廣東廣州高二數(shù)學上學期期末考試試題含解析新人教A版

1、2012-2013學年廣東省廣州市高二(上)期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.1. (5分)已知全集U=1,2,3,4,5,集合A=1,3,則？uA=()A.?B.1,3C.2,4,5D.1,2,3,4,5考點：補集及其運算.分析：根據(jù)補集的定義直接求解：？uA是由所有屬于集合U但不屬于A的元素構(gòu)成的集合.解答:一解：根據(jù)補集的定義，？uA是由所有屬于集合U但不屬于A的元素構(gòu)成的集合，由已知，有且僅有2,4,5符合元素的條件.?uA=2,4,5故選：C.點評：本題考查了補集的定義以及簡單求解，

2、屬于簡單題.2. (5分)已知點P(3,-4)是角“終邊上的一點，則tana=()A._JB._£C.D.g|1|1口|昌_考點：任意角的三角函數(shù)的定義.專題：三角函數(shù)的求值.分析：直接利用正切函數(shù)的定義，即可得到結(jié)論.解答：解：二點P(3,-4)是角“終邊上的一點，故選A.點評：本題考查正切函數(shù)的定義，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3. (5分)若直線y=ax+3與直線y=-2x+a垂直，則實數(shù)a的值為()A.-2B.2C.J.D.工|_|3|同_考點：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系.專題：直線與圓.分析：由給出的直線的方程求出兩條直線的斜率，因為兩條直線互相垂直，所以斜率之積

3、等于-1,列式后可以求得實數(shù)a的值.解答：解：直線y=ax+3的斜率為k1=a,直線y=-2x+a的斜率為k2=-2.因為直線y=ax+3與直線y=-2x+a垂直，所以k?k2=-1,即ax(-2)=-1,解得：a.2故選D.點評：本題考查了直線的一般式方程與直線垂直的關(guān)系，解答此類問題時，如果不需要討論,可以求出兩直線的斜率，利用斜率之積等于-1解決，若y的系數(shù)含有字母，可直接利用兩直線Ax+Biy+G=0與Ax+B2y+C2=0垂直的充要條件為AiAz+BB2=0解決.此題是基礎(chǔ)題.4. （5分）要用一根鐵絲焊接圍成一個面積為9的矩形框，不考慮焊接損耗，則需要鐵絲的長度至少為（）A.24B

4、.12C.6D.3考點：基本不等式；函數(shù)最值的應(yīng)用.專題：不等式的解法及應(yīng)用.分析：設(shè)矩形的長為x,寬為v,則xy=9,鐵絲的長度為2（x+y）,利用基本不等式，即可得到結(jié)論.解答：解：設(shè)矩形的長為x,寬為y,則xy=9，鐵絲的長度為2（x+y）R2?2d=12當且僅當x=y=3時，鐵絲的長度最小為12,故選B.點評：本題考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.A|、5. （5分）如圖，在邊長為2的正方形ABCDrt隨機取一點P,分別以AB、C、D為圓心、1為半徑作圓，在正方形ABCg的四段圓弧所圍成的封閉區(qū)域記為M（陰影部分），則點P取自區(qū)域M的概率是（）B.TTC.1

5、兀D.“11._4。2考點：幾何概型.專題：概率與統(tǒng)計.分析：由題意知本題是一個幾何概型，試驗發(fā)生包含的所有事件是正方形面積S=2X2,而陰影部分區(qū)域可以看作是由邊長為2的正方形面積減去半徑為1的圓的面積得到，最后利用幾何概型的概率公式解之即可.解答：解：由題意知本題是一個幾何概型，試驗發(fā)生包含的所有事件是矩形面積S=2X2=4,陰影部分區(qū)域的面積是4-兀，由幾何概型公式得到P=1,44故選C.點評：本題主要考查了幾何概型，解題的關(guān)鍵求陰影部分的面積，同時考查了計算能力，屬于中檔題.6. （5分）某幾何體的三視圖（均為直角三角形）及其尺寸如圖所示，則該幾何體的體積為得黑圖A.1B.2C.工D.

