蘇科版2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊 圓的對稱性（專項練習(xí)）（培優(yōu)練）

專題2.6圓的對稱性（專項練習(xí)）（培優(yōu)練）

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.（2024?新疆烏魯木齊?模擬預(yù)測）如圖，在半徑為5的圓。中，AB,CZ）是互相垂直的兩條弦，垂足為

A.3B.4C.3亞D.4垃

2.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）如圖，AB、CD是回。的弦，且AB=CD,若N3QD=84。，則NACO的度

數(shù)為（）

3.（2024?浙江杭州?二模）如圖，45是。。的弦，CD是。。的直徑，CDLAB于點、E.在下列結(jié)論中,

不一定成立的是（）

A.AE=BEB.ZCBD=90°

C.ZOBD=ZABCD.NCOB=NC

4.（2024?陜西西安?一模）如圖，在。。內(nèi)，以弦A3為邊作等邊△ABE,AE.鹿的延長線交。。于C、D

兩點，過。作。/，應(yīng)＞于點尸，延長尸。交AC于點G,若DE=4,EG=6,則A3的長為（）

5.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?二模）如圖，。。的半徑為3,點A為。。上一點，連接Q4,以。4為一條直角

邊RSOAB,使NAO8=90°,03=4,A3交。。于點C,則3c的長為（）

6.（2022?山東煙臺?一模）如圖，48是半圓。的直徑，以弦/C為折痕折疊AC后，恰好經(jīng)過點O,則/AOC

C.130°D.145°

7.（18-19九年級上?浙江杭州?期中）如圖，團。的直徑48=8,尸是圓上任一點（A、3除外），ZAPS的

平分線交回。于C,弦所過AC、BC的中點M、N,則E尸的長是（）

A.473B.2/C.6D.275

8.（2024?江西九江?三模）如圖1,A3是。。的直徑，C是。。上的一點，連接AC,BC,。是AC上的動

點，過點。作DE1AC于點￡.設(shè)==,y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示，若尸是

圖象的最高點，則A3的長是（）

9.（2023?四川樂山?中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=-x-2與x軸、y軸分別交于4

8兩點，C、。是半徑為1的上兩動點，且0）=血，尸為弦CD的中點.當C、。兩點在圓上運動時,

△MB面積的最大值是（）

A.8B.6C.4D.3

10.（2023九年級上?全國?專題練習(xí)）如圖，在。。中，直徑AB=10,于點及8=8.點、F是

弧8C上動點，且與點8、C不重合，P是直徑A3上的動點，^m=PC+PF,則加的取值范圍是（）

A.8<m<4^B.4A/5<7?<10C.8</7?<10D.6<m<10

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11.（2024?湖南長沙?二模）如圖，。。的半徑OA為13,弦AB的長是24,ONLAB,垂足為N,則ON的

長為.

12.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，在。。中，直徑A5LCD于點￡,CD=6,BE=\,則弦AC的

長為.

13.（2024九年級下?浙江?專題練習(xí)）如圖，點AB,C在半徑長為4的。。上，點、D,E分別是弦A3,

弦BC的中點，連接OE,若弧A3的度數(shù)為70。，弧3c的度數(shù)為50°,則DE的長度為.

14.（2023?廣東珠海?三模）如圖，。。是Rt^ABC的外接圓，交。。于點E,垂足為點。，AE,

CB的延長線交于點尸，若。D=3,AB=8,則△AFC的面積是.

15.（23-24九年級上?四川南充?期末）如圖，在00中，圓心角44。8=120。,（7是A8的中點，作CDLOB,

與。。交于。，則圖中與5。相等的線段有條.

/O/\

ArB

C

16.（2024九年級?全國?競賽）如圖，。。為AABC的外接圓，AO的延長線交。。于點O,且垂直BC于點

E,若。。的半徑為10cm,3c=16cm,則AE與OE的長度之比為.

17.（23-24九年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）如圖，在。。中，3C為。。的弦，點A在。。內(nèi)（點0、

A在弦3c的同一側(cè)），連接。4、AB,若線段。4的長為8,線段AB的長為12,NOAB的度數(shù)與—ABC

的度數(shù)相等，均為60°,則弦BC的長為

18.（22-23九年級上?江蘇泰州?期中）如圖，點M是半圓。。的中點，點/、C分別在半徑0M和上,

NACB=90。，AC=3,3c=4,則。。的半徑為.

