第3節(jié)方陣的行列式ppt課件

1、第三節(jié)第三節(jié) 方陣的行列式方陣的行列式一、二、三階行列式一、二、三階行列式二、排列與逆序二、排列與逆序三、三、n n階行列式的定義階行列式的定義四、行列式的性質(zhì)四、行列式的性質(zhì)五、行列式按行列展開五、行列式按行列展開六、行列式的計算六、行列式的計算七、方陣的行列式七、方陣的行列式一一.二階、三階行列式二階、三階行列式1. 二階行列式22221211212111bxaxabxaxa消元法211222112111122211222111222211aaaaababxaaaaababx22211211aaaa(1)定義：二階行列式定義：二階行列式:第三節(jié)第三節(jié) 方陣的行列式方陣的行列式二階行列式計算

2、方法二階行列式計算方法:2112221122211211aaaaaaaa，記2211112222121122211211babaDababDaaaaD)0.(,221122221211212111DDDxDDxbxaxabxaxa的唯一解為則（2用二階行列式求解二元線性方程組用二階行列式求解二元線性方程組 1212232121xxxx求解二元線性方程組求解二元線性方程組解解1223 D)4(3 , 07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 2. 三階行列式333323213123232221211313212111bxaxaxab

3、xaxaxabxaxaxa消元法.)(3321232213322313221332312332211322311332112312213322113312312332211ababaaaabababaaaabxaaaaaaaaaaaaaaaaaa, 0322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaaD若（1三階行列式:333231232221131211aaaaaaaaa.,321xxx 類似可解出則可求解出333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 留意留意 :1.紅線上三元素的乘

4、積冠以正號，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號紅線上三元素的乘積冠以正號，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號2.對角線法則只適用于二階與三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 三階行列式計算方法三階行列式計算方法:(對角線法則對角線法則).243122421D求解D4) 2() 4() 3(12) 2(21 例例2.) 3(2) 4() 2() 2(2411 24843264 .14 解：解：. 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322 xxxxD, 652 xx解得由0652xx3.2 x

5、x或或（2用三階行列式求解三元線性方程組用三階行列式求解三元線性方程組，記333231232221131211aaaaaaaaaD，3332323222131211aabaabaabD ，3333123221131112abaabaabaD 3323122221112113baabaabaaD 有唯一解則333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa)3 , 2 , 1, 0( ,iDDDxii. 0, 132, 22321321321xxxxxxxxx例例4.4.解線性方程組解線性方程組解：解：, 5D, 51D,102D, 53D,

6、111 DDx, 222 DDx. 133 DDx二二.排列與逆序排列與逆序1排列定義排列定義njjj21:記為例如例如: 321是一個是一個3級排列，級排列，23541是一個是一個5級排列級排列. 留意留意: 一個一個n級排列其實(shí)就是正整數(shù)級排列其實(shí)就是正整數(shù)1,2,n的一個全排列，故的一個全排列，故n級排列共有級排列共有n!個個. 例例: 用用1, 2, 3三個數(shù)字三個數(shù)字, 組成的組成的3級排列有多少個？分別為？級排列有多少個？分別為？分析分析: 分別為：分別為：1 2 3；1 3 2；2 1 3; 2 3 1; 3 1 2; 3 2 1 共共6個個.由正整數(shù)由正整數(shù)1,2,n組成的一個

7、有序數(shù)組稱為一個組成的一個有序數(shù)組稱為一個n級排列級排列. 2、排列的逆序數(shù)、排列的逆序數(shù) 定義定義: 在一個排列在一個排列 j1 j2 js jt jn 中中, 若數(shù)若數(shù) jsjt,則稱這兩個數(shù)組成一個逆序則稱這兩個數(shù)組成一個逆序.例如例如: 排列排列32514 中中, 我們規(guī)定各元素之間有一個標(biāo)準(zhǔn)次序我們規(guī)定各元素之間有一個標(biāo)準(zhǔn)次序. 以以 n 個不個不同的自然數(shù)為例同的自然數(shù)為例, 規(guī)定由小到大為自然次序規(guī)定由小到大為自然次序.3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序定義定義: 一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).前面的數(shù)比前面的數(shù)比后

