上海高考數(shù)學(xué)試卷及詳解理科

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。上海高考數(shù)學(xué)試卷及詳解理科2003年上海高考數(shù)學(xué)試卷（理科）2006年上海高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一填空題：（本大題共12小題，每小題4分，共48分）1 已知集合A = 1 , 3 , 2m 1 ，集合B = 3 , m2 。若B Í A，則實(shí)數(shù)m =_。2 已知圓x2 4x 4 +y2 = 0的圓心是點(diǎn)P，則點(diǎn)P到直線x y 1 = 0的距離是_。3 若函數(shù)f(x) = ax（a > 0且a ¹ 1）的反函數(shù)的圖像過點(diǎn)( 2 , 1 )，則a =_。4 計(jì)算：=_。5 若復(fù)數(shù)z同

2、時(shí)滿足（i為虛數(shù)單位）。則=_。6 如果，且a是第四象限的角，那么=_。7 已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F(, 0 )，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_。8 在極坐標(biāo)系中，是極點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。則OAB的面積是_。9 兩部不同的長(zhǎng)篇小說各由第一、二、三、四卷組成，每卷1本，共8本。將它們?nèi)我獾嘏懦梢慌?，左?本恰好都屬于同一部小說的概率是_。（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）10 如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”。在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是_。11 若曲線y2 = |x| + 1與直線y = kx + b沒

3、有公共點(diǎn)，則k , b分別應(yīng)滿足的條件是_。12 三個(gè)同學(xué)對(duì)問題“關(guān)于x的不等式x2 + 25 + |x3 5x2| ³ ax在 1 , 12 上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍”提出各自的解題思路。 甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”。 乙說：“把不等式變形為左邊含變量x的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值” 丙說：“把不等式兩邊看成關(guān)于x的函數(shù)，作出函數(shù)圖像” 參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問題的正確結(jié)論，即a的取值范圍是_。二選擇題：（本大題共4小題，每小題4分，共16分）13 如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）ADCB(A) (B)(C) (

4、D)14 若空間中有四個(gè)點(diǎn)，則“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一條直線上”是“這四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面上”的（ ）(A)充分非必要條件 (B)必要非充分條件(C)充分必要條件 (D)既非充分又非必要條件15 若關(guān)于x的不等式( 1 + k2 )x £ k4 + 4的解集是M，則對(duì)任意實(shí)常數(shù)k，總有（ ）(A) 2 Î M , 0 Î M (B) 2 Ï M , 0 Ï M (C) 2 Î M , 0 Ï M (D) 2 Ï M , 0 Î M16 如圖，平面中兩條直線l1和l2相交于點(diǎn)O。對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M，若p ,

5、 q分別是M到直線l1和l2的距離，則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)( p , q )是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”。已知常數(shù)p 0 , q 0，給出下列三個(gè)命題： 若p = q = 0，則“距離坐標(biāo)”為( 0 , 0 )的點(diǎn)有且僅有1個(gè)。 若pq = 0，且p + q ¹ 0，則“距離坐標(biāo)”為( p , q )的點(diǎn)有且僅有2個(gè)。 若pq ¹ 0，則“距離坐標(biāo)”為( p , q )的點(diǎn)有且僅有4個(gè)。上述命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3三解答題：（本大題共6小題，共86分）17（本小題滿分12分）求函數(shù)的值域和最小正周期。18（本小題滿分12分） 如圖，當(dāng)甲

6、船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救。甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援（角度精確到1°）？19（本小題滿分14分） 在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形。DAB = 60°，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，PO 平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60°。(1) 求四棱錐P-ABCD的體積；(2) 若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）。20（本小題滿分14分） 在平面直角坐標(biāo)系xO

7、y中，直線l與拋物線y2 = 2x相交于A , B兩點(diǎn)。(1) 求證：“如果直線l過點(diǎn)T( 3 , 0 )，那么”是真命題；(2) 寫出(1)中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由。21（本小題滿分16分）已知有窮數(shù)列an共有2k項(xiàng)（整數(shù)k ³ 2），首項(xiàng)a1 = 2。設(shè)該數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且an+1 = ( a 1 )Sn + 2 ( n = 1 , 2 , 2k 1 )，其中常數(shù)a > 1。(1) 求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2) 若，數(shù)列bn滿足( n = 1 , 2 , 2k )，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(3) 若(2)中的數(shù)列bn滿足不等式+£

8、; 4，求k的值。22（本小題滿分18分）已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a > 0，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。(1) 如果函數(shù)( x > 0 )的值域?yàn)?，求b的值；(2) 研究函數(shù)（常數(shù)c > 0）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；(3) 對(duì)函數(shù)和（常數(shù)a > 0）作出推廣 ，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例。研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論，不必證明），并求函數(shù)（n是正整數(shù)）在區(qū)間上的最大值和最小值（可利用你的研究結(jié)論）。2006年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試上海 數(shù)學(xué)試卷（理工農(nóng)醫(yī)類）1 解：由，經(jīng)檢驗(yàn)，為所求；2 解：由已知得圓心為：，由點(diǎn)到直線距離公

9、式得：；3解：由互為反函數(shù)關(guān)系知，過點(diǎn)，代入得：；4 解：；5解：已知；6解：已知；7 解：已知為所求；8解：如圖OAB中， (平方單位)； 9 解：分為二步完成： 1) 兩套中任取一套，再作全排列，有種方法； 2) 剩下的一套全排列，有種方法； 所以，所求概率為：；10解：正方體中，一個(gè)面有四條棱與之垂直，六個(gè)面，共構(gòu)成24個(gè)“正交線面對(duì)”；而正方體的六個(gè)對(duì)角截面中，每個(gè)對(duì)角面又有兩條面對(duì)角線與之垂直，共構(gòu)成12個(gè)“正交線面對(duì)”，所以共有36個(gè)“正交線面對(duì)”；11 解：作出函數(shù)的圖象， 如右圖所示： 所以，；12 解：由25|5|， 而，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立； 且，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立； 所以，

