高中數(shù)列經(jīng)典習(xí)題

1、1、在等差數(shù)列a n中,a 1=-250,公差d=2,求同時滿足下列條件的所有an的和,(1)70 <n<200;(2)n 能被 7 整除.2、設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為3.已知a3=12, S i2>0,Si3V 0.( I )求公差d的取值范圍；(n )指出Si,S2,S12,中哪一個值最大，并說明理由.3、數(shù)列an是首項(xiàng)為23,公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且前6項(xiàng)為正，從第7項(xiàng)開始變?yōu)樨?fù)的，回答下列各問：(1)求此等差數(shù)列的公差 d;(2)設(shè)前n項(xiàng)和為Sn,求Sn的最大值；(3)當(dāng) Sn是正數(shù)時，求n的最大值.4、設(shè)數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn .已知首項(xiàng)a1=3,且Sn 1 +

2、 Sn =2an 1 ,試求此數(shù)列的通項(xiàng)公式 an及前n項(xiàng)和Sn.11 5、已知數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn n(n + 1)(n + 2),試求數(shù)列的刖n項(xiàng)和.3an6、已知數(shù)列an是等差數(shù)列，其中每一項(xiàng)及公差d均不為零，設(shè)2aiX241X ai 2 =0(i=1,2,3,)是關(guān)于x的一組萬程.回答：(1)求所有這些萬程的公共根；、，1111(2)設(shè)這些方程的另一個根為mi ,求證,，,也成等差m11m21m31 mn 1數(shù)列.3nXn Cn =0(n=1,2,3 )的兩個根,7、如果數(shù)列 an中，相鄰兩項(xiàng)an和an 1是二次方程X2當(dāng)a1=2時，試求cioo的值.8、有兩個無窮的等比數(shù)列 20

3、和 an,它們的公比的絕對值都小于1,它們的各項(xiàng)和分別是1和2,并且對于一切自然數(shù)n,都有a1 ,試求這兩個數(shù)列的首項(xiàng)和公比9、有兩個各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列an, bn.如果ai=1,bi=2,a 2=3.且an, bn, an 1成等差數(shù)列bn，an 1, bn 1成等比數(shù)列,試求這兩個數(shù)列的通項(xiàng)公式10、若等差數(shù)列l(wèi)og 2Xn的第m項(xiàng)等于n,第n項(xiàng)等于m（其中m n）,求數(shù)列x n的前m+ n 項(xiàng)的和。11、設(shè)an為等差數(shù)列, bn為等比數(shù)列，且ai二b1, a2+a4=b3, b2b4=a3分別求出an及bn的前 10項(xiàng)的和S0及T10.12、已知等差數(shù)列an的前項(xiàng)和為 S,且S13>

4、;S6>S14, a2=24.（1）求公差d的取值范圍；（2）問數(shù)列8是否成存在最大項(xiàng)，若存在求 ，出最大時的n,若 不存在，請說明理由.13、設(shè)首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為80,前2n項(xiàng)的為6560,且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54,求此數(shù)列的首項(xiàng)和公比.14、設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,且存在正數(shù)t,使得對所有正整數(shù) n, t與an的等差 中項(xiàng)和t與S的等比中項(xiàng)相等，求證數(shù)列qSn為等差數(shù)列，并求an通項(xiàng)公式及前n項(xiàng) 和.15、已知數(shù)列 an是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列abn是公比為q的等比數(shù)列，且b11,b25417.求q的值；求數(shù)列bn前n項(xiàng)和.16、 若a、b、c成等差數(shù)

5、列，且 a+1、b、c與a、b、c+2都成等比數(shù)列，求 b的值.答案:1) 解：a一250, d=2, a n=250+2(n 1)=2n 252同時滿足70<n<200, n能被7整除的an構(gòu)成一個新的等差數(shù)列bn.b1=a70= 112, b 2=a77= 98,，b n' =a196=140其公差 d' =98 ( 112)=14. 由 140=112+(n ' 1)14, 解得 n' =1919 18. .bn的前 19項(xiàng)之和 S 19 ( 112) 14 266.2、解：(i )依題意，有 S1212al12 (；2 1)?d 0S1313

6、a113 (13 1)?d20,即2al 11d 0a1 6d 0(1)(2)由 a3=12,得 a 1=12 2d (3)j 、一、，口 24 7d 024將(3)式分別代入(1),(2)式，得，.£4d 3.3 d 07(n)由 d<0 可知 a i>a2> a3> ai2>ai3.因此，若在1W nw 12中存在自然數(shù)n,使得an>0,an+i0,則&就是Si,S2,S12中的最大值.由于 S 12=6(a6+a7) >0, S 13=13a7<0,即 a6+a7>0, a 7< 0.由此得 a 6> a

7、7> 0.因?yàn)閍6> 0, a 7V 0,故在S1 ,S2,S12中&的值最大.3、(1)由 a6=23+5d>0 和 a7=23+6d<0,得公差 d=4.(2)由 a6> 0,a 7< 0, . S6最大，S6=8.(3)1由 a1=23,d= 4,則 Sn = - n(50 -4n),設(shè) Sn >0,得 nv ,整數(shù) n 的最大值為 12.24> - a1=3, - Si =a1=3.Sn+1 + Sn=2an+1 中,n=1, =f S2+ S1=2a2. Jfn S2=a1 + a2.即 a + a2+ a1=2a2.a2=6.