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

19.（8分）（23-24九年級上?廣東廣州?期中）如圖，以AABC的BC邊上一點。為圓心的圓，經(jīng)過A、8兩

點，且與3C邊交于點E,￡＞為BE的下半圓弧的中點，連接交BC于/，若AC=FC.

（1）連接A。，求證：NQ4c=90。；

（2）若8尸=4,DF=710,求。。的半徑.

D

20.（8分）（2024?上海靜安?二模）己知：如圖，CD是。。的直徑，AC、AB,3。是。。的弦，AB//CD.

（1）求證：AC=BD；

（2）如果弦A3長為8,它與劣弧A8組成的弓形高為2,求CO的長.

21.（10分）（2023?貴州?模擬預(yù)測）如圖，A8是。。的直徑，弦與AB相交于點E,ZBOD=2ZA.

（1）寫出圖中一對你認為全等的三角形」

（2）求證：AB1CD；

（3）若。。的半徑為4,AE：EB=3:1,求C￡）的長.

22.（10分）（22-23九年級上?湖北十堰?期中）如圖，A3是。。的直徑，C、。為0。上的點，且,

過點。作DE工AB于點E.

（1）求證：平分/ABC；

（2）若3C=4,DE=3,求。。的半徑長.

EO

23.（10分）（21-22九年級上?福建福州?期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。。，A3是。。的直徑，點C

為8。的中點，弦CE/AB于點尸，與3。交于點G.

（1）求證：BG=CG；

（2）若。尸=1,求的長.

24.（12分）（20-21九年級上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí)）如圖，在回。中，N8是直徑，尸為48上一點，過點尸

作弦MV,團VP2=45°.

(1)若/P=2,BP=6,求MN的長;

(2)若A/P=3,NP=5,求的長;

嚏晅的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出其值；若變

(3)當尸在45上運動時（0AP2=45。不變）,

化，請求出其范圍.

參考答案:

1.D

【分析】本題主要考查了垂徑定理以及勾股定理，作出輔助線是解題的關(guān)鍵.作于M,ONLCD

于N,連接0D,首先利用勾股定理求出31的長，然后判定四邊形MQVP是正方形即可得到答案.

【詳解】解：作于〃，ONLCD于N,連接。B,0D,

由垂徑定理得AM=BM=DN=CN=3

勾股定理得：OM=ON=dB()2-BM2=后-32=4,

?弦AB、CD互相垂直，

:.ZDPB=90°,

于ONLCD于N,

:./OMP=NONP=90°

.??四邊形MONP是矩形，

?;OM=ON,

四邊形MONP是正方形，

:.OP=4也

【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系求出ZAOC=ZBOD=84。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可.此題考

查了圓心角、弧的關(guān)系，熟練掌握圓心角、弧的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，連接OA,

■.■AB=CD,

AB=CD，

AB-AD=CD-AD，

AC=BD，

ZAOC=ZBOD=84°,

?：OA=OC,

ZACO=ZCAO=1(180。-ZAOC)=1x(180°-84°)=48°,

故選：D

3.D

【分析】此題考查了圓周角定理、垂徑定理，熟練掌握圓周角定理、垂徑定理是解題的關(guān)鍵，根據(jù)垂徑定

理、圓周角定理判斷求解即可.

【詳解】解：根據(jù)垂徑定理可以得到鉆=SE，故選項A不符合題意；

回。是0。的直徑，

0ZCBZ>=9O°,故選項B不符合題意；

回OB=OD,

由NOBD=NODB,

^\ZABC=ZCDB

國NOBD=NABC,

故選項c不符合題意；

團無法證明CB=OB,

團選項D符合題意.

4.C

【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，垂徑定理.

由等邊AABE得到ZA￡3=60。，從而/EGV=90°—ZA￡B=30°,進而=3EG=3,DF=DE+EF=1,

根據(jù)垂徑定理得到3尸=止=7,從而BE=EF+BF=10,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：回△可是等邊三角形，

0ZA￡B=6O°,

B1OF1BD

iaZGFE=90°,

0ZEGF=90°-ZAEB=30°,

回EF=LEG=3,

2

^DF=DE+EF=4+3=7f

團OF過圓心O,且

團BF=DF=7,

⑦BE=EF+BF=3+7=IO,

團在等邊石中，AB=BE=10.

