人教版高中數(shù)學(xué)選修（2-1）-3.1《空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示》教學(xué)課件1

1、3.1.4 3.1.4 空間向量的正交分解空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示及其坐標(biāo)表示,p,xypxayb.a ba b 如果兩個向量不共線，則向量 與向量共面的充要條件是存在實數(shù)對 ， ，使共線向量定理共線向量定理:共面向量定理共面向量定理:0/ /a.a b babb 對空間任意兩個向量 、 （），的充要條件是存在實數(shù) ，使 1211212212e eaaee .e e 如果 ，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對實數(shù) ， ，使 （ 、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.）xyoaijaxiy j(1,0),(0,1),0(0,0).ij 我們知道，平

2、面內(nèi)的任意一個向量我們知道，平面內(nèi)的任意一個向量 都可以用兩個不共都可以用兩個不共線的向量線的向量 來表示（平面向量基本定理）來表示（平面向量基本定理）. .對于空間任意一對于空間任意一個向量，有沒有類似的結(jié)論呢？個向量，有沒有類似的結(jié)論呢？, a b p xyzOijkQPp 給定一個空間坐標(biāo)系和向量給定一個空間坐標(biāo)系和向量 且設(shè)且設(shè) 為空間兩兩垂直的向量，為空間兩兩垂直的向量，設(shè)點設(shè)點Q Q為點為點P P在在 所確定平面上的所確定平面上的正投影正投影p ,ij k , i j 由平面向量基本定理有由平面向量基本定理有,zkOQ實數(shù)存在所確定的平面上在, ,i jx y 在所確定的平面上 存

3、在實數(shù)jyi xOQ使得kzOQOP使得kzjyi xkzOQOPxyzQPp Oijk 由此可知由此可知, ,如果如果 是空間兩兩垂直的向量是空間兩兩垂直的向量, ,那么那么, ,對空間對空間任一向量任一向量 , ,存在一個有序?qū)崝?shù)組存在一個有序?qū)崝?shù)組 x,y,zx,y,z使得使得 我們稱我們稱 為向量為向量 在在 上的分向量上的分向量. ., ,i j k P .pxiy jzk ,xi y j zk, ,i j k p 都叫做都叫做基向量基向量, ,a b c , , , ,. , , .a b cP Pxaybzc x y zRa b ca b c 如果三個向量 , ,不共面,那么所有

4、空間向量組 成的集合就是這個 集合可以看做是由向量生成的故叫做空間的一個基底注注: : 如果三個向量如果三個向量 不共面不共面, ,那么對空間任一那么對空間任一向量向量 , ,存在有序?qū)崝?shù)組存在有序?qū)崝?shù)組x,y,zx,y,z使使, ,a b c P .pxaybzc 探究：探究：在空間中在空間中, ,如果用任意三個不共面向量如果用任意三個不共面向量 代替兩兩代替兩兩垂直的向量垂直的向量 , ,你能得出類似的結(jié)論嗎？你能得出類似的結(jié)論嗎？, ,a b c , ,i j k （1 1）任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底）任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底. .特別提示：特別提示：對

5、于基底對于基底a,b,c,a,b,c,除了應(yīng)知道除了應(yīng)知道a,b,ca,b,c不共不共面面, ,還應(yīng)明確：還應(yīng)明確：（2 2）由于可視）由于可視 為與任意一個非零向量共線為與任意一個非零向量共線, ,與任意兩與任意兩個非零向量共面?zhèn)€非零向量共面, ,所以三個向量不共面所以三個向量不共面, ,就隱含著它們都就隱含著它們都不是不是 . .00（3 3）一個基底是指一個向量組）一個基底是指一個向量組, ,一個基向量是指基底中一個基向量是指基底中的某一個向量的某一個向量, ,二者是相關(guān)連的不同概念二者是相關(guān)連的不同概念. .推論：推論：設(shè)設(shè)O O、A A、B B、C C是不共線的四點，則對空間任一點是

6、不共線的四點，則對空間任一點P P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,zx,y,z，使，使 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x+y+z=1x+y+z=1時，時，P P、A A、B B、C C四點共面。四點共面。.OPxOAyOBzOC 二、空間直角坐標(biāo)系二、空間直角坐標(biāo)系 單位正交基底：單位正交基底：如果空間的一個基底的三個如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為基向量互相垂直，且長都為1 1，則這個基底叫做，則這個基底叫做單位正交基底單位正交基底, ,常用常用e e1 1 , e , e2 2 , e , e3 3 表示表示 空間直角坐標(biāo)系：空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點在空間選

7、定一點O O和一個單位和一個單位正交基底正交基底 e e1 1,e,e2 2,e,e3 3 , ,以點以點O O為原點，分別以為原點，分別以e e1 1,e,e2 2,e,e3 3的的方向為方向為x x軸、軸、y y軸、軸、z z軸的正方向，建立一個空間直角軸的正方向，建立一個空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系O-xyzO-xyzxyze1e2e3O121323112233,.e e e e eee e ee ee 計算單位正交基之間的數(shù)量積 在空間直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對空間任一向中，對空間任一向量量 ,平移使其起點與原點平移使其起點與原點o重合重合,得到向量得到向量OP=P由空間向量基

8、本定理可知由空間向量基本定理可知,存在有序?qū)崝?shù)組存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z使使 P =xe1+ye2+ze3 此時向量此時向量P的坐標(biāo)恰是點的坐標(biāo)恰是點P在在直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)(x,y,z)，其中，其中x叫做點叫做點P的橫坐的橫坐標(biāo)，標(biāo)，y叫做點叫做點P的縱坐標(biāo)，的縱坐標(biāo)，z叫叫做點做點P的豎坐標(biāo)的豎坐標(biāo).xyzOP(x,y,z)e1e2e3P 123, , , , .x y zPe e ePx y z 叫做向量 在單位正交基底下的坐標(biāo) 記做 在空間直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系O x y z 中，對空間任一點中，對空間任一點P, 對應(yīng)一個向量對應(yīng)一個向量 ,于是存在唯一的

9、有序?qū)崝?shù)組于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 x, y, z,使使 (如圖如圖).OP 123OPxeyeze 顯然顯然, 向量向量 的坐標(biāo)，就是點的坐標(biāo)，就是點P在此空間直角在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(x,y,z).OP xyzOP(x,y,z) 也就是說也就是說, ,以以O(shè) O為起點的有向為起點的有向線段線段 ( (向量向量) )的坐標(biāo)可以和終點的的坐標(biāo)可以和終點的坐標(biāo)建立起一一對應(yīng)的關(guān)系坐標(biāo)建立起一一對應(yīng)的關(guān)系, ,從而從而互相轉(zhuǎn)化互相轉(zhuǎn)化. . 我們說我們說,點點P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x,y,z),記作記作P(x,y,z)，其中，其中x叫叫做點做點P的的橫坐標(biāo)橫坐標(biāo),y叫做點叫做點P的的縱坐標(biāo)縱坐標(biāo),z叫做點叫做點P的的豎坐標(biāo)豎坐標(biāo).e1e2e3例題講解例題講解11