8、由 S+1+S=2an+1,(1) S n+2+Sn+1=2an+2,(2)3,當(dāng)n 1時，3n 1,當(dāng) n2時.一 一 n 12 3(31) =3n3 1.2) ) (1),彳導(dǎo) Si+2 Si+1=2an+2 2an+1 , - an+1+ an+2=2an+22an+1 即 a n+2=3an+1此數(shù)列從第2項(xiàng)開始成等比數(shù)列，公比q=的通項(xiàng)公式an=2此數(shù)列的前 n項(xiàng)和為 S=3+2X3+2X3 6、(1)設(shè)公共根為p,則ai p 2ai 1 p ai 2+ 2X3 n1=3 +1-15、 an = Sn - Sn 1 = - n(n + 1)(n + 2) - - (n - 1)n(n

9、 + 1)=n(n + 1).當(dāng) n=1 時, 33“1a1=2,S1= x 1 x (1 +1) x (2 + 1)=2,a1= S 1.則 an = n(n + 1)是此數(shù)列的通項(xiàng)公式。111111a1a2 an 1 22 33 4320 ai 1P2ai 2P ai 3 0 則-，得dp2+2dp+d=0,d w0為公差，(p + 1)2=0. p= 1是公共根.(直接觀察也可以看出公共根2al 2d2d為-1).(2)力一個根為 mi ,則 mi + ( 1)= 2 .mi +1= 即aiaiai-互,易于證明 -是以一11111(1)()()n(n 1)22 3 n n 1為公差的等

10、差數(shù)列mi 12dmi 127、斛由根與系關(guān)系 ,an + an 1 = 3n,貝 U(an1+ a n 2 ) (an+ a n 1 )= 3,即an2 an=3.a1,a 3,a5 和a2,a4,a 6都是公差為一3 的等差數(shù)列，由a1=2,a 1+a2=3,a2=5.則a2k =- 3k 2, a1oo=- 152, a2k 1 = 3k + 5, a101= 148, c100= a 100? a 101=224968、設(shè)首項(xiàng)分別為a和b,公比q和r.則有q 1, r 1.依據(jù)題設(shè)條件，有_=1， =2,1 q 1 rn 1 2n 122n 2n 1D aq br , 由上面的， 可得

11、(1q) q =2(1r) r .令n=1,有(1由和，可得q2=r,代入得(1 q) 2=2(1r),設(shè) n=2.則有(1 q) 2q2=2(1 r)r,q) 2=2(1 - q2).由于 qw1,.有 q= 1 ,r =34,16_ b3和9經(jīng)檢驗(yàn)，滿足a211一 r 39.因此可得 a=1 q= ,b=2(1 r)=.939bn的要求.9、依據(jù)題設(shè)條件，有bna n(anan 1 )21 . bnbn 1由此可得1bn2"(.bn1bn 1 ,.b bn bn 1)=2 b bn (' /bn 1 b bn 1 ) .bn >0,則2 bn', bn 1q

12、b二。.二國是等差數(shù)列. bn = (n 21)10、a2 bn 1bn?(n 1)222n(n 1)an=- n(n21)2m+-111、解：設(shè)an的公差為d, bn的公比為q,貝U：2(1 2d) q23. 2解得：d -,q 1 2d q482551 q1031(2 .2)S10 10a1 45d一,T10 b1 81 q 3212、解：(1)由題意:S13 S5 a7 a8升 7O|0 0.a2 8d 0§4033a)4 4(a)0 an) 02a2 17d 0(2)由(1)知，a10>0, a10+a11<0, . a10>0>an,又公差小于零，數(shù)

13、列 才遞減,所以an的前10項(xiàng)為正，從第11項(xiàng)起為負(fù)，加完正項(xiàng)達(dá)最大值。，r=10時，S最大。13、解：設(shè)該等比數(shù)列為an,且公比為q若 q=1,貝U S=na1, S2n=2na1,與題意不符，故 qw 1。Snna L_£_ al1 q1 q2nai i q80兩式相除，得1+qn=82, qn=81,6560aiq=ai+1 > 1,數(shù)列才為遞增數(shù)列，前 n項(xiàng)中最大的項(xiàng)為 an=aiqn-1 = -1 81 54q解得：ai=2,q=3 t a 14、證明：由題意：-%；tSn即2jtSnt an2當(dāng) n=1時，2%醞taitSi,（%;回Vt）20§t當(dāng) n" 時，2;tS； t an t Sn Sni（VS； Vt）2 GST）20（百商7陽（35拈 0。因?yàn)轸鼮檎?xiàng)數(shù)列，故s遞增，（Sn ',；Sn二&）o不能對正整數(shù)n恒成立， JS二Jt即數(shù)列JS?為等差數(shù)列。公差為&、'S7店（n1）4nJt,Sntn2,ant2厄2nt, an （2n