故選：C

5.A

【分析】本題考查了垂徑定理，三角形的面積，勾股定理，過點。作于。，由垂徑定理得

AD=CD=-AC,由勾股定理得=加=5,利用三角形的等面積法求得。。=不，再由勾股

定理得">=g-0a=1,進而得AC=2AE>=(,最后根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求解，正確作出輔

助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，過點。作。于。，則AO=CD=LAC,NADO=90。，

2

回。。的半徑為3,

004=3,

EINAOB=90°,05=4,

^AB^yJo^+OB2=732+42

05△aAunDR=-2OAOB=-2ABOD,

[?]—x3x4=—x5xOD,

22

0OD=y,

團AC=2AD=—,

1Q7

^\BC=AB-AC=5——

55

故選：A.

6.A

【分析】連接OC,BC,過。作。砸4c于。交圓。于E,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OD=3O￡,根據(jù)圓周角

定理得到翌1C8=9O。，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到求得回CO5=60。，得到&4OC=120。，于是

得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，連接。C,BC,過。作OKa4c于。交圓。于E,

團把半圓沿弦/C折疊，AC恰好經(jīng)過點。，

WD^^OE,ODLAC

S48是半圓。的直徑，

EEL4c2=90°,

EIQDE5C,

004=08,

^\OD=^BC,

站C=OE=OB=OC,

.?.△OCB是等邊三角形，

00CO5=6O°,

aa40c=120°,

【點撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，垂徑定理，中位線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助

線是解題的關(guān)鍵.

7.A

【詳解】回PC是ZAPB的角平分線,

SZAPC^ZCPB,

ElAC=BC,

又13AB是直徑，

回NACB=90。，即AABC為等腰直角三角形.

連接。C,交EF于點、D,則OC_LAB,

0M,N是AC,8C的中點，

^\MN\\AB,

0OC1EF,OD=-OC=2,

2

連接0E根據(jù)勾股定理，得

DE=2^/3,EF=2DE=46.

故答案為4君.

故選A.

8.C

【分析】本題主要考查動點函數(shù)圖象問題和垂徑定理，過點。作OHLAC于點G,交。。于點〃，由圖象

可知此時AG=2,HG=1,設(shè)OG=a,貝！JQ4=OH=a+l,在RtzXAOG中，由勾股定理可列方程，求出

3s

。=不，得04=不，從而可求出

【詳解】解：如圖，過點。作OHLAC于點G,交。。于點X,

結(jié)合圖象知，AG=2,HG=L

設(shè)OG=af貝!JOA=OH=a+1,

在RtZ\AOG中，OG2+AG2=AO2

團2?+a?—（a+1）

3

解得，a六

八43i5

回。4=—+1=—

22

0AB=2OA=5

故選：C

9.D

【分析】根據(jù)一次函數(shù)與坐標軸的交點得出。4=。5=2,確定A3=20，再由題意得出當尸。的延長線

恰好垂直⑷?時，垂足為點此時尸石即為三角形的最大高，連接利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：回直線y=—x—2與％軸、y軸分別交于4、5兩點，

團當九=0時，y=-2,當>=。時，x=-2,

0A（-2,O）,B（O,-2）,

0OA=OB=2,

0AB=7OA2+<9B2=2A/2-

回AR4s的底邊A3=2應(yīng)為定值，

回使得△上底邊上的高最大時，面積最大，

點尸為8的中點，當尸。的延長線恰好垂直AB時，垂足為點￡,此時PE即為三角形的最大高，連接DO,

0CD=V2.。。的半徑為1,

SDP=—

2

BOP=yjOD2-DP2=—,

2

團

^\OE=-AB=42f

2

⑦PE=OE+OP=^^,

2

HSD4D=-X2A/2X3^^=3,

.22

故選：D.

【點撥】題目主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用及勾股定理解三角形，垂徑定理的應(yīng)用，理解題意，確定出高的最

大值是解題關(guān)鍵.

