方程,4jxeyy ,是是單單根根j ,*jxAxey 故故代入上式代入上式, 42 Aj,2jA ,)cos2(sin22*jxxxxjxeyjx 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,cos2xxy 原方程通解為原

10、方程通解為.cos2sincos21xxxCxCy （取虛部）（取虛部）例例5 5.2cos的通解的通解求方程求方程xxyy 解解對應(yīng)齊方通解對應(yīng)齊方通解,sincos21xCxCY 作輔助方程作輔助方程,2 jxxeyy ,2 不不是是特特征征方方程程的的根根j ,)(2*jxeBAxy 設(shè)設(shè)代入輔助方程代入輔助方程 13034ABAj,9431jBA ，,)9431(2*jxejxy 例例6 6)2sin2)(cos9431(xjxjx 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,2sin942cos31xxxy 原方程通解為原方程通解為.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy

11、 ,)2sin312cos94(2sin942cos31jxxxxxx （取實部）（取實部）注意注意xAexAexx sin,cos.)(的實部和虛部的實部和虛部分別是分別是xjAe .tan的通解的通解求方程求方程xyy 解解對應(yīng)齊方通解對應(yīng)齊方通解,sincos21xCxCY 用常數(shù)變易法求非齊方程通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解,sin)(cos)(21xxcxxcy 設(shè)設(shè), 1)( xw,cos)(tanseclnsin)(2211 CxxcCxxxxc原方程通解為原方程通解為.tanseclncossincos21xxxxCxCy 例例7 7解法解法：歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變

12、歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變量代換可化為常系數(shù)微分方程量代換可化為常系數(shù)微分方程.三、歐拉方程三、歐拉方程)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn 的方程的方程(其中其中nppp21,形如形如叫叫歐拉方程歐拉方程.為常數(shù)為常數(shù))特點特點：各項未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與乘積因子自各項未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與乘積因子自變量的方次數(shù)相同變量的方次數(shù)相同作變量變換作變量變換,ln xtext 或或,1dtdyxdxdtdtdydxdy ,122222 dtdydtydxdxyd將自變量換為將自變量換為, t,2312233333 dtdydtyddtydxdxyd用用D表示對自變量表示對自

13、變量t求導(dǎo)的運算求導(dǎo)的運算,dtd上述結(jié)果可以寫為上述結(jié)果可以寫為,Dyyx ,)1()(2222yDDyDDdtdydtydyx ,)2)(1()23(232322333yDDDyDDDdtdydtyddtydyx .)1()1()(ykDDDyxkk 將上式代入歐拉方程，則化為以將上式代入歐拉方程，則化為以 為自變量為自變量t的常系數(shù)的常系數(shù)線性微分方程線性微分方程.求出這個方程的解后，求出這個方程的解后，t把把 換為換為 ，xln即得到原方程的解即得到原方程的解.一般地，一般地，例例求歐拉方程求歐拉方程22334xyxyxyx 的通解的通解解解作變量變換作變量變換,ln xtext 或或

14、原方程化為原方程化為,34)1()2)(1(2teDyyDDyDDD 即即,332223teDyyDyD 或或.33222233tedtdydtyddtyd (1)方程方程(1)所對應(yīng)的齊次方程為所對應(yīng)的齊次方程為, 0322233 dtdydtyddtyd其特征方程其特征方程, 03223 rrr特征方程的根為特征方程的根為. 3, 1, 0321 rrr所以齊次方程的通解為所以齊次方程的通解為.33213321xCxCCeCeCCYtt 設(shè)特解為設(shè)特解為,22bxbeyt 代入原方程，得代入原方程，得.21 b所給歐拉方程的通解為所給歐拉方程的通解為.2123321xxCxCCy ,22x

15、y 即即四、小結(jié)四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解得到相應(yīng)的通解. (見下表見下表)02 qprr0 qyypy 特征根的情況特征根的情況 通解的表達式通解的表達式實根實根21rr 實根實根21rr 復(fù)根復(fù)根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 可可以以是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)） (),()()1(xPexfmx );(xQexymxk ,sin)(

16、cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 只含上式一項解法只含上式一項解法：作輔助方程作輔助方程,求特解求特解, 取取特解的實部或虛部特解的實部或虛部, 得原非齊方程特解得原非齊方程特解.歐拉方程解法思路歐拉方程解法思路變系數(shù)的線變系數(shù)的線性微分方程性微分方程常系數(shù)的線常系數(shù)的線性微分方程性微分方程變量代換變量代換注意：歐拉方程的形式注意：歐拉方程的形式xtextln 或或思考題思考題 1求微分方程求微分方程 的通解的通解. yyyyyln22 思考題思考題 1 解答解答, 0 y ,ln22yyyyy ,ln yyy ,lny

17、yyx ,lnlnyy 令令yzln 則則, 0 zz特征根特征根1 通解通解xxeCeCz 21.ln21xxeCeCy 思考題思考題 2寫出微分方程寫出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式. 思考題思考題 2 解答解答設(shè)設(shè) 的特解為的特解為2644xyyy *1yxeyyy2844 設(shè)設(shè) 的特解為的特解為*2y*2y *1*yy 則所求特解為則所求特解為0442 rr特征根特征根22, 1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2 （重根）（重根）*2y *1*yy CBxAx 2.22xeDx 一一、 求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: : 1 1、

18、04 yy； 2 2、02520422 xdtdxdtxd； 3 3、0136 yyy； 4 4、0365)4( yyy. .二、二、 下列微分方程滿足所給初始條件的特解下列微分方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、0,2,04400 xxyyyyy； 2 2、3,0,013400 xxyyyyy. .三、三、 求作一個二 階常系數(shù) 齊次線性微分方程求作一個二 階常系數(shù) 齊次線性微分方程, ,使使3,2,1 xxxeee都是它的解都是它的解 . .四、四、 設(shè)圓柱形浮筒設(shè)圓柱形浮筒, ,直徑為直徑為m5 . 0, ,鉛直放在水中鉛直放在水中, ,當(dāng)稍當(dāng)稍向下壓后突 然放開向下壓后突 然放開

19、, ,浮筒 在水中上 下振動的浮筒 在水中上 下振動的s2周期為周期為, ,求浮筒的質(zhì)量求浮筒的質(zhì)量 . .練練 習(xí)習(xí) 題題 1練習(xí)題練習(xí)題 1 答案答案一、一、1 1、xeCCy421 ； 2 2、tetCCx2521)( ； 3 3、)2sin2cos(213xCxCeyx ； 4 4、xCxCeCeCyxx3sin3cos432221 . .二、二、1 1、)2(2xeyx ； 2 2、xeyx3sin2 . .三、三、0 yy. (. (提示提示: :為兩個為兩個xe, 1線性無關(guān)的解線性無關(guān)的解) )四、四、195 Mkg.kg.一、一、 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解: :1 1、xeyay 2；2 2、xxeyyy 323；3 3、xxyycos4 ；4 4、xyy2sin . .二、二、 求下列各微分方程滿足已給初始條件的特解求下列各微分方程滿足已給初始條件的特解: :1 1、0,1,5400 xxyyyy；2 2、xxexeyyy 2, , 1,111 xxyy；3 3、)2cos(214xxyy , , 0,000 xxyy. .練練 習(xí)習(xí) 題題 2三、三、 含源含源在在CLR,串聯(lián)電路中串聯(lián)電路中, ,電動