8、面的數(shù)大后面的數(shù)大逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列,逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.)(:21njjj記為？求例)53241(:);1 , 5(),4 , 5(),52(),53(53241有逆序?qū)ε帕? 81124)53241(所以) 1 , 3(),2 , 3() 1 , 2() 1 , 4(333231232221131211aaaaaaaaa322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 三三.n.n階行列式的概念：階行列式的概念：.) 1(321321321321jjjjjjjjjaaa2112221122211211aaaa

9、aaaa概念引入.) 1(21212121)(jjjjjjaa留意留意:每項都是位于不同行不同列的元素的乘積，共每項都是位于不同行不同列的元素的乘積，共n！項！項1定義定義.) 1(212121),(2122221112112nnnjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaaDn為方形表格的行列式定義個數(shù)組成的由.:的代數(shù)和個元素的乘積同列的等于所有取自不同行不即nD4000030000200001. 1D用行列式定義計算例.24 0004003002001000. 2D用行列式定義計算例432114321N.24 nnnnaaaaaaD000. 322211211計算例.2211nnaa

10、a. 1),1 ( :nE顯然nnnnaaaaaa21222111000nnaaa0000002211. 0, 0)(),2(DD則元素全為或一列中有一行若行列式行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式. TDD記記nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211四四.n.n階行列式的性質(zhì)階行列式的性質(zhì).DDT( (一一). ). 性質(zhì)性質(zhì),571571 266853853266.825825 361567567361nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaa21212111211即：nnnnin

11、iijnjjnaaaaaaaaaaaa21212111211jirr 例例推論推論1 1 如果行列式如果行列式D D有兩行列完全相同，則有兩行列完全相同，則D=0.D=0.nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 .:AkAknnn一般地，注意(3).(3).性質(zhì)性質(zhì)3:3:行列式行列式D D的某一行列中所有元素的公因子都的某一行列中所有元素的公因子都可以提到行列式符號的外面可以提到行列式符號的外面(4).(4).性質(zhì)性質(zhì)4:4:行列式關(guān)于它的一個行行列式關(guān)于它的一個行( (或列或列) )是可加的是可加的. .nnnn

12、ininiiiinaaacbcbcbaaa21221111211 nnnniniinaaabbbaaa212111211 nnnniniinaaacccaaa212111211 留意留意: :每次只能分拆一個行每次只能分拆一個行( (或列或列).). 例例2635241654321975654321 654654321321654321 000 333222111cbazcybxacba 例例1333222111cbacbacba333111cbazyxcba推論推論2:2:行列式行列式D D中如果有兩行列元素成比例，中如果有兩行列元素成比例，D=0D=0由行列式性質(zhì)(2)(3)(4),有下列

13、結(jié)論成立:推論推論3:3:把行列式把行列式D D的某一行列的各元素乘以數(shù)的某一行列的各元素乘以數(shù)k k然后加到然后加到另一行另一行( (列列) )對應(yīng)的元素上去，行列式對應(yīng)的元素上去，行列式D D的值不變的值不變nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaa21212111211即：nnnnjnjjjninjijinaaaaaakaakaakaaaaa2121221111211ijrkr ( (二二).).行列式性質(zhì)的應(yīng)用行列式性質(zhì)的應(yīng)用計算行列式常用方法：計算行列式常用方法：., 323式將行列式化成三角行列及性質(zhì)和性質(zhì)應(yīng)用推論例例.210104461475312402597331321

14、1的值，求DD解解2101044614753124025973313211 D2220035120140202010013211213rr 312rr 313rr 414rr 42rr 222002010014020351201321132rr 222002010021100351201321143rr 6400001000211003512013211532rr 544rr 6000001000211003512013211 612 .12 例例24142622341252271703D計算31rr 4142627170325222341212rr 081801381202160234131

15、3rr 412rr 322rr 423rr 650091000216023414321rr 23000910002160234190例例3 計算計算 階行列式階行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D將第將第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2（行等和行列式）（行等和行列式） abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna21111211112111123D12rr 21rr 13rr 14rr 21111211112155552111121