10.C

【分析】本題主要考查了圓的對稱性，垂徑定理，勾股定理，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，連接

PD,DF,OC,BD,利用垂徑定理可得AB是C。的垂直平分線，則PC=PD；利用三角形的任意兩邊之

和大于第三邊，可得不等式PD+尸尸之。尸（當，P,尸在一條直線上時取等號），結(jié)合圖形即可得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖，連接PD,DF,OC,BD,

E1AB為。。的直徑，CD1AB,

0CE=ED=-Cr>=4,

2

0AB=1O,

EIOC=-AB=5,

2

0OE=A/OC2-CE2=3-

^\BE=OE+OB=8.

^BD=個BE2+DE2=4M■

0P是直徑AB上的動點，CDLAB,

回AB是8的垂直平分線，

SPC=PD.

Sm-PC+PF,

Bm=PD+PF,

0(當D,P,尸在一條直線上時取等號)，點尸是弧8c上動點，且與點8、C不重合，

直徑，

回8<wiW10.

故選：C.

11.5

【分析】本題考查了垂徑定理，和勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)垂徑定理得出AN=BN=12,再用勾股定理即可求出QV的長.

【詳解】解：回弦A8的長是24,ONLAB,

@AN=BN=12,

又回半徑。4為13,ZONA=90°,

團ON=SJAO2-AN2=V132-122=5，

E1ON=5,

故答案為5.

12.3M

【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵.

由垂徑定理得CE=ED=；CO=3,設(shè)。。的半徑為r，則OE=O3—座=廠一1,在及△(?即中，由勾股定

理得出方程，求出廠=5,即可得出AE=9,在RMAEC中，由勾股定理即可求解.

【詳解】解：SAB±CD,CD=6,

:.CE=ED=-CD=3,

2

設(shè)。。的半徑為『，則OE=O3—E3=r—1,

在RMOED中,由勾股定理得：OE?+DE?=OD?,(r-1)2+32=r2,

解得：r=5,

OA=5,OE=4,

:.AE=OA+OE=9,

在RAAEC中，由勾股定理得：AC=dcE?+/IE?=,3?+9?=3回，

故答案為：3M.

13.273

【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，三角形中位線定理以及勾股定理的運用，題目的綜合性較強,

解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線構(gòu)造直角三角，連接Q4,OC,AC,作。尸，AC于點尸，根據(jù)已知得

ZAOC=120°,可得OP=2,CF=2也,所以AC=4百，再根據(jù)OE是AABC的中位線，即可得出答案.

【詳解】解:連接Q4,OC,AC,作。尸，4c于點廠，

回弧A3的度數(shù)為70。，弧的度數(shù)為50°,

0ZAOC=120°,

SOA=OC,

ISZOCA=ZOAC=30°,AC=2CF=2AF,

0OC=4,

0OF=-OC=2,

2

?CF=0OF=2C,

EIAC=4百，

團點O,E分別是弦AB,弦3c的中點，

回￡>￡■是AABC的中位線，

SDE=-AC=2s/3.

2

故答案為：2下.

14.40

【分析】由OELAB，得AD=BD,結(jié)合AO=CO,推出。。是44BC的中位線，OE是△ARC的中位線，

根據(jù)勾股定理求出圓的半徑，得到C廠的長，再根據(jù)直徑所對的圓周角是直角知道NABC=90。，從而利用

-FCAB即可求得面積.

2

【詳解】-.-OE±AB

：.AD=BD^-AB^-x8^4

22

?：OA=OC

為AABC的中位線

:.OD//BC

又QO￡>=3

OA=y/AD2+OD2=V42+32=5

:.OE=OA=5

???O￡||CF,點。是AC中點

AEAO,

.EFOC

即E為AF中點

是△AFC的中位線

:.CF=2OE=2x5=10

?.?AC是直徑

:.ZABC=90°

.?△ARC的面積=A3=LxlOx8=40

22

故答案為：40.