10、等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；故；二 ABCD13 解：由向量定義易得， （C）選項(xiàng)錯(cuò)誤；14 解： 充分性成立： “這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”有兩種情況：1）第四點(diǎn)在共線三點(diǎn)所在的直線上，可推出“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面上”；2）第四點(diǎn)不在共線三點(diǎn)所在的直線上，可推出“這四點(diǎn)在唯一的一個(gè)平面內(nèi)”； 必要性不成立：“四個(gè)點(diǎn)在同一平面上”可能推出“兩點(diǎn)分別在兩條相交或平行直線上”； 故選（A）15 解：選（A） 方法1：代入判斷法，將分別代入不等式中，判斷關(guān)于的不等式解集是否為； 方法2：求出不等式的解集：4；16 解：選（D） 正確，此點(diǎn)為點(diǎn)； 正確，注意到為常數(shù)，由中必有一個(gè)為零，另一個(gè)非零，從而可知有

11、且僅有2個(gè)點(diǎn)，這兩點(diǎn)在其中一條直線上，且到另一直線的距離為（或）； 正確，四個(gè)交點(diǎn)為與直線相距為的兩條平行線和與直線相距為的兩條平行線的交點(diǎn)；三解答題17 解 函數(shù)的值域是,最小正周期是；18 解 連接BC,由余弦定理得BC2=202+1022×20×10COS120°=700. 于是,BC=10. , sinACB=, ACB<90° ACB=41°乙船應(yīng)朝北偏東71°方向沿直線前往B處救援.19 解（1）在四棱錐P-ABCD中,由PO平面ABCD,得PBO是PB與平面ABCD所成的角, PBO=60°.在RtAOB

12、中BO=ABsin30°=1, 由POBO,于是,PO=BOtg60°=,而底面菱形的面積為2.四棱錐P-ABCD的體積V=×2×=2.（2）解法一：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),射線OB、OC、OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.在RtAOB中OA=,于是,點(diǎn)A、B、D、P的坐標(biāo)分別是A(0,0),B (1,0,0), D (1,0,0), P (0,0, ).E是PB的中點(diǎn),則E(,0,) 于是=(,0, ),=(0, ,).設(shè)的夾角為,有cos=,=arccos,異面直線DE與PA所成角的大小是arccos； 解法二：取AB的中點(diǎn)F,連接EF、

13、DF.由E是PB的中點(diǎn),得EFPA，F(xiàn)ED是異面直線DE與PA所成角(或它的補(bǔ)角)，在RtAOB中AO=ABcos30°=OP，于是, 在等腰RtPOA中，PA=，則EF=.在正ABD和正PBD中,DE=DF=， cosFED=異面直線DE與PA所成角的大小是arccos.20 解（1）設(shè)過點(diǎn)T(3,0)的直線交拋物線y2=2x于點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2). 當(dāng)直線的鈄率不存在時(shí),直線的方程為x=3,此時(shí),直線與拋物線相交于點(diǎn)A(3,)、B(3,). =3； 當(dāng)直線的鈄率存在時(shí),設(shè)直線的方程為，其中， 由得 又 ， ， 綜上所述，命題“如果直線過點(diǎn)T(3,0)，那么=3”是

14、真命題；(2)逆命題是：設(shè)直線交拋物線y2=2x于A、B兩點(diǎn),如果=3,那么該直線過點(diǎn)T(3,0).該命題是假命題. 例如：取拋物線上的點(diǎn)A(2,2)，B(,1)，此時(shí)=3,直線AB的方程為：，而T(3,0)不在直線AB上；說明：由拋物線y2=2x上的點(diǎn)A (x1,y1)、B (x2,y2) 滿足=3，可得y1y2=6，或y1y2=2，如果y1y2=6，可證得直線AB過點(diǎn)(3,0)；如果y1y2=2，可證得直線AB過點(diǎn)(1,0),而不過點(diǎn)(3,0).21 (1) 證明 當(dāng)n=1時(shí),a2=2a,則=a； 2n2k1時(shí), an+1=(a1) Sn+2, an=(a1) Sn1+2, an+1an=

15、(a1) an, =a, 數(shù)列an是等比數(shù)列. (2) 解：由(1) 得an=2a, a1a2an=2a=2a=2, bn=(n=1,2,2k). （3）設(shè)bn,解得nk+,又n是正整數(shù),于是當(dāng)nk時(shí), bn<； 當(dāng)nk+1時(shí), bn>. 原式=(b1)+(b2)+(bk)+(bk+1)+(b2k) =(bk+1+b2k)(b1+bk) =. 當(dāng)4,得k28k+40, 42k4+2,又k2,當(dāng)k=2,3,4,5,6,7時(shí),原不等式成立.22 解（1）函數(shù)y=x+(x>0)的最小值是2，則2=6, b=log29. (2) 設(shè)0<x1<x2,y2y1=. 當(dāng)<x1<x2時(shí), y2>y1, 函數(shù)y=在,+)上是增函數(shù)； 當(dāng)0<x1<x2<時(shí)y2<y1, 函數(shù)y=在(0,上是減函數(shù). 又y=是偶函數(shù)，于是，該函數(shù)在(,上是減函數(shù), 在,0)上是增函數(shù)； (