微積分公式幻ppt課件

1、3.2 微積分基本公式 3.2.1 原函數(shù)和不定積分的概念 3.2.2 基本積分表 3.2.3 微積分基本公式3.2.1 原函數(shù)和不定積分的概念 一、案例 二、概念和公式的引出 一、案例路程函數(shù)已知物體的運(yùn)動(dòng)方程為 2)(tts，則其速度為 tttstv2)()()(2這里速度2t是路程t2的導(dǎo)數(shù)，反過(guò)來(lái)，路程t2又稱(chēng)為速度2t的什么函數(shù)呢？若已知物體運(yùn)動(dòng)的速度v(t)，又如何求物體的運(yùn)動(dòng)方程s(t)呢？ 二、概念和公式的引出二、概念和公式的引出如果在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)，可導(dǎo)函數(shù) F(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x), 即當(dāng) Ix時(shí), xfxF或 xxfxFdd則稱(chēng)函數(shù) F(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)的一個(gè)原

2、函數(shù) 原函數(shù)原函數(shù)假設(shè) xF是函數(shù) xf在開(kāi)區(qū)間 I內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，即 xxfd CxF其它符號(hào)的名稱(chēng)與定積分中的名稱(chēng)一致 不定積分不定積分在該區(qū)間 I內(nèi)的不定積分，記作 xxfd稱(chēng)為 xfC為任意常數(shù)） xf的所有原函數(shù)的表達(dá)式 CxF那么 （C稱(chēng)為積分常數(shù)， xfxxfd dd df(x) xf xx或 Cxfxxfd或 Cxfxf d函數(shù)的不定積分與導(dǎo)數(shù)或微分之間的運(yùn)算關(guān)系：3.2.2 基本積分表 一、案例 二、概念和公式的引出一、案例一、案例 冪函數(shù)的不定積分冪函數(shù)的不定積分 于是Cxxx1d11類(lèi)似地類(lèi)似地, , 由基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，可以寫(xiě)出與之對(duì)應(yīng)的不定積分公式由基本初等函數(shù)

3、的求導(dǎo)公式，可以寫(xiě)出與之對(duì)應(yīng)的不定積分公式 xx11因?yàn)?1x是 x的一個(gè)原函數(shù)1.基本積分表 Ckxxkd(1)k為常數(shù)） (2)Cxxx1d11(3)Cxxxlnd1(4)Caaxaxxlnd(5)Cexexxd(6)Cxxxcosdsin(7)Cxxxsindcos(8)Cxxxtandsec2 二、概念和公式的引出(9)Cxxxcotdcsc2(10)Cxxxxsecdtansec(11)Cxxxxcscdcotcsc(12)Cxxxarcsind112(13)Cxxxarctand1122、不定積分的性質(zhì) xxgxxfxxgxfddd 即兩個(gè)函數(shù)和差的不定積分等于這兩個(gè)函數(shù)的不定積分

4、的和差）。性質(zhì)可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形 xxfkxxkfdd0kk為常數(shù) 即被積函數(shù)中不為的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外(1) (1) 性質(zhì)性質(zhì)1 1(2) (2) 性質(zhì)性質(zhì)2 23.2.3 微積分基本公式 一、案例 二、概念和公式的引出 三、進(jìn)一步練習(xí)列車(chē)快進(jìn)站時(shí)必須減速若列車(chē)減速后的速度為 ttv311（km/min），問(wèn)列車(chē)應(yīng)該在離站臺(tái)多遠(yuǎn)的地方開(kāi)始減速？解 由變速直線運(yùn)動(dòng)路程的計(jì)算，有 303( )dsv tt當(dāng)列車(chē)速度為 時(shí)停下，解出 3t（min）0311)(ttv 一、案例列車(chē)制動(dòng) ttvts311)(，且 00 s因而，求 dttv30)(即s3)轉(zhuǎn)化為求s(t),而 211( )

5、d(1)d36stv ttttttC 303( )dsv tt5 . 136132（km）即列車(chē)在距站臺(tái)1.5km處開(kāi)始減速由速度與路程的關(guān)系 tstv知路程 ts滿足列車(chē)從減速開(kāi)始到停下來(lái)的3min內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程為將s(0)=0代入上式，得C=0，故 216sttt原函數(shù)，那么 dbaf x xF bF a baxF此公式稱(chēng)為微積分基本公式，也稱(chēng)為牛頓萊布尼茲公式 xF是連續(xù)函數(shù) xf在區(qū)間 ba,若函數(shù)上的一個(gè) 二、概念和公式的引出二、概念和公式的引出微積分基本公式微積分基本公式2、定積分的性質(zhì) xxgxxfxxgxfddd即兩個(gè)函數(shù)和(差)的定積分等于它們定積分的和(差) 性質(zhì)可推廣到有

6、限個(gè)函數(shù)的情形 xxfkxxkfddk為常數(shù) 即被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外 (1) (1) 性質(zhì)性質(zhì)1 1(2) (2) 性質(zhì)性質(zhì)2 2 牛頓萊布尼茨公式提供了計(jì)算定積分的簡(jiǎn)便方法，即求定積分的值，只要求出被積函數(shù) f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)，然后計(jì)算原函數(shù)在區(qū)間a,b上的增量F(b)F(a)即可. 該公式把定積分的計(jì)算歸結(jié)為求原函數(shù)的問(wèn)題，揭示了定積分與不定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系.練習(xí)練習(xí)1 1 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程 已知一物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知一物體作直線運(yùn)動(dòng)，(1)求速度v與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系； (2)求路程s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系 三、進(jìn)一步的練習(xí)三、進(jìn)一步的練習(xí)ttasin3122且當(dāng) 0

7、t時(shí)， , 5v3s加速度為 解 (1)由速度與加速度的關(guān)系 )()(tatv知速度 )(tv滿足 tttatvsin312)()(2且5)0(v求不定積分，得 23(123sin )43costttttCd將5)0(v代入上式得 C=2所以 2cos34)(3tttv(2)由路程與速度的關(guān)系 )()(tvts，知路程 )(ts滿足2cos34)()(3tttvts且3)0(s求不定積分，得 34( )(43cos2)d3sin2s tttttttC將代入上式得 C=3所以 3)0(s4( )3sin23s tttt練習(xí)練習(xí)2 2 磁場(chǎng)能量磁場(chǎng)能量 在電壓和電流關(guān)聯(lián)參考方向下，在電壓和電流關(guān)聯(lián)

8、參考方向下，電感元件吸收的功率為ddipuiLit在dt時(shí)間內(nèi)，電感元件在磁場(chǎng)中的能量增加量為dddWp tLi i電流為零時(shí)，磁場(chǎng)亦為零，即無(wú)磁場(chǎng)能量；當(dāng)電流從0增大到i時(shí)，電感元件儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量為201d2iWLi iLi由此可見(jiàn)，磁場(chǎng)能量只與最終的電流值有關(guān)，而與電流建立的過(guò)程無(wú)關(guān)。 練習(xí)練習(xí)3 3 電流函數(shù)電流函數(shù) 若t=0時(shí)i=2A，求電流i關(guān)于時(shí)間t的函數(shù). 2d40.6dittt一電路中電流關(guān)于時(shí)間的變化率為 解 由 26 . 04ttdtdi得 )(ti2(40.6 )dttt將代入上式得 C=2所以 2)0(i)(ti2320.22tt2320.2ttC練習(xí)練習(xí)4 4 結(jié)冰厚度結(jié)冰厚度 起到時(shí)刻 t(單位：h)冰的厚度單位：cm），t 是正的常數(shù)