【點撥】本題主要考查垂徑定理、勾股定理、三角形中位線，圓周角定理及其推論，勾股定理，二項式的

化簡等知識點，熟練掌握勾股定理和三角形中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.3

【分析】此題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)與判定；連接OD,OC,根據(jù)圓心角、

弧的關(guān)系求出NAOC=/3OC=60。，根據(jù)圓周角定理求出NCDB=30。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出

/0班>=60。，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：如圖，連接O。，OC,

D

c

vZAOB=120°,。是AB的中點，

ZAOC=ZBOC=-ZAOB=60°,

2

ZCDB=-ZBOC=30°,

2

???CDLOB,

:./CDB+NOBD=9。。,

:.ZOBD=60°,

?;OB=OD,

.?.△05。是等邊三角形，

ZBOD=6Q°fOB=BD,

-.-ZAOC=60°fOA=OC,

:.^OAC是等邊三角形，

:.OA=AC,

：.OA=OC=OB=BD,

「?圖中與BD相等的線段有3條，

故答案為：3.

16.4:1

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，連接OB,根據(jù)題意可得：OB=10cm,根據(jù)垂徑定理得出

BE=^BC=8cm,進而得出OE=JOB?—BE?=6cm，再得出AE=16cm,DE=4cm,即可得出答案.

【詳解】解：連接OB,

A

團區(qū)C=16cm,

團BE=—BC=8cm,

2

0OE=-JOB2-BE2=6cm，

團AE=16cm,DE=4cm,

團石=16:4=4:1.

故答案為：4:1.

17.20

【分析】延長AO交3c于D,根據(jù)NA=/B=60。，易證得是等邊三角形，由此可求出OO,3。的

長；過。作BC的垂線，設(shè)垂足為E；在中，根據(jù)的長及NODE的度數(shù)易求得DE的長，進

而可求出BE的長；由垂徑定理知3c=23E,由此得解.

【詳解】解：延長A。交8c于。，作OELBC于E.

^ZADB=G0°,

回△A5O為等邊三角形，

^BD=AD=AB=U,

0OD=AD-Q4=12-8=4,

又E]ZADB=60。，OELBC,

0ZZ)OE=3O°,

^\DE=-OD=-x4=2,

22

BE=BD-DE=12-2=10,

團區(qū)C=26石=20,

故答案為：20.

【點撥】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形，垂徑定理的應(yīng)用，難度適

中.解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件的特點，作輔助線構(gòu)造出等邊三角形和直角三角形.

18.2A/5

【分析】連接AT＞，易得點/在。上，在R/AACB中根據(jù)勾股定理求出A8,根據(jù)垂徑定理得到AD,

在RADCB中可得直徑，即可得到半徑.

【詳解】解：連接AD,

B1BD是圓的直徑，

?NDCB=90°,

SZACB=90°,

回點/在CD上，

回點M是半圓。。的中點，

^MO±BD,

團AB-AD,

在HAAC5中

0AC=3,BC—4,

^AB^AD^>jAC2+BC2=V32+42-5，

ElCD=AC+AD=3+5=8

在RtMJCB中

BD=飛BC?+8、="2+8、=46，

。。的半徑為4A后+2=2石，

故答案為2省.

【點撥】本題考查垂徑定理，勾股定理及直徑所對圓周角是直角，解題關(guān)鍵是得到點/在8上.

19.⑴見解析

(2)3

【分析】本題考查了垂徑定理，圓的相關(guān)性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些性質(zhì).

(1)連接A0,由圓的性質(zhì)可得/。=根據(jù)AC=PC,ZCAF=ZCFA=Z.OFD,由垂徑

定理可得。。，■，然后借助角關(guān)系轉(zhuǎn)化可得結(jié)論；

(2)在RtA。。廠由勾股定理可求解.

【詳解】(1)解：連接40,

COA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

AC=FC,

:.ZCAF=ZCFA=ZOFD,

?.,D為BE的下半圓弧的中點，

:.OD1.BE,

:.NODA+N0FD=90°,

ZCAF+ZDAO=90°,

.-.ZOAC=90°;

(2)在RtA。。/中，DF2=OD-+OF-,

.-.10=OD2+(4-OD)2,

;.0D=l(不合題意舍去)或0D=3,

二。。的半徑為3.