6、1IBI國色II_考點：由三視圖求面積、體積.專題：空間位置關(guān)系與距離.分析：先根據(jù)三視圖判斷出幾何體的形狀及長度關(guān)系，然后利用棱錐的體積公式求出幾何體的體積.解答：解：由三視圖知，該幾何體為底面為直角邊長分別為1和2的直角三角形，一條側(cè)棱垂直底面，幾何體的高為1,，該幾何體的體積為V=lshJxlxiX2X1=l3323故選B.點評：解決三視圖的題目，關(guān)鍵是由三視圖判斷出幾何體的形狀及度量長度，然后利用幾何體的面積及體積公式解決.7. （5分）函數(shù)f（x）=4二-2的零點所在的區(qū)間為（）A.B.C.D.考點：函數(shù)零點的判定定理.專題：探究型.分析：利用根的存在定理，分別判斷，各區(qū)間端點處函數(shù)

7、值的符合是否相反，從而確定零點所在的區(qū)間.解答,解：函數(shù)f（K）二爪-2在（0,+8）上單調(diào)遞增.咽咚-&<O,f二五-2二1-2<0,:'專號<0,f=所以；/,所以根據(jù)根的存在性定理可知函數(shù)f(工)二q-2的零點所在的區(qū)間為故選D.點評：本題主要考查函數(shù)與方程的關(guān)系，利用根的存在定理去判斷函數(shù)零點所在區(qū)間，是解決本題的關(guān)鍵.8. (5分)已知等差數(shù)列an的首項為4,公差為4,其前n項和為S,則數(shù)列=!_的前nSn項和為()A.B.C;D2(口+1)如(n+1)n(nfl)n+1考點：數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì).專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列.分析：利用等差數(shù)列的

8、前n項和即可得出再利用“裂項求和”即可得出數(shù)列，的前n項和.解答：解：n=4n+n-”M4=2n2+2n,二T二占，.Sn2n2+2n2nn+1數(shù)列_L的前n項和Sr=Wa”)+=-)-=.2223nn+12n+12(n+1)故選A.點評：熟練掌握等差數(shù)列的前n項和公式、“裂項求和”是解題的關(guān)鍵.9. (5分)在長方形ABCM,AB=2,AD=1,則而,而=()A.4B.2C.-2D.卜4考點：平面向量數(shù)量積的運算.專題：計算題.分析：依照向量模的幾何意義求出兩向量的模，再求出夾角，計算即可.解答：解：易知田匕2五，I而|二2，所以原式=|AC|*|CDI*cos(1MO"45&qu

9、ot;)=2、,反x2x(-)=-4故選D點評：本題考查向量數(shù)量積的基本運算，屬于基礎(chǔ)題.此題易錯點在于兩向量夾角應(yīng)為135°,而非45°.10. (5分)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,若存在與x無關(guān)的正常數(shù)M,使|f(x)|WM|x|對一切實數(shù)x恒成立，則稱f(x)為有界泛函.有下面四個函數(shù)：f(x)=1;f(x)=x2；f(x)=2xsinx;其中屬于有界泛函的是()A.B.C.|D.考點：函數(shù)恒成立問題.專題：計算題；新定義.分析：本題考查閱讀題意的能力，根據(jù)有界泛函的定義進行判定：對于可以利用定義直接加以判斷，對于可以利用絕對值的性質(zhì)將不等式變形為|x|忘日對于，即|

10、2sinx|WM只需M>2,對于，將不等式變形為|wm可以求出符合條件的m的最小值J+x+2解答：解：對于，顯然不存在M都有1WM|x|成立，故錯；對于，|f(x)|=|x2|WM|x|,即|x|WM不存在這樣的M對一切實數(shù)x均成立，故不是有界泛函；錯對于，f(x)|=|2xsinx|<M|x|,即|2sinx|<M,當M>2時，f(x)=3xsinx是有界泛函.對對于，|f(x)二T-1)|wM|x|,即|=WM只需義x+x+2x+x+2x"+x+24對綜上所述，故選B點評：本題屬于開放式題，題型新穎，考查數(shù)學的閱讀理解能力.知識點方面主要考查了函數(shù)的最值及

11、其幾何意義，考生需要有較強的分析問題解決問題的能力，對選支逐個加以分析變形，利用函數(shù)、不等式的進行檢驗，方可得出正確結(jié)論.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.11. (5分)已知哥函數(shù)f(x)=x"的圖象過點(2,則函數(shù)f(x)的定義域是0,+00).考點：哥函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域.專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析：依題意可求得a=2,從而可求f(x)的定義域.解答：解：二d(x)=x”的圖象過點(2,42),-2"=近，a=工,22.f(x)=x2,，函數(shù)f(x)的定義域是0,+8).故答案為：0,+8).點評：本題考查募函數(shù)的性質(zhì)，求得“是關(guān)鍵，屬

12、于基礎(chǔ)題.12. (5分)如圖給出的是計算二值的一個程序框圖，當程序結(jié)束時，n的值23n為2013.考點：循環(huán)結(jié)構(gòu).專題：計算題.分析：利用循環(huán)結(jié)構(gòu)的功能和判斷框即可得出.解答：解：當i=2012時，i<2013,執(zhí)行“是"后得到i=2013,2013<2013不成立，執(zhí)行“否”，輸出S.故答案為2013.點評：正確理解循環(huán)結(jié)構(gòu)的功能和判斷框是解題的關(guān)鍵.13. (5分)已知ABC的三個頂點的坐標分別是A(2,4,0),B(2,0,3),C(2,2,z),若/C=90,則z的值為-1或4.考點：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.專題：計算題；平面向量及應(yīng)用.分析：.一-一

