積分測(cè)驗(yàn)卷(12

1、2010-2011學(xué)年第一學(xué)期 不定積分、定積分 測(cè)驗(yàn)試卷(A) F(x)=；(B) F(x)= <ex + c, x>0xc + c + 2, x v亠、選擇題：(每小格3分，共30分)1、設(shè)竺込為/(兀)的一個(gè)原函數(shù)，且心 0,貝叮心 池等于(X? az 、 sin ax 小z x sin ax _, 、sin or 小(A) - + C;(B)+ C； (C) + C ；),、sin ax 小(D)+ Cax2、若/在(Y0,+8x上不定積分是F(x?+ C,則F(x)=(ex%>0(C) F(x) = < I - ； (D) F(x)= <c '

2、+ 2, x v 0e x>0一廠，xv 01, x> 03、設(shè) /(x) = 0,XJ 01, x < 0(A) F(x)在x = 0點(diǎn)不連續(xù)；，貝 U ()(B)F(x)在(-8,+8)內(nèi)連續(xù)，在兀=0點(diǎn)不可導(dǎo);(C)尸(兀)在(-oo,+oo)內(nèi)可導(dǎo),且滿足 Fx) = f(x)；(D) F(兀)在(-oo,+oo)內(nèi)可導(dǎo)，但不一定滿足Fx) = /(x) ot sin tdt4、 極限 lim =()5 八 t2df(A) -1 ；(B) 0 ；(C) 1；(D) 25、設(shè)在區(qū)間G, b上 /(兀)> 0, fx) <0, /"(兀)>0

3、o 令 s、 = f(x)clx,52 = f(b)(b一 a)J a$3=2/?) + / 的"一。)'則()(A)<S2<S3;(B) 52 << 53 ;(C) 53 << 52 ;(D) S2 < S 3 <二、填空題：(每小格3分，共30分)1、設(shè)/(X)的一個(gè)原函數(shù)是£一 2”，則它的一個(gè)導(dǎo)函數(shù)是 2、設(shè) Jo fx)dx = l,/(2)=2，則 £ xff (2x)dx =3、fe x) = xe' x,且/ (1) = 0,則 /(x) =。4、 函數(shù)F(x)=(2 丄)dr(x &

4、gt; 0)的單調(diào)減少區(qū)間為。Vr5、由曲線y二x2與y二仮所圍平面圖形的面積為 o三、計(jì)算題(第1,2, 3, 4題各6分，第5, 6, 7題各8分，共48分)1、2、計(jì)算 Jxtaxdxl + x2 x<03、設(shè) xhl,求 J (1 一山)力4、設(shè) /U)=求 £ fx-T)dxex>07、已知曲線C的方程為j = /(%),點(diǎn)(3,2)是它的一個(gè)拐點(diǎn)，直線厶，厶分別是曲線C在點(diǎn) (0,0)與(3,2)處的切線，其交點(diǎn)為(2,4)。設(shè)函數(shù)/(兀)具有三隊(duì)連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算定積分Jo (x2 +x) fA(x)djco四、解答題(本題10分)設(shè) /(x)連續(xù)，(p(x)

5、=fxt)dt ,且二 A ( A 為常數(shù))，求(px),并討論 0(x)J0XT()兀在兀=0處的連續(xù)性。五、應(yīng)用題(本題6分)設(shè)曲線方程為A = AV(x>0),把曲線y二廠山軸、y軸和直線x = f ( >§所圍平 面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，得一旋轉(zhuǎn)體。(1)旋轉(zhuǎn)體體積V(勺：(2)求滿足V(a) = - lim V(A)的d值。六、證明題(6分)設(shè)/G)在仏刃上連續(xù)且單調(diào)增加，證明：不等式£ xf(x)dx >- j" fx)dx o答案：一、選擇題：(每小格3分，共30分)1、(A)sin ax 小 +2、(C) F(x)=axe x>