20.⑴見解析

(2)10

【分析】本題主要考查垂徑定理，勾股定理和全等三角形的判定與性質(zhì)：

(1)作QELAB于點E,交。。于點R連接49,3。運用SAS證明2△反龍＞,可得出結(jié)論;

(2)設(shè)。。的半徑為R,在RaB。片中，運用勾股定理列出方程求出A的值即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：作。于點。交0。于點尸，連接A。,30,如圖，

^\AB//CD,

0OE±cr>,

⑦NCOE=/DOE,

回AO=BO,OELAB,

^ZAOE=ZBOE,

國NAOC=/BOD,

團AO=BO,CO—DO,

EIAAOC^ABOD(SAS),

0AC=BD；

(2)解：設(shè)。。的半徑為R,則OE=R—2,

又AB-8,

EIBE」AB=4,

2

在RUBOE中，OB2=OE1+BE2,

即：R2=(/?-2)2+4,

解得，R=5,

0CD=2R=2x5=10.

21.(l)AOCE^AOOE

⑵詳見解析

(3)Cr>=4.y/3

【分析】本題考查了圓的概念及性質(zhì)的應(yīng)用，垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

(1)由。l=OC得NCOE=2NA,再證明/C0E=/30D,從而證明出；

(2)由垂徑定理可得結(jié)論；

(3)根據(jù)勾股定理得出CE=2百，再由垂徑定理得出。的長即可.

【詳解】(1)解：AOCEdODE,

?：OA=OC,

.-.ZA=ZOCA,

:.ZCOE=2ZA,

QZBOD=2ZA,

QNBOD=2ZA,

:./COE=/BOD,

?;OE=OE,

回△OCE絲△〃＞石.

故答案為：Z\OCEmZ\ODE.

(2)證明：?二△OCE也△OD石，

.\ZCEO=ZDEO=90°,

:.AB上CD.

(3)解：?.?AE:EB=3:1,OA=OB,

OB:EB=2:1,

?.OB=OC=4f

OE=EB=2,

\AB±CD,

,-.CE=742-22=2A/3-

:.CD=4s/3.

22.⑴見解析

(2)713

【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)得到=根據(jù)半徑相等可得/6?3=/。比），等量代換得到

ZOBD=ZCBD,進而證得結(jié)論；

（2）過。點作O"13c于H,根據(jù)垂徑定理得到BH=CH=2,再證明AODE絲力?！暗玫紻E=OH=3,

然后利用勾股定理計算。8的長即可.

【詳解】（1）證明：^\BC//OD,

0/ODB=NCBD,

團OB=OD,

@NODB=/OBD,

?/OBD=/CBD,

團BD平分NABC；

（2）解：過。點作于H,如下圖，

田BH=CH==BC=2,

2

?DEJ.AB,OHJ.BC,

⑦/DEO=NOHB=9U0,

通OD〃BC,

國NDOE=NOBH,

在△(無)石和△5。”中，

ZDEO=ZOHB

<ZDOE=ZOBH,

OD=OB

團4DE2△8OH(AAS),

⑦DE=OH=3,

在RtZ^OBH中，OB=yjBH2^OH2=722+32=V13?

即。。的半徑長為風.

【點撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識，熟練掌

握相關(guān)知識，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.

23.⑴見解析

(2)2

【分析】⑴根據(jù)垂徑定理以及圓周角定理可得病=彘=匕),進而得至UNCBD=NCDB=ZBCE,再根據(jù)

等腰三角形的判定可得8G=CG；

(2)利用圓心角、弦、弧之間的關(guān)系以及垂徑定理證得RtABOM=RtAEOF(HL),可得OM=O尸=1,再結(jié)

合三角形中位線定理可得答案.

【詳解】(1)證明：回點C為的中點，

E1BC=CD.

又回弦CE人AB,A3是直徑，

團BC=BE，

eBC=BE=CD，

團NCBD=NCDB=ZBCE,

團區(qū)G=CG；

(2)解：如圖，過點。作。MLBD,垂足為反，連接OQ,0E,

⑦BC=BE=CD，

^BC+CD=BC+BE,

即BD=CE，

回BD=CE,

又回OFICE,

SDM=BM=-BD,EF=CF=-CE,

22

貝=

又回。B=OE,

igRtABOM=RtAEOF(HL),

0OM=OF=1,

SOA^OB,

回QAf是△ABO的中