13、一，一一，一，一八由/C=90,可得AC*BC=0,利用向量的數(shù)量積運算可求得z值.解答：一_一解：AC=(0,-2,z),BC=(0,2,z-3),因為/C=90,所以ACBC=0,即0-2X2+Z(z3)=0,解得z=-1或4,故答案為：-1或4.點評：本題考查利用數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.14.(5分)設(shè)實數(shù)x,y滿足*則x2+y2的取值范圍是8,34x+y-4>0考點：簡單線性規(guī)劃.專題：計算題；不等式的解法及應(yīng)用.分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的ABC及其內(nèi)部，設(shè)P(x,y),可得x2+y2=|OP|2表示。P兩點距離的平方之值，因此運動點P并加以觀

14、察可得|OP|的最大、最小值，即可得到x2+y2的范圍.解答：陣3解：作出不等式組4x-尹20表示的平面區(qū)域，x+y-4>0得到如圖的ABC及其內(nèi)部，其中A(3,5),B(3,1),C(1,3)設(shè)P(x,y)為區(qū)域內(nèi)一個動點則10P|=匕十戶因此x2+y2=|OP|2表示。P兩點距離的平方之值當P與A重合時|OP|=/I”M兄達到最大值，當P與原點O在BC上的射影D重合量，|OP|=32=*=2d歷達到最小值，|OP|2的最小值為8,最大值為34,即x2+y2的取值范圍是8,34故答案為：8,34£點評：本題給出二元一次不等式組，求x2+y2的取值范圍，著重考查了兩點的距離公式

15、、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟和推證過程15. (12分)在平面直角坐標系xOy中，已知A(3,1),C(1,0).(1)求以點C為圓心，且經(jīng)過點A的圓C的標準方程；(2)若直線l的方程為x-2y+9=0,判斷直線l與(1)中圓C的位置關(guān)系，并說明理由.考點：直線與圓的位置關(guān)系；圓的標準方程.專題：直線與圓.分析：（1）因為圓C的圓心為C（1,0）,可設(shè)圓C的標準方程為（X-1）2+y2=r2.把點A（3,1）代入圓C的方程求得r2=5,從而求得圓C的標準方程.（2）由于圓心C到直線l的距

16、離為弓二旦不孳竺二2旄，大于半徑，可得直線lV22+l2與圓c相離.解答：解：（1）因為圓C的圓心為C（1,0）,可設(shè)圓C的標準方程為（X-1）2+y2=r2.因為點A（3,1）在圓C上，所以（3-1）2+12=r2,即r2=5.所以圓C的標準方程為（x-1）2+y2=5.（2）由于圓心C到直線l的距離為弓二旦開冬工M二2泥.V22+l2因為2煙>低,即d>r,所以直線l與圓C相離.點評：本小題主要考查圓的標準方程、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，點到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題.16. （12分）已知函數(shù)f（x）=sinx+/scosx,kER.（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期

17、；（2）若f（Q-工）（0,工），求f（2口-工）的值.3523考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的周期性及其求法.專題：三角函數(shù)的求值.分析：（1）利用兩角和的正弦公式及周期即可得出；（2）利用（1）及已知可得sina,進而得到cosa,于是可得f（2d-工）3解答：解：（1）=S）=sinx+V3cosx=2（lsinx+X2COSI）=2sin（k+f）.所以函數(shù)f（x）的最小正周期是2兀.（2）由（1）得，f（工）=2臺in（k+?）.因為f（Q-三）所以f（CL-工）=2sin（Q-"+"）=2sinCl=-.353335即,.ii：.5因為（0，今），所以

18、二也-sin2cl附所以：一:口）二-:-：;i.:口.=4sinacosa點評：本小題主要考查周期的概念，考查三角恒等變換的運算以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.17. （14分）對某校高二年級學生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取N名學生作為樣本,得到這N名學生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下：分組頻數(shù)頻率3,6)10m6,9)nP9,12)4q12,1520.05合計N1（1）求出表中N,p及圖中a的值；（2）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于9次的學生中任選2人，求至少有一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間12,15內(nèi)的概率.考點：古典概型及其概率計算公式

19、；頻率分布直方圖.專題：概率與統(tǒng)計.分析：（1）由分組12,15）內(nèi)的頻數(shù)是2,頻率是0.05,可得常0。5,所以N=40.再由10+n+4+2-40,解得n-24,由此求得中31以及已的值.PR3解答：解：（1）由分組12,15）（2）記“至少有一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間12,15）內(nèi)”為事件A.這個樣本中參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)不少于9次的學生共有4+2-6人.從這6人中任選2人的所有可能結(jié)果，用列舉法求得共15種，事件A包含的Z果有9種，由此求得事件A發(fā)生的概率.內(nèi)的頻數(shù)是2,頻率是0.05,可得上0所以N=40.N1因為頻數(shù)之和為40,所以所以，二6DN40U'O10+n+4+2-40