6、;0xe+ 2, x v3. (B) F(x)在（一汽+co）內(nèi)連續(xù)，在x = 0點(diǎn)不可導(dǎo);4、(C) 15、(B) S2 < £ < s o1、填空題：（每小格3分，共30 分）1、一個(gè)導(dǎo)函數(shù)是.廠（兀）二4幺亠。2、燈（2兀）山二扌°1 9 1 13、/ （x） = - （In%）22o 4、單調(diào)減少區(qū)間為（0,） °415、-o3二、計(jì)算題（第1,2, 3, 4題各6分，第5, 6, 7題各8分，共48 分）1、解:+ A)dx = ln|x| + 2 arcta n x + c1 + JT2、解:xtan2 xdx =- 1 dx JxJ ta

7、n x-Axdx =2x-j tan xdx -xta nx + In cosx-3、解:I + r,-I<r<0 l-r,0<r<+oo*(1 x)2 o() o ri ,7=j(1 + z2)Jr + e£ =- 一"I5、解:£ （士 +右皿弓“2ln(l + x)J( -) = ln(l 4-x)2-xdx(I + x)(2 x)當(dāng)一 1 SxvO時(shí)，原式二 J |(l + f)d/= *(l + x)2 ；當(dāng)兀時(shí)，原式=J： (l + /)d/ + f (l /)力=1 3XA2=f ri4、解：f(x-2)cbc=j6、解：因?yàn)?/p>

8、lim / （X）=-,所以兀二1為瑕點(diǎn)，因此該廣義積分為混合型的0 -兀T比 Xyfx-卄2tdtc 丄d=2 arcta n x :1 (l + r2)r"兀兀2（穴7、解：按題意，直接可知/ （0） = 0,/ （3） = 0/ （3） = 0 （拐點(diǎn)的必要條件）。從圖 中還可求出y二/ （x）在點(diǎn)（0,0）與（3,2）處的切線分別為y二2兀，y2兀+ &于是門(mén) 0) = 2/(3) = -2 o 所以+兀）廠（兀）必=匸（兀2 +兀）獷（兀）=（兀2 +兀）八兀卅_J 了（兀）（2兀+ 1）必=-J:2/ (琲（2兀+ 1）曠（兀）=-（2兀+ 1）.廠（琲+ 2廠（

9、粒儀=-7.廠+ .廠（0） +7? (一 2) + 2 + 2? (2 0) = 20。四、解答題（本題10分）解:因?yàn)閘im衛(wèi)衛(wèi)二A,故lim/（x） = 0,而已知/（兀）連續(xù)，lim/（x） =/（0） = 0 ；入TO兀XTO由于(p(x) = f(xt)dt,令 u = xt,當(dāng)/:0T1 時(shí)，有 w :0 > x , du = xdt ;當(dāng)無(wú)HO時(shí)，有（p（x）1 Uf(u)du=I f(xt)dt = I fu) du =-JoJ() X當(dāng)兀=0時(shí)，有（p（0）=£'f(o)dt = o；所以0(X) = v，兀 H 0 o0,當(dāng)兀工0時(shí)，有0 (x)=

10、X2當(dāng) *0 時(shí)，恥 X-0W )lim =go 2x 2:fu)du=lim 空=limxtO JQ-V >0xf(x)-Af(u)du工 0所以0 （兀）=< Xa o.pxf(x) 一 f fu)du 訕(心匚心 又因?yàn)?lim 0( x) = lim°?YTOxto奸8A所以 XTOm 0(x) = 0(0)= 2即 0( x)在 X = 0 處連續(xù) o五、應(yīng)用題（本題6分） 解：（1） V（A） = 7ry2dx =7r(e- x)2dx = |(1 3)；jr(2) V(a) = -(12jr嚴(yán)),于是 V(a) = - lim V(A) = - ? lim -(1 -;2 §t+82 Eg 2jr4故-(1 - e-2")=-lim V(A)=-=> c/ =-In 2 o2242六、證明題（6分）證：設(shè) F（x） =甘（/） / a + %fdlxe a,bJo2 Jo因?yàn)?（兀）在a,刃上連續(xù)，所以Fx) = xf(x )-八-/U)=:-/(兀)一;2a 2 2 2*Ja 2af水=: f /(x)f(t)dt因?yàn)?（兀）