16、1112111115 31rr 41rr 10000100001011115 5例例4例例5 54321xaaaaxaaaaxaaaaxD )4 , 3 , 2 , 1,( iaxi（可以化為箭形行列式）（可以化為箭形行列式）axxaaxxaaxxaaaax413121100000021rr 31rr 41rr 解解4321xaaaaxaaaaxaaaaxD （箭形行列式）（箭形行列式）)()()(4321axaxaxax 10010101001143211 axaaxaaxaaxx 41)(iiax1000010000104324211axaaxaaxaaxaaxxii 414211)(ii

17、iiaxaxaaxx14cc 13cc 12cc 例例6 63214214314324321D（循環(huán)行列式或行等和行列式）（循環(huán)行列式或行等和行列式）12rr 13rr 14rr 解解3214214314324321D32142143143210101010321421431432111110212rr 123012101210111110313rr 414rr 32rr 423rr 44000400121011111043rr 400004001210111110160練習(xí)練習(xí).4abcdbadccdabdcbaD 01122103210113222113132113D15.29031132

18、4341241411D.65003211750043212D五五. .行列式按照行或列展開行列式按照行或列展開(計算行列式的第2種方法)1.余子式,代數(shù)余子式.1,)(:1ijijijijManjiaaAn記作的余子式為元素階方陣構(gòu)成的行列式稱來的留下列劃去后行第所在的第把元素中階方陣在定義 ，記ijjiijMA1:叫做元素叫做元素 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式ija例例1：44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA :23的余子式為則元素a:23的代數(shù)余子式為

19、元素a.和一個代數(shù)余子式分別對應(yīng)著一個余子式注：行列式的每個元素例例2：987654321D983221M2112211MA:4的余子式為則:4的代數(shù)余子式為. 6. 6定理定理1 1 行列式等于它的任一行列的各元素與其對應(yīng)的代行列式等于它的任一行列的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即數(shù)余子式乘積之和，即ininiiiiAaAaAaD 22112.行列式按行(列)展開的法則.,2, 1ni例例1：987654321D98651) 1(1197642) 1(2187543) 1(310) 3(3) 6(23987654321D98324) 1(1297315) 1(2287216) 1(32

20、0) 6(6)12(5) 6(4987654321D98651) 1(1198324) 1(1265327) 1(130) 3(7) 6(4303550100131111115 例例2：3351110243152113D132cc 43cc 0551111115) 1(33 055026115 21rr 5526)1(31 5028 .40 例例2解法解法2：3351110243152113D41rr 2113110243153351215rr 11101605510019182403351312rr 3212rr 413rr 32rr 11101601918240112033515428rr

21、 320076001120335154331rr 32000760011203351540例例3：0532004140013202527102135 D 53204140132021352152 53241413252212rr 31rr 66027013210 6627210 .1080124220 例例3解法解法2：0532004140013202527102135 D21rr 0532004140013200213525271215rr 0532004140013201023113202527132rr 053200414010231132001320252713216rr 422rr

22、52rr 066000270010395900013202527153rr 10395900027000110001320252716437rr 10200000900001100013202527165359rr 54920rr 1000000900001100013202527161080例例4： 證明范德蒙證明范德蒙 (Vandermonde)(Vandermonde)行列式行列式1222212111112111().nnnijj i nnnnnxxxxxxDxxxxx )(12xx )(1323xxxx)()(142434xxxxxx).)()(1221xxxxxxxxnnnnnn范德蒙范德蒙 (Vandermonde)(Vandermonde)行列式的應(yīng)用行列式的應(yīng)用12582712549152311111)2(D432432432432) 1 (ddddccccbbbbaaaaD333322221111dcbadcbadcbaabcdadbdcdacbcababcd) 15)(35)(25() 12)(32() 13(.48定理定理2 2 行列式行列式D D的第的第i i行各元素與第行各元素與第j( )j( )列元素對應(yīng)的代列元素對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于數(shù)余子式乘積之和等于0.0.即即: :02211jninjijiAaAaAaij ij 其中