20、,解得n-24.因為a是對應(yīng)分組6,9）的頻率與組距的商，所以，2.33（2）記“至少有一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間12,15）內(nèi)”為事件A.這個樣本中參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)不少于9次的學生共有4+2-6人.記在區(qū)間9,12）內(nèi)的4人為a1,a2,as,a,，在區(qū)間12,15）內(nèi)的2人為bbb2.從這6人中任選2人的所有可能結(jié)果有：a1,a2,ai,as,a1,a4,a1,bi,a1,b2,a2,as,a2,aa2,n,a2,bz,as,aj,as,b,as,b?,a,，b,a4,b?,bbb?,共15種.事件A包含的結(jié)果有：a1,b1,a1,b2,a2,b1,a2,b2,as,b1,as,b2,a4

21、,b1,a4,b2,bbb2,共9種.所以所求概率為P(A)二且且0.6.155點評：本小題主要考查頻數(shù)、頻率等基本概念，考查古典概型等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題.18. (14分)如圖所示，AB是。0的直徑，點C是。0圓周上不同于A、B的任意一點，PAL平面ABG點E是線段PB的中點，點M在標上，且MO/AC(1)求證：BCL平面PAC(2)求證：平面EOM平面PAC考點：直線與平面垂直的判定；平面與平面平行的判定.專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離.分析：(1)由PAL平面ABC證出PALBC由直徑所對的圓周角證出BCLAC再利用線面垂直判定定理，即可證出BCL平面PAC(2)根據(jù)三角形中位線定理

22、證出EO/PA從而得到EO/平面PAQ由MO/AC證出MO/平面PAC再結(jié)合面面平行判定定理即可證出平面EOM平面PAC解答：解：(1)二.點C是以AB為直徑的。0圓周上不同于A、B的任意一點，/ACB=90,即BCLAC PAL平面ABCBC?平面ABC .PALBC .AC?平面PACPA?平面PACA6PA=A, BCL平面PAC(2)二點E是線段PB的中點，點O是線段AB的中點，EO/PA PA?平面PACEC?平面PACEO/平面PAC MO/AGAC?平面PAGMO平面PAC .MO/平面PAC EO?平面EOMMC?平面EOMEOHMO=O 平面EOM平面PAC本題給出特殊錐體，

23、求證線面垂直并證明面面平行，著重考查直線與平面垂直的判定、平面與平面平行的判定定理等知識，考查空間想象能力，屬于中檔題.*19. (14分)已知數(shù)列an滿足ai=1,a+1=a+X*2n(nN，入為常數(shù))，且ai,a2+2,a3成等差數(shù)列.(1)求入的值；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)設(shè)數(shù)列bn滿足bn=n,證明：bn上.an+316考點：等差數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列與不等式的綜合.專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列.分析：(1)利用數(shù)列遞推式，結(jié)合a1,az+2,a3成等差數(shù)列，即可求入的值；(2)由己工尸；a(nCN),可得a-a_l=gn(n>2),利用疊加法，結(jié)n+1nn一口i合等比數(shù)列的求和

24、公式，即可求數(shù)列an的通項公式；(3)確定數(shù)列bn的通項，可得其單調(diào)性，即可證明結(jié)論.解答：(1)解：因為a1=1,%+1=0rl+12力(neN*),所以a7=a1+人21=1+2K，a1=a9+X2=1+6-因為aba2+2,a3成等差數(shù)列,所以a1+a3=2(az+2),即2+6X=2(3+2入)，解得入=2.(2)解：由(1)得，入=2,所以己自+1二&仇+2"1(nCN*),所以a-ai=Z"(n>2).當n>2時)an=a1+(%a1)+(a3a2)+(anan-1)=1+22+23+2n=11于"-2""=2匚3.1-2又a1也適合上式,所以數(shù)列(-8,(3)證明：由(a的通項公式為_n11+1-2(nCN)."一上。22)得，二2.-3,所以二飛(口+1)22n+2n，-n2+Zn+l2n+1(n-1)2+2I*21叱1當n>3時，(n1)2+2v0,所以當n>3時，bn+ibn0,即bn+ibn.又國飛上門檢所以屋1>3臉(近”單調(diào)性等基礎(chǔ)知識以及運算求解能本小題主要考查等差數(shù)列的概念，考查數(shù)列求和、力、推理論證能力等.20. (14分)設(shè)a為常數(shù)，aCR,函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,x