考點11數(shù)列的綜合應用

1、溫馨提示： 此題庫為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，關(guān)閉Word文檔返回原板塊。 考點11 數(shù)列的綜合應用一、解答題1.（2012·大綱版全國卷高考理科·22）（12分）函數(shù)f，定義數(shù)列如下：，是過兩點，的直線與軸交點的橫坐標.（）證明：；（）求數(shù)列的通項公式. 【解題指南】本題（）先求出直線的方程，然后利用數(shù)學歸納法進行證明，（）結(jié)合（）中的相關(guān)結(jié)論寫出數(shù)列的遞推公式，根據(jù)遞推公式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造新數(shù)列，求數(shù)列的通項公式.【解析】（）用數(shù)學歸納法證明2 xnxn+13. （）當時，直線的方程為，令，解得，所以.（）假設時，結(jié)論成立，即，直線的

2、方程為，令，解得.由歸納假設知， ，即.所以，即當時，結(jié)論成立.由（）（）知，對于任意的正整數(shù)，成立.（）由（）及.設，則，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.所以，即數(shù)列的通項公式為.2.（2012·大綱版全國卷高考文科·18）(12分)已知數(shù)列中，前n項和.()求,.()求的通項公式.【解題指南】由，求；由，求出；求的通項公式時利用，導出與之間的關(guān)系，根據(jù)遞推公式的特點，求通項公式.【解析】（），.又， .() 由題設知，.當時，. . .以上個式子的兩端分別相乘，得到, 又.3.（2012·重慶高考理科·21）設數(shù)列的前項和滿足其中.(1)求證: 是首

3、項為1的等比數(shù)列;(2)若,求證:,并給出等號成立的充要條件.【解題指南】利用已知條件及數(shù)列前n項和的性質(zhì)可證明為等比數(shù)列.可利用數(shù)學歸納法證明第(2)問.【解析】(1)方法一:由,得,即,因為,故得.又由題設條件知,兩式相減得,即,由,知,因此.綜上, 對所有的成立,從而是首項為1,公比為的等比數(shù)列.方法二:用數(shù)學歸納法證明.當時, 由,得,即,因為,故所以結(jié)論成立.假設當時,結(jié)論成立,即那么這就是說,當時,結(jié)論也成立.綜上可得,對任意的,因此是首項為1,公比為的等比數(shù)列.(2)方法一:當或時,顯然成立.設且.由(1)知所以要證的不等式化為,即證:.當時,上面不等式的等號成立.當時,與同為負

4、;當時,與同為正.因此當且時,總有,即,上面不等式對從到求和得由此得綜上,當時,有,當且僅當或時等號成立.方法二:當或時,顯然成立.當時, 也成立.當時,由(1)知.下證:當時,上面不等式化為,令當時,故即所要證的不等式成立.當時,對求導得其中則即是上的減函數(shù),故從而進而是上的增函數(shù),因此所要證的不等式成立.當時,令則,由已證的結(jié)論知兩邊同乘以得所要證的不等式.綜上,當且時,有,當且僅當或時等號成立.4.（2012·四川高考理科·20）已知數(shù)列的前項和為，且對一切正整數(shù)都成立.（）求，的值；（）設，數(shù)列的前項和為，當為何值時，最大？并求出的最大值.【解題指南】（）直接把代入

5、，構(gòu)造關(guān)于，的方程組求解；（）先求出數(shù)列的通項公式，再求數(shù)列的通項公式，由對數(shù)的運算性質(zhì)，可知數(shù)列為單調(diào)遞減的等差數(shù)列，把所有正項求和即可.【解析】（）取n=1,得 取n=2,得 又-，得 若a2=0, 由知a1=0, 若a2, 由解得，綜上可得，a1=0，a2=0或.（）當a1>0時,由（I）知當, (2+)an-1=S2+Sn-1， 所以an=,所以.令. 所以數(shù)列bn是單調(diào)遞減的等差數(shù)列（公差為），從而 b1>b2>>b7=，當n8時，bnb8=，故n=7時，Tn取得最大值，且Tn的最大值為T7=.5、（2012·四川高考文科·20）已知數(shù)列的前項和為，常數(shù)，且對一切正整數(shù)都成立.（）求數(shù)列的通項公式；（）設，當為何值時，數(shù)列的前項和最大？【解析】（）取n=1,得 若a1=0,則s1=0, 當n. 若a1. 當n 兩式相減得2an-2an-1=an，所以an=2an-1（n2）,從而數(shù)列an是等比數(shù)列.所以an=a1·2n-1=綜上，當a1 = 0時, 當a1 .（）當a1>0