線性代數(shù)講稿1

1、線性代數(shù)講稿講稿編者： 張 凱 院 使用教材：線性代數(shù) 西北工業(yè)大學出版社西工大數(shù)學系編教學參考：線性代數(shù)典型題分析解集 西北工業(yè)大學出版社 徐 仲 等編第一章 n階行列式§1.2 排列及其逆序數(shù)1排列：個依次排列的元素 例如, 自然數(shù)1,2,3,4構成的不同排列有4!=24種 1234, 1342, 1423, 1432, 1324, 1243 2134, 2341, 2413, 2431, 2314, 2143 3124, 3241, 3412, 3421, 3214, 3142 4123, 4231, 4312, 4321, 4213, 4132 例1 互異元素構成的不同排列有

2、種 解 在個元素中選取1個 種取法 在剩余個元素中選取1個 種取法 在剩余個元素中選取1個 種取法 在剩余2個元素中選取1個 2種取法 在剩余1個元素中選取1個 1種取法- 總共種取法2標準排列：個不同的自然數(shù)從小到大構成的排列個不同的元素按照某種約定次序構成的排列3逆序數(shù)： (1) 某兩個數(shù)（元素）的先后次序與標準次序不同時, 稱這兩個數(shù)（元素）之間有1個逆序 (2) 排列中逆序的總和稱為排列的逆序數(shù), 記作 算法：固定, 當時, 滿足的“”的個數(shù)記作（稱為的逆序數(shù)）, 那么 例2 排列6372451中, 例3 排列, 求逆序數(shù) 解 記作, , , , 4奇偶性：排列奇數(shù)時, 稱為奇排列；偶

3、數(shù)時, 稱為偶排列 5對換： 相鄰對換： 一般對換： 定理1 排列經過1次對換, 其奇偶性改變 證 先證相鄰對換：(1) (2) ：對換后增加1, 不變, 故；：對換后不變, 減少1, 故 所以與的奇偶性相反 再證一般對換：(1) (2) (3) (1)(2)經過次相鄰對換 (2)(3)經過次相鄰對換 (1)(3)經過次相鄰對換, 所以與的奇偶性相反 推論 奇排列標準排列, 對換次數(shù)為奇數(shù) 偶排列標準排列, 對換次數(shù)為偶數(shù)§1.3 階行列式的定義 1二階： 2三階： (1) 乘積中三個數(shù)不同行、不同列： 行標(第1個下標)：標準排列 123 列標(第2個下標)：是1,2,3的某個排列

4、(共6種) (2) 正項：123, 231, 312為偶排列 負項：132, 213, 321為奇排列 于是 , 3階：個數(shù), 稱 為階行列式, 它表示數(shù)值, 其中, 求和式中共有項 例3 計算, . 解 中只有一項不顯含0, 且列標構成排列的逆序數(shù)為, 故中只有一項不顯含0, 且列標構成排列的逆序數(shù)為 故結論：以主對角線為分界線的上(下)三角行列式的值等于主對角線上元素 的乘積 以副對角線為分界線的上(下)三角行列式的值等于副對角線上元素 的乘積, 并冠以符號 特例：， 定理2 (2) 證 由定義知 (1) 先證(2)中的項都是(1)中的項：交換乘積次序可得 (3)偶數(shù) 偶數(shù)次對換 偶數(shù)次對換 所以偶數(shù)